“数”“形”和谐统一%2C问题巧妙破解--以2021年数学新高考Ⅱ卷第15题为例.pdf

“数”“形”和谐统一,问题巧妙破解 以 年数学新高考卷第 题为例甘肃省武山县第一高级中学田娟平面向量具有独特的“数”与“形”的“两面性”,既可以从“数”的因素加以抽象或运算,又可以从“形”的思维加以设置或切入,一直是高考数学的常见题型之一,常考常新,创新新颖,变化多端实际破解此类问题时,要全 面 提 高 用“数”、解“数”思 维,拓 展 识“形(图)”、用“形(图)”能力,充分强化与实现代数运算、直观想象等核心素养在平面向量及其他相关问题中的巧妙应用真题呈现高考真题(年数学新高考卷第 题)已知向量abc,|a|,|b|c|,则abbcca真题剖析该题条件简洁明了,以平面向量为问题背景,已知三个平面向量的模,以及三者之和为零向量,进而确定三个向量两两之间的数量积之和试题中平面向量b与c之间具有对称性,二者可以轮换处理,与向量a三者之间的和为零向量,为问题中三个向量两两之间的数量积之和的求解指明了方向具体破解时,可以直接利用平面向量的代数运算,结合平面向量的线性关系式的平方处理,或整体处理,或同级别局部处理,或差级别局部处理;结合平面向量的几何直观性,结合平面向量的投影加以数形结合处理;结合平面直角坐标系的建立,利用条件确定对应向量的坐标,利用数量积的坐标公式处理等不同思维视角,破解方法不同,都可以达到巧妙转化,正确破解的目的真题破解思维视角一:代数思维方法:整体思维解析:由abc,两边平 方 可 得(abc)展开得|a|b|c|(abbcca),将条件代入,可得(abbcca)解得abbcca故填答案:点评:将所求的式子看作一个整体,结合条件中三个向量之和为零向量加以两边平方处理,去括号展开并利用向量的模加以代入,整理即可求解对应的结论整体思维处理,高观点切入,巧妙简捷方法:局部思维解析:由abc,可得abc两边平方,可得(ab)c展开得|a|b|ab|c|,条件代入可得ab解得ab同理可得ac,bc所以abbcca故填答案:点评:将条件中三个向量之和为零向量加以移项处理,将其中两个向量之和作为一个局部看待,两边进行平方处理,去括号展开并利用向量的模加以代入,求得其中两个向量数量积的值,同理求解另外两个相应向量数量积的值,相加即可求解对应的结论局部思维处理,逐一求解数量积,局部分析,逐个击破方法:局部加强思维解析:由abc,可得abc,两边平方,可得(ab)c展开得|a|b|ab|c|条件代入可得ab,解得ab又由ab c,可得(ab)c cc|c|,即acbc所以abbcca 年 月上半月 新颖试题命题考试 基金项目:本文系甘肃省天水市教育科学“十三五”规划 年度中小学教学研究一般课题“高中数学 问题互动 教学”(课题编号:T S()GH )的研究成果故填答案:点评:结合局部思维确定其中两个向量数量积的值,再利用移项后的结果两边同时与第三个向量的数量积运算,是局部思维的“加强”版,二者相加即可求解对应的结论局部加强思维,善于观察,合理变换,巧妙应用,很好提高解题效益思维视角二:几何思维方法:投影思维图解析:如 图所 示,设aO A,bO B,cO C连接B C,交A O的 延 长 线 于 点M,过点C作B O的延长线的垂线,垂足为N结合题目条件以及图形的对称性,可知|OM|O A|O B|O C|,B CAM于是bcOM,结合勾股定理可得|BM|CM|由平 面 几 何 知 识 易 知BMO BNC,则 有|B M|B O|B N|B C|,即|O N|,解得|O N|根据平面向量的投影,可得abac,bc 所以abbcca故填答案:点评:根据平面几何作图处理,利用图形的对称性可知向量b与c关于向量a所在的直线对称;通过几何图形的直观,结合垂直的作图处理,利用直角三角形相似的性质确定对应的线段长度;结合平面向量的投影确定对应三个向量两两之间的数量积,相加即可求解对应的结论几何直观对称,垂直投影运算思维视角三:坐标思维方法:坐标思维图解析:如图所示,建立平面直角坐标系,设aO A(,)结 合 对 称 性 可 知bcO BO COM(,),满足条件abc由 数 形 结 合 可 知 四 边 形O BMC为菱形,则OM的中点N满足ON,结合勾股定理,可得|NB|NC|所以bO B,cO C,因此abbcca 故填答案:点评:根据平面直角坐标系的建立,利用图形的对称性以及几何图形与平面向量之间的关系,运用平面向量的线性运算与几何图形的特征,分别建立三个向量的坐标,结合平面向量的数量积的坐标公式来求解建立平面直角坐标系,结合代数知识,从几何角度确定坐标,利用坐标确定数量积变式拓展探究:根据以上高考真题及其破解方法,保留三个平面向量之和为零向量的背景,改变各自模的取值,使问题更具一般性,可以得到以下一般性的变式问题这时,只能考虑借助代数思想来分析与处理变式已知向量abc,|a|m,|b|n,|c|p,其中常数m,n,p均为正实数,则abbcca解析:由abc,两边平方可得(abc),即|a|b|c|(abbcca)所以mnp(abbcca)解得abbcca(mnp)故填答案:(mnp)解后反思()抓住平面向量“数”的特征来运算破解平面向量问题时,往往可以直接从平面向量“数”的特征入手,利用平面向量“数”的因素加以抽象或运算,利用平面向量的线性运算、数量积运算等,或借助平面直角坐标系的建立结合坐标运算来解决,利用代数的本质加以合理转化与巧妙运算()抓住平面向量“形”的思维来直观想象破解平面向量问题时,往往可以直接从平面向量“形”的思维入手,结合平面向量“形”的直观确定数量关系、位置关系等,特别是涉及一些有关平行、垂直的关系,利用平面向量的几何图形,结合几何推理与直观运算加以形象处理借助平面向量“数”与“形”的和谐统一与相互转化,或从“数”的角度加以代数运算,或从“形”的角度加以直观想象,总结技巧策略,发散解题思维,提升数学能力,形成良好品质,培养数学核心素养 Z命题考试新颖试题 年 月上半月