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剖析高中数学中的线性规划问题

【摘要】线性规划问题是指：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题。一直是浙江省高考数学中的热门考点，也可以说是必考点。通常以选择填空题的形式考查考生的相关知识，但2012年浙江省高考理科卷却在最后大题的最后一小题中采用了线性规划求变式a+b的范围。可见高考在线性规划问题上对学生的要求已经上升到了对知识本质的真正理解与应用。本文将对浙江省高考中线性规划问题考察的特点及要求做出剖析，对线性规划问题的本质，能解决的具体问题，以及常见的考查题型做出总结，并且对“线性规划问题”的推广也做了分类归纳。
【关键词】线性规划，可行域，最优解，目标函数
线性规划问题是指：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题。近年来，高考在线性规划出题的形式越来越灵活，并且线性规划与其他知识进行交叉融合。考察中不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形集合思想，分类讨论思想，转化与化归思想，而且还能体现学生的综合分析问题能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力。本文针对浙江高考特点对线性规划问题作出解题策略。
一、浙江高考题中的线性规划问题
例如：2012年浙江省高考数学（文科）卷，第14题：(该题为本文的样题)
设，其中实数x，y满足， 则z的取值范围是_________。
图（2）
图（1）
先简单介绍下相关概念：（1）函数称为目标函数，由于目标函数是含x，y的一次解析式，在直角坐标系xoy中表示直线，故称为线性目标函数。（2）表示x，y满足的约束条件，由于约束条件中的不等式也都是x，y的一次不等式，故也称为线性约束条件。（3）约束条件在直角坐标系xoy中表示的平面区域称为可行域（如图（1）黄色区域）。（4）可行域中的任意点（x,y）称为可行解。可行解中能使目标函数z取得最大或最小的解称为最优解，相应的z值称为最优值。
其次谈谈解决线性规划问题的基本步骤：
画：画出约束条件所表示的可行域。注意边界满足时画实线，边界不满足时把边界画成虚线。
移：通常画出z=0时目标函数所表示的直线，再画如z=1时目标函数所表示的直线，从中领悟目标函数在上下移动过程中z的变化情况，如图（2）可以发现在直线越往上移动过程中，z值越大；越往下移动过程中，z值越小。
确定最优解：通过步骤②不难确定图（2）中和为最优解，且z在处取得最大，在处取得最小。
求最优值：计算最优解，联立边界方程，解出交点坐标，代入目标函数。由边界直线与求出点，代入得；同理由边界直线与求出点，代入得。所以z的取值范围是。
再看09——11年的浙江高考数学卷中的题。
2009年（文理13）若实数满足不等式组则的最小值是 4 ．
2010年（文7）若实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
（A）9 （B） （C）1 （D）
2011年（3）若实数满足不等式组 ,则的最小值是（ ）
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28
从以上历年文科试题中可以看出，该类问题注重学生的对解题步骤的强化。多画平面区域，领悟直线移动中z值的升降变化情况，正确求出边界交点，解决线性规划问题。
在掌握解题步骤后，不难发现最优解必定在区域的边缘。这样只要将边界交点都求出来，并算出相应的目标函数值，其中较大的为最大值，较小的为最小值。如在样题中，，,代入目标函数得到值为：。从而知，，故z的取值范围是。
再比如把样题中的目标函数变式为：。同样也把点，，图（3）
,代入目标函数得到值为：。因此有，，故z的取值范围是。从图（3）中也可以看出目标直线在移动过程中，在原点处取得最小，在线段BC上取得最大。故z的取值范围确实是。举此例，也想说明最优解并不一定是唯一的。还要特别提醒的是不可盲目只求直线交点，然后代入目标函数计算比较。这样会照成一些非可行解也进入比较行列，如样题中的点。然而最优解出现在可行域的边缘这个结论是正确的，关键是先画出可行域。由此可以看出作图的重要性。
下面再来看近年的浙江理科试题。
2010（理7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数
（A） （B） （C）1 （D）2
图（a）
与同年文科题相比，随稍有改动，但提高了难度。
解：先画出表示的平面区域如图（a），
由于直线恒过点M，且原点满足，故约束条件的平面区域可分为如下情况：
图（b） 图（c） 图（d）
①当时平面区域如图(b),显然的最大为无穷大，不是9。
②当时如图（c），显然不存在可行域，不符合题意。
③当平面区域如图（d），通过平移直线，不难发现在B点处取得最大。根据解边界直线的方程组：
，得B坐标为，
因此由，得。
通过上述分析，感受文理数学在考察上的不同要求，如分类讨论，数形结合思想在理科题中更加深入，在知识的本质理解上也更进一层。但无论多高的要求，都离不开解决线性规划问题的基本步骤。
