资源描述
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至，点在轴正半轴上，，且．连接，，，．
（1）写出点的坐标为 ；点的坐标为 ；
（2）当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标；
（3）设，，，判断、、之间的数量关系，并说明理由．
2．已知：如图，直线AB//CD，直线EF交AB，CD于P，Q两点，点M，点N分别是直线CD，EF上一点（不与P，Q重合），连接PM，MN．
（1）点M，N分别在射线QC，QF上（不与点Q重合），当∠APM+∠QMN=90°时，
①试判断PM与MN的位置关系，并说明理由；
②若PA平分∠EPM，∠MNQ=20°，求∠EPB的度数．（提示：过N点作AB的平行线）
（2）点M，N分别在直线CD，EF上时，请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形，并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）
3．阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EFAB，
则有∠BEF＝ ．
∵ABCD，
∴ ，
∴∠FED＝ ．
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
4．已知直线AB//CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB'与QC'的位置关系为 ；
（2）若射线QC先转15秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′//QC′．
5．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
6．（1）如图①，若∠B+∠D=∠E，则直线AB与CD有什么位置关系？请证明（不需要注明理由）．
（2）如图②中，AB//CD，又能得出什么结论？请直接写出结论 ．
（3）如图③，已知AB//CD，则∠1+∠2+…+∠n-1+∠n的度数为 ．
7．已知，在计算：的过程中，如果存在正整数，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为没有进位，没有进位；15和91都不是“本位数”，因为，个位产生进位，，十位产生进位．则根据上面给出的材料：
（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”．
106（ ）；111（ ）；400（ ）；2015（ ）．
（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是 ，最小的“本位数”是 ．
（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？
8．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．
定义：如果（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，记作．
例如：因为，所以；因为，所以．
根据“对数”运算的定义，回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）如果，求m的值．
（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．
9．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的完美分解．并规定：．
例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的完美分解，所以F（18）＝．
（1）F（13）＝ ，F（24）＝ ；
（2）如果一个两位正整数t，其个位数字是a，十位数字为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”；
（3）在（2）所得“和谐数”中，求F（t）的最大值．
10．给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为.如.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:与相加得;与相加得与相加得，并向左边一位进.如的“模二数”相加的运算过程如下图所示.
根据以上材料，解决下列问题:
(1)的值为______ ，的值为_
(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如，因为，所以，即与满足“模二相加不变”.
①判断这三个数中哪些与“模二相加不变”，并说明理由；
②与“模二相加不变”的两位数有______个
11．在已有运算的基础上定义一种新运算：，的运算级别高于加减乘除运算，即的运算顺序要优先于运算，试根据条件回答下列问题．
（1）计算： ；
（2）若，则 ；
（3）在数轴上，数的位置如下图所示，试化简：；
（4）如图所示，在数轴上，点分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点向正方向运动，点向负方向运动，秒后点分别运动到表示数和的点所在的位置，当时，求的值．
12．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“白马有理数对”，记为，如：数对都是“白马有理数对”．
（1）数对中是“白马有理数对”的是_________；
（2）若是“白马有理数对”，求的值；
（3）若是“白马有理数对”，则是“白马有理数对”吗？请说明理由．
（4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）
13．如图，已知点，点，且，满足关系式．
（1）求点、的坐标；
（2）如图1，点是线段上的动点，轴于点，轴于点，轴于点，连接、．试探究，之间的数量关系；
（3）如图2，线段以每秒2个单位长度的速度向左水平移动到线段．若线段交轴于点，当三角形和三角形的面积相等时，求移动时间和点的坐标．
14．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．
（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；
（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系
15．在平面直角坐标系中，如图正方形的顶点，坐标分别为，，点，坐标分别为，，且，以为边作正方形.设正方形与正方形重叠部分面积为.
（1）①当点与点重合时，的值为______；②当点与点重合时，的值为______.
（2）请用含的式子表示，并直接写出的取值范围.
16．如果 x 是一个有理数，我们定义{x} 表示不小于 x 的最小整数． 如{3.2} = 4 ， {-2.6} = -2 ， {5} = 5 ， {-6} = -6.由定义可知，任意一个有理数都能写成 x = {x} - b 的形式（ 0≤b＜1 ）．
(1)直接写出{x} 与 x ， x + 1的大小关系；
提示1：用“不完全归纳法”推导{x} 与 x ， x + 1的大小关系；
提示2：用“代数推理”的方法推导{x} 与 x ， x + 1的大小关系．
(2)根据（1）中的结论解决下列问题：
① 直接写出满足{3m + 7} = 4 的 m 取值范围；
② 直接写出方程{3.5n - 2} = 2n + 1 的解．.
