高中数学数列专题训练.doc

数列
1. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，N.则数列的通项公式
2．已知曲线：在点（）处的切线的斜率为，直线交轴，轴分别于点，，且．给出以下结论：
①；
②当时，的最小值为；
③当时，；
④当时，记数列的前项和为，则．
其中，正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）①③④
3、已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前n项和为，则
4．已知数列中，，设是数列的前项和，，则 .2
5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．那么是斐波那契数到中的第 ▲ 项．2016　　
6. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则 的通项公式____________.
7.数列满足，且对于任意的都有则等于
8．已知数列满足，，若对任意的自然数
，恒有，则的取值范围为　 ▲ 　．
9、已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，，设，则数列的前10项和等于________85
10．如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列。若，则= ▲ ．
解答：第2行成公差为的等差数列，可得：，
第行的数的个数为，从第1行到第行的所有数的个数总和为，
86=92+5，第10行的前几个数为：，所以。
第一列构成一个公比为2的等比数列，
故有，解得：。
11．在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则此数列的前100项的和　　　　.299
解：此数列只有三个数：2；9；3循环
12. 设函数, A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为的点，向量，向量i=（1，0），设为向量与向量i的夹角，则满足 的最大整数n是 ．3

解:所以,,又是关于的单调递减函数,所以单调递增,当＝1,2,3时,满足题意,当＝4时,,从而当时,所以满足的最大整数是3.
13、已知函数是定义在上恒不为0的单调函数，对任意的，总有成立．若数列的n项和为，且满足， ，则= ..
14．已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=____________是，.
14．【答案】14
【解析】函数在 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为，
所以，所以当时，.　
解答题
1.在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；
（ⅱ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明：，．
解 （ⅰ）因为数列为单调递增数列，，所以（）.
由题意得，，
于是，
化简得，
所以数列为等差数列.——————４分
（ⅱ）又，，所以数列的首项为，
公差为，所以，从而.
结合可得.
因此，当为偶数时，
当为奇数时.
（2）所以数列的通项公式为
.
因为，
所以，

，
所以，．
2.如图，把正分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，．．．，BC为第n行，记点A上的数为，第i行中第j个数为．若．
（1）求；
（2）试求第n行中第m个数的表达式（用n、m表示）；
（3）记，求证：
.解：（1）
（2）
（3）
当时，，所以
当时，，则
又
所以
3．已知数列中，，，数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列中存在若干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项，3为公比的等比数列．
① 求这个等比数列的项数与n的关系式；
② 记，求证：．
解 （1）由，∴，∴，
∴数列成等差数列，公差为2，首项为，
∴，由，∴，∴，
∴当时，，
当时，．∴

（2）① 由题意，数列中存在若干项，按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项，3为公比的等比数
列，则，设是中的第k项，即，解得，．
∴，．
②当时，，
∵对于，，∴，
∴，
∴，
显然，综上所述，对，成立．

4.已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
（Ⅰ）若为…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出的值;
（Ⅱ）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列;
（Ⅲ）证明：若，，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

5.已知函数．无穷数列满足．
（1）若，求，，；
（2）若，且，，成等比数列，求的值；
（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．

【解析】 （1）
（2）

分情况讨论如何：

（3）
讨论如下:

6.已知在直角坐标系中，，其中数列都是递增数列
（1）若，判断直线与是否平行；
（2）若数列都是正项等差数列，设四边形的面积为．
求证：也是等差数列；
（3）若,，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数。
19． ⑴由题意、、、．
∴，． …………………………………（2分）
，∴与不平行． ……………………………………（4分）
⑵、为等差数列，设它们的公差分别为和，则，
由题意．……………………………（6分）
∴
，…………………………………………（8分）
∴，∴是与无关的常数，
∴数列是等差数列． ……………………………………（10分）
⑶、，∴．
又数列前项依次递减，
∴对成立，即对成立．………………（12分）
又数列是递增数列，∴，只要时，即即可．
又，联立不等式，作出可行域（如右图所示），易得或．…………（14分）
当时，，即，有解；
当时，，即，有解．∴数列共有个．（16分）
另解：也可直接由得．又，则或．
7.．已知数集A＝{a1，a2，…，an}(0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2，n∈N*)具有性质P："i，j(1≤i≤j≤n)，
ai＋aj与aj－ai两数中至少有一个属于A．
(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；
(2)证明：a1＝0；
(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．
证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．
(2)因为A＝{a1，a2，…，an}具有性质P，所以an＋an与an－an中至少有一个属于A，
又an＋an＞an，所以an＋anA，所以an－an∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；
(3)当 n＝5时，取j＝5，当i≥2时，ai＋a5＞a5，
由A具有性质P，a5－ai∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－ai∈A，i＝1，2，3，4，5．
因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，
则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，
从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，
又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．
又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，
即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．
8.已知数列中，,
(1)若,求数列前6项的和；
(2)证明:数列的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数;
(3)是否存在,使成等比数列？写出并证明你的结论.
20．解:(1) ,，

所以数列的前6项和为0 ……………4分
(2)证:为偶数，与及同奇偶，
……6分
①若为奇数，注意到奇+奇=偶,奇+偶=奇,则各项的奇偶性依次是:奇,奇,偶,奇,奇,偶
数列的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数 ; ……10分
②若为偶数,同理可证：数列的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数 .……11分
(3)假若存在,使成等比数列,则，
由(2)可知,必为偶数,从而为偶数,则为奇数, 不成立，
故不存在,使成等比数列. …………………………16分

9.数列、由下列条件确定：
①，；
②当，与满足如下条件：
当时，，；
当时，，.
（1）如果，，试求，，，；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）设()是满足…的最大整数，证明：.
解：（1）∵，∴，，
∵，∴，.……………………4分
（2）证明：当时，
①当时，；
②当时，.
∴当时，都有，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.……………………10分
（3）证明：由（2）可得，
∵，∴()，
∴，∴对于，都有,，
∴，∴
.
若，则，
∴，
∴，与是满足()的最大整数相矛盾，
∴是满足的最小整数.
∴，结论成立.………16分

10. 已知各项均为正整数的数列{}满足对任意的，成立．设数列与数列是公差均为的等差数列．
（1）若，求证：数列{}为等差数列；
（2）若，试探究数列{}是否是等差数列．若是，给出证明；若不是，说明理由．
解：（1）当时，由题意得，
故，又，
所以，即数列为等差数列；
（2）设数列与数列的首项分别为，记，
当时，数列为等差数列，公差为，
下证：对任意的，．
①假设存在正整数，使得，
设正整数的最小值为，记为，
则，
又由得，
所以,矛盾；
②假设存在正整数，使得，
又易得，
设正整数的最大值为，不妨记为，
则
，
又由得，
所以,矛盾；
综上得，对任意的，，即数列是等差数列．