破解无棱二面角.doc

无棱二面角棱的作法
河北望都中学 张军红 072450
无棱二面角棱的作法主要依据公理2，即两个平面有一个公共点，那么必有一条过该公共点的直线.据此来作二面角的棱.
一、利用“两点确定一条直线”想法找出两个平面的另一个公共点，从而作出棱.即延展平面法.
例1：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
分析：由题知面SCD与面SBA只有一个公共点S，要求其所成二面角，必须找出二面角的棱，进而作出二面角的平面角.由于AB、CD面ABCD，且由题意AB、CD延长后一定交于一点，设该点为E.AB面ABS，CD面SCD，由公理1可得，E面ABS, E面SCD，即E为面ABS和面SCD的另一个公共点，所以SE为面SCD与面SBA所成二面角的棱.然后由三垂线定理作出二面角的平面角从而求解.
解：延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.
又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图
∵AD＝BC且AD∥BC
∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA
又∵SA⊥AE ∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE
∴由三垂线定理得DF⊥SE. ∴∠DFA为二面角的平面角
∴tan∠DFA＝即所求二面角的正切值.
例2：（2008年湖南卷）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
分析：第一问要证面PAB和面PBE垂直，只需借助菱形的性质，证得BE⊥面PAB即可，对于第二问关键是找出两个平面的交线，可延长AD，BE，找出两个面的交线，再利用三垂线定理作出并证明为二面角的平面角。
证明：（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
例3：（2009唐山模拟题）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，AC=2AB=4，AA1=，M为CC1的中点。
（Ⅰ）求证：BM⊥平面A1B1M；
（Ⅱ）求平面A1BM与平面ABC所成锐二面角的大小。
证明（Ⅰ）因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以平面A1B1C1⊥平面B1BCC1，
∵A1B1⊥B1C1，∴A1B1⊥平面B1BCC1，∴BM⊥A1B1，
∵AC=2AB=4，∠ABC=900，∴∠BAC=600，∴BC=高考资源网
由已知，CM=C1M=，∴∠BMC=∠B1MC1=450，∠BMB1=900，即BM⊥B1M，
又∴BM⊥平面A1B1M，
（Ⅱ）设，连结BE，作CF⊥BE，垂足为F，连结MF，则BE⊥MF。
于是∠MFC为所求二面角 的平面角。
由M是CC1中点，知CE=AC=4，在△BCE中，∠BCE=1500，
BE=
∵
∴
∴
所以平面A1BM与平面ABC所成锐二面角的大小为
二、利用线面平行或面面平行求作棱
当两个面中有一条直线与另一个面平行时通常采用过公共点做平行线求得公共的棱.
例4：斜边长为2的直角三角板ABC的直角顶点C在桌面上，斜边AB与桌面平行，∠A=30，三角板ABC与桌面所成的锐角为45°，求点B到桌面的距离.
分析：∵点C面，所以面ABC与相交，且交线必过点C，设交线为，∵AB∥，∴AB∥，即在面ABC内过点C作∥AB,就可得面ABC与的棱.
解：如图，在面ABC内过点C作∥AB,过点B作BD⊥，垂足为D,设点B在内的射影点为O,连结OD，则∠BDO就是所成二面角的平面角，由题意得BC=，在Rt△BDC中，∠BCD=60°∴BD=，
在Rt△BDO中，∠BDO=45°，OB=，所以点B到桌面的距离为.
例5：（2009唐山模拟题）已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，，侧棱与底面成角，，点在面上的射影为的中点，二面角为.求面与底面所成的锐角。
分析：本题所求二面角无棱，且B1C1∥面ABC，故应在平面ABC内过点A作BC的平行线，此线即为所求的棱.
解析：由条件点在面上的射影.知BD⊥面ABC，又AC⊥BC，所以AC⊥面B1BC1C.又已知为正三角形，取中点，连CK、AK.则为二面角的平面角且为。得，， ，在面ABC内过A作直线L∥BC，过点D作DE⊥AB，交AB于E，连结B1E，则为所求的二面角，易知,所以 即面与底面所成的锐角为.