导数的应用.doc

1．已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）
A. B. C. 为减函数 D. 为增函数
【答案】A
【解析】令，则由题意，得，所以函数 在上单调递增，又因为，所以当时， ，则，当时， ，则，而恒成立，则；所以；故选A.
点睛：本题的难点在于如何利用构造函数，这需要在学习多积累、多总结.
2．函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：令 ，则 ，
据此可知： 单调递减， ，
，
结合所给选项，只有A选项符合题意.
本题选择A选项.
3．函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令 ，则
恒成立，

∴函数在上单调递增，
∴
令则恒成立，
∴函数在上单调递减，

综上可得： 选D
点睛：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．已知函数（e为自然对数的底数），函数g（x）满足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分别为函数f（x）和g（x）的导函数，若函数g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（　）
A. a≤1 B. ﹣≤a≤1 C. a＞1 D.
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，
∵在上是单调函数，
则当时， 恒成立或恒成立，
又∵，所以当时， 恒成立必定无解，
∴必有当时， 恒成立，
设，当时， 成立；
当时，由于在上是单调递增，
所以得；当时，由于在上是单调递减，
所以得，综上，故选B.
点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题；求出的导数，从而求出的导数，函数在某个区间内为单调函数，转化为其导函数恒成立问题，构造，通过讨论的范围结合函数的单调性求出的具体范围即可.

