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高中数学数列专题大题组卷一选择题（共9小题）1等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A130B170C210D2602已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）AB7C6D3数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a6=（）A344B344+1C44D44+14已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）5等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD6已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A138B135C95D237设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D68等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn=（）An（n+1）Bn（n1）CD9设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则a1+a20C若0a1a2，则a2D若a10，则（a2a1）（a2a3）0二解答题（共14小题）10设数列an（n=1，2，3，）的前n项和Sn满足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值11设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn12已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1（）证明an+是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：+13已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求a1+a4+a7+a3n214等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式； （）设bn=，求数列bn的前n项和Sn15已知等比数列an中，a1=，公比q=（）Sn为an的前n项和，证明：Sn=（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式16已知数列an满足an+2=qan（q为实数，且q1），nN*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和an的通项公式；（2）设bn=，nN*，求数列bn的前n项和17已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（an+1）2，求数列bn的前n项和Tn18已知数列an和bn满足a1=2，b1=1，an+1=2an（nN*），b1+b2+b3+bn=bn+11（nN*）（）求an与bn；（）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn19已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn20设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn21设数列an的前n项和为Sn已知a1=a，an+1=Sn+3n，nN*由（）设bn=Sn3n，求数列bn的通项公式；（）若an+1an，nN*，求a的取值范围22已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn23数列an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN*（）证明：数列是等差数列；（）设bn=3n，求数列bn的前n项和Sn高中数学数列专题大题组卷参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1（1996全国）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A130B170C210D260【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列进行求解【解答】解：解法1：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，s3m=3ma1+d=3m+=210故选C解法2：设an为等差数列，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，即30，70，s3m100成等差数列，30+s3m100=702，解得s3m=210故选C【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n，成等差数列2（2010大纲版）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）AB7C6D【分析】由数列an是等比数列，则有a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10【解答】解：a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8，故选A【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想3（2011四川）数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a6=（）A344B344+1C44D44+1【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn1，两者相减，根据SnSn1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn1（n2），两式相减得：an+1an=3（SnSn1）=3an，则an+1=4an（n2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an=a2qn2=34n2（n2）则a6=344故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题4（2013大纲版）已知数列an满足3an+1+an=0，a2=，则an的前10项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5（2013新课标）等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）ABCD【分析】设等比数列an的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，S3=a2+10a1，a5=9，解得故选C【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键6（2008全国卷）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A138B135C95D23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+=95故选C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式7（2013新课标）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D6【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差d=am+1am=1，Sm=0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，故选C【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力8（2014新课标）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn=（）An（n+1）Bn（n1）CD【分析】由题意可得a42=（a44）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得【解答】解：由题意可得a42=a2a8，即a42=（a44）（a4+8），解得a4=8，a1=a432=2，Sn=na1+d，=2n+2=n（n+1），故选：A【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题9（2015北京）设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则a1+a20C若0a1a2，则a2D若a10，则（a2a1）（a2a3）0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：若a1+a20，则2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即A不正确；若a1+a30，则a1+a2=2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即B不正确；an是等差数列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即C正确；若a10，则（a2a1）（a2a3）=d20，即D不正确故选：C【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础二解答题（共14小题）10（2015四川）设数列an（n=1，2，3，）的前n项和Sn满足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值【分析】（）由已知数列递推式得到an=2an1（n2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列an是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（）由（）求出数列的通项公式，再由等比数列的前n项和求得Tn，结合求解指数不等式得n的最小值【解答】解：（）由已知Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1 （n2），即an=2an1（n2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又a1，a2+1，a3成等差数列，a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2数列an是首项为2，公比为2的等比数列故；（）由（）得：，由，得，即2n100029=51210001024=210，n10于是，使|Tn1|成立的n的最小值为10【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（2015湖北）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100（1）求数列an，bn的通项公式（2）当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d1时，由（1）知cn=，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，an=2n1，bn=2n1；当时，an=（2n+79），bn=9；（2）当d1时，由（1）知an=2n1，bn=2n1，cn=，Tn=1+3+5+7+9+（2n1），Tn=1+3+5+7+（2n3）+（2n1），Tn=2+（2n1）=3，Tn=6【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题12（2014新课标）已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1（）证明an+是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：+【分析】（）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出an的通项公式；（）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式【解答】证明（）=3，0，数列an+是以首项为，公比为3的等比数列；an+=，即；（）由（）知，当n2时，3n13n3n1，=，当n=1时，成立，当n2时，+1+=对nN+时，+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题13（2013新课标）已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求a1+a4+a7+a3n2【分析】（I）设等差数列an的公差为d0，利用成等比数列的定义可得，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式an；（II）由（I）可得a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以25为首项，6为公差的等差数列利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+a3n2【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d0，由题意a1，a11，a13成等比数列，化为d（2a1+25d）=0，d0，225+25d=0，解得d=2an=25+（n1）（2）=2n+27（II）由（I）可得a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以25为首项，6为公差的等差数列Sn=a1+a4+a7+a3n2=3n2+28n【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键14（2013大纲版）等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式； （）设bn=，求数列bn的前n项和Sn【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由=，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列an的公差为da7=4，a19=2a9，解得，a1=1，d=（II）=sn=【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易15（2011新课标）已知等比数列an中，a1=，公比q=（）Sn为an的前n项和，证明：Sn=（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式【分析】（I）根据数列an是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an和前n项和Sn，然后经过运算即可证明（II）根据数列an的通项公式和对数函数运算性质求出数列bn的通项公式【解答】证明：（I）数列an为等比数列，a1=，q=an=，Sn=又=SnSn=（II）an=bn=log3a1+log3a2+log3an=log33+（2log33）+（nlog33）=（1+2+n）=数列bn的通项公式为：bn=【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质16（2015天津）已知数列an满足an+2=qan（q为实数，且q1），nN*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和an的通项公式；（2）设bn=，nN*，求数列bn的前n项和【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知bn=，nN*，写出数列bn的前n项和Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）an+2=qan（q为实数，且q1），nN*，a1=1，a2=2，a3=q，a5=q2，a4=2q，又a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，23q=2+3q+q2，即q23q+2=0，解得q=2或q=1（舍），an=；（2）由（1）知bn=，nN*，记数列bn的前n项和为Tn，则Tn=1+2+3+4+（n1）+n，2Tn=2+2+3+4+5+（n1）+n，两式相减，得Tn=3+n=3+n=3+1n=4【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题17（2015山东）已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（an+1）2，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）通过对cn=分离分母，并项相加并利用数列的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过bn=n4n，写出Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1、公差为d，则a10，an=a1+（n1）d，an+1=a1+nd，令cn=，则cn=，c1+c2+cn1+cn=+=，又数列的前n项和为，a1=1或1（舍），d=2，an=1+2（n1）=2n1；（2）由（1）知bn=（an+1）2=（2n1+1）22n1=n4n，Tn=b1+b2+bn=141+242+n4n，4Tn=142+243+（n1）4n+n4n+1，两式相减，得3Tn=41+42+4nn4n+1=4n+1，Tn=【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题18（2015浙江）已知数列an和bn满足a1=2，b1=1，an+1=2an（nN*），b1+b2+b3+bn=bn+11（nN*）（）求an与bn；（）记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn【分析】（）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列an为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列an的通项公式；再由b1=1，b1+b2+b3+bn=bn+11，取n=1求得b2=2，当n2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列为常数列，由此可得bn的通项公式；（）求出，然后利用错位相减法求数列anbn的前n项和为Tn【解答】解：（）由a1=2，an+1=2an，得由题意知，当n=1时，b1=b21，故b2=2，当n2时，b1+b2+b3+=bn1，和原递推式作差得，整理得：，；（）由（）知，因此，两式作差得：，（nN*）【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题19（2015安徽）已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列an的通项公式；（2）求出bn=，利用裂项法即可求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8a1+a4=9，a1a4=a2a3=8解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列an的通项公式an=2n1；（2）Sn=2n1，bn=，数列bn的前n项和Tn=+=1【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键20（2015山东）设数列an的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3（）求an的通项公式；（）若数列bn，满足anbn=log3an，求bn的前n项和Tn【分析】（）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n1时，2Sn1=3n1+3，两式相减2an=2Sn2Sn1，可求得an=3n1，从而可得an的通项公式；（）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，于是可求得T1=b1=；当n1时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），利用错位相减法可求得bn的前n项和Tn【解答】解：（）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n1时，2Sn1=3n1+3，此时，2an=2Sn2Sn1=3n3n1=23n1，即an=3n1，所以an=（）因为anbn=log3an，所以b1=，当n1时，bn=31nlog33n1=（n1）31n，所以T1=b1=；当n1时，Tn=b1+b2+bn=+（131+232+（n1）31n），所以3Tn=1+（130+231+332+（n1）32n），两式相减得：2Tn=+（30+31+32+32n（n1）31n）=+（n1）31n=，所以Tn=，经检验，n=1时也适合，综上可得Tn=【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题21（2008全国卷）设数列an的前n项和为Sn已知a1=a，an+1=Sn+3n，nN*由（）设bn=Sn3n，求数列bn的通项公式；（）若an+1an，nN*，求a的取值范围【分析】（）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+13n+1=2（Sn3n）所以bn=Sn3n=（a3）2n1，nN*（）由题设条件知Sn=3n+（a3）2n1，nN*，于是，an=SnSn1=，由此可以求得a的取值范围是9，+）【解答】解：（）依题意，Sn+1Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+13n+1=2Sn+3n3n+1=2（Sn3n）（4分）因此，所求通项公式为bn=Sn3n=（a3）2n1，nN*（6分）（）由知Sn=3n+（a3）2n1，nN*，于是，当n2时，an=SnSn1=3n+（a3）2n13n1（a3）2n2=23n1+（a3）2n2，an+1an=43n1+（a3）2n2=，当n2时，a9又a2=a1+3a1综上，所求的a的取值范围是9，+）（12分）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件22（2014山东）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（）由（）可得bn=对n分类讨论“裂项求和”即可得出【解答】解：（）等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，Sn=n2n+na1，S1，S2，S4成等比数列，化为，解得a1=1an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）由（）可得bn=（1）n1=Tn=+当n为偶数时，Tn=+=1=当n为奇数时，Tn=+=1+=Tn=【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题23（2014安徽）数列an满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），nN*（）证明：数列是等差数列；（）设bn=3n，求数列bn的前n项和Sn【分析】（）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证（）由（）求出bn=3n=n3n，利用错位相减求出数列bn的前n项和Sn【解答】证明（）nan+1=（n+1）an+n（n+1），数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；（）由（）知，bn=3n=n3n，3n1+n3n3n+n3n+1得3nn3n+1=【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法求和的关键是求出通项选方法