17．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是 ；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围 ．
（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．
18．如图1，已知，点A(1，a)，AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B(b，0)，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A(________)、B(________)、C(________)；
②直接写出三角形AOH的面积________．
（2）如图1，若点D(m，n)在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
19．某企业用规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一或裁法二,裁剪出甲型与乙型两种板材(单位：cm)．
（1）求图中a、b的值；
（2）若将40张标准板材按裁法一裁剪，5张标准板材按裁法二裁剪,裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面,做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个(接缝处的长度忽略不计)．
①一共可裁剪出甲型板材 张，乙型板材 张；
②恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子多少个？
20．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：
甲型机器
乙型机器
价格（万元/台）
a
b
产量（吨/月）
240
180
经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元．
（1） 求a、b的值；
（2） 若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？
（3） 在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一 种最省钱的购买方案．
21．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．
（1）分别判断87和12，62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由；
（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，求出满足题意的s．
23．对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知，点，，，，，满足，
（1）直接写出点，，的坐标及的面积；
（2）如图2，过点作直线，已知是上的一点，且，求的取值范围；
（3）如图3，是线段上一点，
①求，之间的关系；
②点为点关于轴的对称点，已知，求点的坐标．
25．某小区准备新建个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建个地上停车位和个地下停车位共需万元：新建个地上停车位和个地下停车位共需万元，
（1）该小区新建个地上停车位和个地下停车位各需多少万元?
（2）若该小区新建车位的投资金额超过万元而不超过万元，问共有几种建造方案?
（3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额.
26．定义：如果一个两位数a的十位数字为m，个位数字为n，且、、，那么这个两位数叫做“互异数”．
将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数41，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，解答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“互异数”为________；
②计算：________；________；（m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字）
（2）如果一个“互异数”b的十位数字是x，个位数字是y，且；另一个“互异数”c的十位数字是，个位数字是，且，请求出“互异数”b和c；
（3）如果一个“互异数”d的十位数字是x，个位数字是，另一个“互异数”e的十位数字是，个位数字是3，且满足，请直接写出满足条件的所有x的值________；
（4）如果一个“互异数”f的十位数字是，个位数字是x，且满足的互异数有且仅有3个，则t的取值范围________．
27．在平面直角坐标系中，点，，，且，，满足．
（1）请用含的式子分别表示，两点的坐标；
（2）当实数变化时，判断的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围；
（3）如图，已知线段与轴相交于点，直线与直线交于点，若，求实数的取值范围．
28．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
29．某地葡萄丰收，准备将已经采摘下来的11400公斤葡萄运送杭州，现有甲、乙、丙三种车型共选择，每辆车运载能力和运费如表表示（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（公斤/辆）
600
800
900
汽车运费（元/辆）
500
600
700
（1）若全部葡萄都用甲、乙两种车型来运，需运费8700元，则需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，现打算用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为15辆，你能分别求出这三种车型的辆数吗？怎样安排运费最省？
30．如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD
（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABCD？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
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一、解答题
1．（1），；（2）点D的坐标为或；（3）之间的数量关系，或，理由见解析．
【分析】
（1）由二次根式成立的条件可得a和b的值，由平移的性质确定BC∥OA，且BC=OA，可得结论；
（2）分点D在线段OA和在OA延长线两种情况进行计算；
（3）分点D在线段OA上时，α+β=θ和在OA延长线α-β=θ两种情况进行计算；
【详解】
解：（1）∵，
∴a=2，b=3，
∴点C的坐标为（2，3），
∵A（4，0），
∴OA=BC=4，
由平移得：BC∥x轴，
∴B（6，3），
故答案为：，；
（2）设点D的坐标为
∵△ODC的面积是△ABD的面积的3倍
∴
∴
①如图1，当点D在线段OA上时，
由，得
解得
∴点D的坐标为
②如图2，当点D在OA得延长线上时，
由，得
解得
∴点D的坐标为
综上，点D的坐标为或．
（3）①如图1，当点D在线段OA上时，
过点D作DE∥AB，与CB交于点E
．由平移知OC∥AB，∴DE∥OC
∴
又
∴．
②如图2，当点D在OA得延长线上时，
过点D作DE∥AB，与CB得延长线交于点E
由平移知OC∥AB，∴DE∥OC
∴
又
∴．
综上，之间的数量关系，或．
【点睛】
此题考查四边形和三角形的综合题，点的坐标和三角形面积的计算方法，平移得性质，平行线的性质和判定，解题的关键是分点D在线段OA上，和OA延长线上两种情况．
2．（1）①PM⊥MN，理由见解析；②∠EPB的度数为125°；（2）∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．
【分析】
（1）①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ，再根据已知条件可得到PM⊥MN；
②过点N作NH∥CD，利用角平分线的定义以及平行线的性质求得∠MNH=35°，即可求解；
（2）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决．
【详解】
解：（1）①PM⊥MN，理由见解析：
∵AB//CD，