再看下面这题，也不妨先比较下同年文理的区别。如不等号，的进一步要求。这些不同点必然体现了理科考核要求的提高，也是做题中不可忽视的关键性条件。
2011（理5）设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是 （ ） （A）14 （B）16 （C）17 （D）19
图（一）
解：先画出如图（一）的黄色可行域，但要注意将直线和直线画成虚线，再画出目标函数，如。通过平移可以发现点虽然是整数点，但是不属于可行解，因此在附近的整数点内寻找，不难发现点是本题的最优解，代入后得到最小值为：16。学生的图可能没有画得如此标准，那么可以把附近的整数点如（3,2），都求出，代入后比较大小，较小者为所求的最小值。
2012（理22）（本题满分14分）已知a>0,b∈R，函数。
（Ⅰ）证明：当0x1时。
（1）函数f(x)的最大值为；
（2）；
（Ⅱ）若-1 f(x) 1对x∈恒成立，求a+b的取值范围。
观察题目可以理解（Ⅰ）中的证明说明：当0x1时，，
由此结合（Ⅱ）中-1 f(x) 1，得。所以问题可以转化为如下线性规划问题：已知实数满足不等式组，则的取值范围是 。
解：采用分类讨论去绝对值得：……（1）或……（2）
图（二）
把a看成x，b看成y。画出上述两个不等式组所表示的平面区域，不等式组（1）的平面区域为浅蓝色部分，不等式组（2）的平面区域为淡黄色部分。将两个区域组合成本题的可行域，如下图（二）。通过对目标函数线的平移不难发现在处取得最大值3，在处取得最小。然而C不在可行域内，即不是可行解。所以的范围为：
通过以上对浙江省09—12年的试题分析，相信可以明白浙江高考对线性规划的考察特点和考核要求。
二、线性规划问题的本质
关于本质，无非就是对概念的深层理解。这里不妨谈谈线性规划问题能解决的具体问题。高中数学中如遇到在若干个二元一次不等式条件下，去求关于此二元的某个一次式的最值或范围问题，可以认为是线性规划问题。如函数在的上都存在零点，求实数的范围。
问题转化为线性规划问题：已知，则的范围是 。
三、线性规划考察的问题类型
由于线性规划问题涉及直线相关知识，不等式，平面图形等。因此考察问题也会跟此类知识有关。如将样题改成下题
已知实数x，y满足（1）求不等式组所表示平面区域的面积；（2）若目标函数仅在点（0,2）取得最大，求的范围；（3）若目标函数不止在一点取得最大，求的值。（4）记可行域内的点，原点，点，求的范围。
解：（1）画出如右图所示的图像,求出相关点：，，,，。
则
做法不唯一，通常将可行域拆成几个基本平面图形的组合，关键在于方便计算。
（2）先将目标函数写成直线的斜截式形式：。则是直线的斜率，为直线的纵截距。显然直线越往上移动值越大。易得不符合题意。再观察过C点的直线不难发现斜率小于直线BC的斜率，故，得
（3）通过图像可以发现当目标函数所表示的直线与直线AB或BC平行时，目标函数都不止在一点取得最大，故或。
（4）根据数量积公式，可见本题跟样题一样，只不过换一种方式考察。关于还可以从向量的几何意义出发：即长度乘以在上的投影，因此若投影越大值越大。
四、“线性规划问题”的推广
图（4-1）
关于对线性规划问题的推广，其实是将高中所学的线性规划问题的解题步骤或者称解题模式应用推广于非线性规划问题。这里的非线性规划问题，仅局限于高中知识能够解释的并非直线的几何图形或几何量，如圆，椭圆，斜率，距离等。根据约束条件与目标函数的特点分类为：①约束条件线性，目标函数非线性；②约束条件中含非线性，目标函数线性；③约束条件和目标函数都非线性。这里例举几个常见的题型。
例1：若实数满足不等式组，
（1）求的范围；（2）求的最大值和最小值。
解：先画出可行域如图（4-1）
图（4-2）
图（4-2）
（1）看成是和两点的斜率。根据图（4-2）知，当直线PM绕M点从MB转到与x轴垂直的直线时，斜率的变化范围为：；当直线PM绕M点从MC转到与x轴垂直的直线时，斜率的变化范围为：。因此的范围为：。
图（4-3）
（2）可以看成是和两点距离的平方，也可以认为是以为圆心，过P点的圆的半径的平方。根据图（4-3）知，；，所以。故的范围为：
例2：已知实数满足，（1）求的取值范围；（2）求的取值范围。
解：因为，所以,故所表示的图形为椭圆的一半。
（1）令，将的值转化为直线的纵截距。如右图，通过平移目标函数不难发现在A点处取得最小值，在C点（直线与半椭圆的切点）处取得最大值。将代入得（）的最小值为：-2。再根据联立，消元得：
所以有，，得（舍去）
因此，的取值范围为。
（2）可以认为是半椭圆上的和两点间斜率值的2倍。如右图，不难发现，因此的取值范围为：。
以上两个例题都说明：无论是线性还是非线性，将约束条件所表示的图形画出来和理解目标函数所表示的几何量（如直线的斜率，截距，两点的距离等）是解决此类问题的重中之重。
线性规划问题是数学高考题中的热门考点，但浙江高考对该类问题还没出过非线性的，然而在平时的模拟卷或参考资料中经常涉及非线性。希望各读者慎重思考，端正思想，不做无谓的题海战术。望在该类题目的解题步骤上下苦功夫，熟练解题步骤，将这条路铺平，走顺。只有真正理解知识的本质，方能将知识应用游刃有余。