5．已知函数（）．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）若函数在区间上恒有，求实数的取值范围；
（3）已知，且，在（2）的条件下，证明数列是单调递增数列．
【答案】（Ⅰ）的极大值点为，极小值点为;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的零点，研究导函数的符号变化，进而确定函数的极值点；（2）求导、作差、分离常数，将问题转化为， ，再转化为求函数的最值问题；（3）利用数学归纳法进行证明.
试题解析：（1）当时， ，
.
令得： .
又，且时， ， 时， .
所以，函数的极大值点为，极小值点为.
（2）因为，由，得，
即， .
又（∵）,∴.
（3）①当时， ,又 , ∴，且，
∴ .
∴，即当时结论成立．
②假设当时，有，且，则当时，
．
∴， 即当时结论成立．
由①，②知数列是单调递增数列．
6．已知函数的图象与轴相切．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若，求证： ．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求出，再将所证不等式合理转化，作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可；（Ⅱ）作差构造函数，利用导数和换元思想进行证明．
试题解析：（Ⅰ） ，
设的图象与轴相切于点，
则即解得,
所以,
等价于．
设，则，
当时， ， 单调递增；
当时， ， 单调递减，
所以，
即，（*）
所以．
（Ⅱ）设， ，
由，得．
由（*）式可得，当时， ，即；
以代换可得，有，即．
所以当时，有．
当时， ， 单调递增；
当时， ， 单调递减，
又因为，所以，
即．
点睛：利用导数研究不等式恒成立问题，往往是先合理构造函数（作差、作商、转化等），将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再利用导数求函数的最值，如本题中先将等价转化为，再作差构造函数.
7．已知函数，记为的导函数.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；
（2）讨论的解的个数；
（3）证明：对任意的，恒有.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，求导得由导数的几何意义可得，再根据切线垂直于直线，可得，可得的值；
（2）令得，构造函数，讨论其担心及其性质可讨论的解的个数；
（3）
讨论函数的性质可得所要证明结果
试题解析：（1）由已知可得，函数的定义域为
，所以又切线垂直于直线，所以，即，所以
（2）由（1）可得，令得，
则，所以在上单调递减，在上单调递增.
又当时， ，当时， ，当时， ，
故当时， 无解；
当时， 有唯一解；
当时， 有两解.
（3）令
在单调递减，又
.
8．已知函数（注： ）．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）若函数在区间上恒有，求实数的取值范围；
【答案】（Ⅰ）的极大值点为，极小值点为;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）求导后令导数为零，得到导函数的零点，写出单调区间后可求得极大值和极小值.（2）先求出导函数，化简，分离参数，利用基本不等式可求得的取值范围.
试题解析：
（Ⅰ）当时， ，
.
令得： .
又，且时， ， 时， .
所以，函数的极大值点为，极小值点为.
（Ⅱ）因为，由，得，
即， .
又（∵）,∴.
点睛：本题主要考查导数与极值的求法，考查利用导数证明不等式的方法，考查分离常数法解恒成立问题.利用导数求极大值或者极小值，要先求函数的定义域，然后对函数求导，求导后令导数等于零求出导函数的零点，由此得到函数的单调区间和极值点.恒成立问题解法一般是分离常数法，分离常数后需求得另一边函数的最值.
9．函数f（x）=lnxmx
（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（Ⅲ）若x∈[1，e]，求证：lnx＜．
【答案】(1) y=﹣1;(2)见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由曲线过点，可得，解得，再利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线方程；（Ⅱ）求出，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出最值；（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，证明即可.
试题解析：（Ⅰ）因为点在曲线上，所以，解得，
因为， ，所以切线的斜率为，
所以切线方程为．
（Ⅱ）因为，
①当时， ， ，
所以函数在上单调递增，
则．
②当，即时， ， ，
所以函数在上单调递增，
则．
③当，即时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则．
④当，即时， ， ，
函数在上单调递减，
则．
综上，①当时， ；
②当时， ；
③当时， ．
（Ⅲ）法一： 时， ， ，
∴在递增，
， ，∴在递减，
∴，
∴即，
∴时， 成立.
10．已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：(Ⅰ)先对函数求导得，然后求出导函数的零点，讨论零点所分区间上导函数的正负，以此来判断函数的单调性，导数为正的区间是对应函数的递增区间，导数为负的区间是对应函数的递减区间；(Ⅱ)先化简得到，然后构造函数，将问题转化为“函数与有三个公共点”.由数形结合的思想可知，当在函数的两个极值点对应的函数值之间时，函数与有三个公共点，那么只要利用函数的导数找到此函数的两个极值即可.
试题解析：(Ⅰ) 2分
令，解得或. 4分
当时， ；当时，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为6分
（Ⅱ）令，即
∴
设，即考察函数与何时有三个公共点 8分
令，解得或.
当时，
当时，
∴在单调递增，在单调递减 9分
10分
根据图象可得. 12分
考点：1.函数的单调性与导数的关系；2.二次函数的图像与性质；3.解不等式；4.转化思想；5.数形结合思想；6.分类讨论思想
11．已知函数
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在定义域上具有单调性，求实数的取值范围；
（3）求证：
【答案】（1） （2）a≤2．（3）详见解析
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率等于该点处导数值，再利用点斜式求切线方程，（2）先按单调递增与单调递减分类讨论，再将函数单调性转化为函数导数值恒非负或非正，利用变量分离转化为求对应函数最值，进而确定实数的取值范围；（3）利用导数证明数列求和不等式，一般方法为先构造目标函数（利用前面小题的结论），再代入数列，利用裂项相消法放缩求和，进而得证不等式.
试题解析：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），
f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1，
所以求在x=1处的切线方程为：y=x
（2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．
（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，
即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，
当x＞ea时，g′（x）＞0，不成立；
（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+；
令g（x）=lnx+，
则g′（x）=，x＞0；
则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
所以g（x）≥2，故a≤2．
（3）由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+∞）上单调递增，
由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，
即lnx＞在（1，+∞）上总成立，
令x=得ln＞，
化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，
所以ln2﹣ln1＞，
ln3﹣ln2＞，…，
ln（n+1）﹣lnn＞，
累加得ln（n+1）﹣ln1＞，
即命题得证．

12．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和等于__________．
【答案】
【解析】,所以在处的切线的斜率为，所以切线方程为： ，令故， =，所以数列的前项和为等比数列求和
点睛：本题考察导数的意义切线方程的求法，然后根据题意可知数列为以公比为3的等比数列，在利用等比求和公式得出结论
13．已知的定义域是， 是的导数，且满足，则不等式的解集是___________。
【答案】
【解析】设，（ ），则，
∴在单调递减，由，
得： ，
得： ，∴，
∴，解得： 或，故答案为.
点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造新函数是解题的关键，本题是一道中档题；构造新函数，通过求导得到函数 的单调性，所解的不等式转化为求，结合函数的单调性得到一元二次不等式，解出不等式即可.

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