∴∠APM=∠PMQ，
∵∠APM+∠QMN=90°，
∴∠PMQ +∠QMN=90°，
∴PM⊥MN；
②过点N作NH∥CD，
∵AB//CD，
∴AB// NH∥CD，
∴∠QMN=∠MNH，∠EPA=∠ENH，
∵PA平分∠EPM，
∴∠EPA=∠ MPA，
∵∠APM+∠QMN=90°，
∴∠EPA +∠MNH=90°，即∠ENH +∠MNH=90°，
∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°，
∵∠MNQ=20°，
∴∠MNH=35°，
∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°，
∴∠EPB=180°-55°=125°，
∴∠EPB的度数为125°；
（2）当点M，N分别在射线QC，QF上时，如图：
∵PM⊥MN，AB//CD，
∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM=∠PMQ，
∴∠APM +∠QMN=90°；
当点M，N分别在射线QC，线段PQ上时，如图：
∵PM⊥MN，AB//CD，
∴∠PMN=90°，∠APM=∠PMQ，
∴∠PMQ -∠QMN=90°，
∴∠APM -∠QMN=90°；
当点M，N分别在射线QD，QF上时，如图：
∵PM⊥MN，AB//CD，
∴∠PMQ +∠QMN=90°，∠APM+∠PMQ=180°，
∴∠APM+90°-∠QMN=180°，
∴∠APM -∠QMN=90°；
综上，∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键．
3．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；
②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；
故答案为：∠B；EF；CD；∠D；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．
答：∠BED的度数为65°；
②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．
∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．
答：∠BED的度数为180°﹣．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
4．（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，
过O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD，
∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，
∴∠POQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即12t＝45+3t，
解得，t＝5；
②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣180＝45+3t，
解得，t＝25；
③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣360＝45+3t，
解得，t＝45；
综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ECD＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．
6．（1）AB//CD，证明见解析；（2）∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D ；（3）(n-1)•180°
【分析】
（1）过点E作EF//AB，利用平行线的性质则可得出∠B=∠BEF，再由已知及平行线的判定即可得出AB∥CD；
（2）如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，根据探究（1）的证明过程及方法，可推出∠E+∠G=∠B+∠F+∠D，则可由此得出规律，并得出∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D；
（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，则可由平行线的性质得出∠1+∠2+∠MNG =180°×2，依此即可得出此题结论．
【详解】
解：（1）过点E作EF//AB，
∴∠B=∠BEF．
∵∠BEF+∠FED=∠BED，
∴∠B+∠FED=∠BED．
∵∠B+∠D=∠E（已知），
∴∠FED=∠D．
∴CD//EF（内错角相等，两直线平行）．
∴AB//CD．
（2）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GH∥CD，
∴∠B=∠BEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGH，∠HGD=∠D，
∴∠BEF+∠FGD=∠BEM+∠MEF+∠FGH+∠HGD=∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠B+∠EFG+∠D，
即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．
由此可得：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等，
∴∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．
故答案为：∠E1+∠E2+…∠En=∠B+∠F1+∠F2+…∠Fn-1+∠D．
（3）如图，过点M作EF∥AB，过点N作GH∥AB，
∴∠APM+∠PME=180°，
∵EF∥AB，GH∥AB，
∴EF∥GH，
∴∠EMN+∠MNG=180°，
∴∠1+∠2+∠MNG =180°×2，
依次类推：∠1+∠2+…+∠n-1+∠n=(n-1)•180°．
故答案为：(n-1)•180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．
7．（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）（个）．
【分析】
（1）根据“本位数”的定义即可判断；
（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000；
（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有（个）．
【详解】
解：（1）有进位；
没有进位；
有进位；
有进位；
故答案为：×，√，×，×．
（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；
千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000，
故答案为：3332，1000．
（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有（个）．
【点睛】
本题考查了新定义计算题，准确理解新定义的内涵是解题的关键．
8．（1）1，4；（2）m=10 ；（3）不正确，改正见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据新定义由61=6、34=81可得log66=1，log381=4；
（2）根据定义知m﹣2=23，解之可得；
（3）设ax=M，ay=N，则logaM=x、logaN=y，根据ax•ay=ax+y知ax+y=M•N，继而得logaMN=x+y，据此即可得证．
试题解析：解：（1）∵61=6，34=81，∴log66=1，log381=4．故答案为：1，4；
（2）∵log2（m﹣2）=3，∴m﹣2=23，解得：m=10；
（3）不正确，设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．∵ax•ay=，∴=M•N，∴logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN．
点睛：本题考查了有理数和整式的混合运算，解题的关键是明确题意，可以利用新定义进行解答问题．
9．（1），（2）所以和谐数为15，26，37，48，59；（3）F（t）的最大值是．
【分析】
(1)根据题意,按照新定义的法则计算即可.
(2)根据新定义的”和谐数”定义,将数用a,b表示列出式子解出即可.
(3)根据(2)中计算的结果求出最大即可.
【详解】
解：（1）F（13）＝，F（24）＝;
（2）原两位数可表示为
新两位数可表示为
∴
∴
∴
∴
∴ （且b为正整数 ）
∴b=2,a=5; b=3,a=6, b=4,a=7,
b=5,a=8 b=6,a=9
所以和谐数为15，26，37，48，59
(3)所有“和谐数”中，F（t）的最大值是．
【点睛】
本题为新定义的题型,关键在于读懂题意,按照规定解题.
10．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38
【分析】
(1) 根据“模二数”的定义计算即可；
(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案
②设两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据a、b的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与“模二相加不变”的两位数的个数
【详解】
解: (1) ，
故答案为：
①，
，
与满足“模二相加不变”.
，，
，
与不满足“模二相加不变”.
，
，
，
与满足“模二相加不变”
②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a，个位数字为b，；
当a为偶数，b为偶数时，
∴
∴与满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）
当a为偶数，b为奇数时，
∴
∴与不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个
当a为奇数，b为奇数时，
∴
∴与不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合
当a为奇数，b为偶数时，
∴
∴与满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）
当此两位数大于等于77时，符合共有4个
综上所述共有12+6+16+4=38
故答案为：38
【点睛】
本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．
11．（1）5；（2）5或1；（3）1+y-2x；（4）t1=3；t2=
【分析】
（1）根据题中的新运算列出算式，计算即可得到结果；
（2）根据题中的新运算列出方程，解方程即可得到结果；
（3）根据题中的新运算列出代数式，根据数轴得出x、y的取值范围进行化简即可；
（4）根据A、B在数轴上的移动方向和速度可分别用代数式表示出数和，再根据（2）的解题思路即可得到结果．
【详解】
解：（1）；
（2）依题意得：，
化简得：，
所以或，
解得：x=5或x=1；
（3）由数轴可知：0<x<1，y<0，
所以
=
=
=
（4）依题意得：数a=−1+t，b=3−t；
因为，
所以，
化简得：，
解得：t=3或t=，
所以当时，的值为3或．
【点睛】
本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算和解一元一次方程，根据定义新运算列出关系式是解题的关键．
12．（1）；（2）2；（3）不是；（4）（6，）
【分析】
（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对分别代入计算即可判断；
（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；
（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；
（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．
【详解】
（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，
∴-2+1-3，
∴（-2，1）不是“白马有理数对”，
∵5+=，5×-1=，
∴5+=5×-1，
∴是“白马有理数对”，
故答案为：；
（2）若是“白马有理数对”，则
a+3=3a-1，
解得：a=2，
故答案为：2；
（3）若是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，
那么-n+（-m）=-（m+n）=-（mn-1）=-mn+1，
∵-mn+1 mn-1
∴（-n，-m）不是“白马有理数对”，
故答案为：不是；
（4）取m=6，则6+x=6x-1，
∴x=，
∴（6，）是“白马有理数对”，
故答案为：（6，）．
【点睛】
本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．
13．（1）；（2）；（3），点C的坐标为
【分析】
（1）由题意易得，然后可求a、b的值，进而问题可求解；
（2）由（1）及题意易得，然后根据建立方程求解即可；
（3）分别过点作轴于点P
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