北师大版九年级上册数学复习知识点及例题.doc

Fpg数学九年级上册知识点总结第一章 特殊平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考必考内容之一，主要出现题型多样，注重考查学生基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形条件。 知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形性质和判定，通过定理证明和应用教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点： 1.矩形、菱形性质及判定应用 2. 相关知识综合应用知识点归纳矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形一矩形矩形定义：有一角是直角平行四边形叫做矩形【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角矩形性质性质1 矩形四个角都是直角；性质2 矩形对角线相等，具有平行四边形所以性质。；矩形判定矩形判定方法1:对角线相等平行四边形是矩形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角四边形是矩形矩形判断方法3：有一个角是直角平行四边形是矩形。例1：若矩形对角线长为8cm，两条对角线一个交角为600，则该矩形面积为 例2：菱形具有而矩形不具有性质是 （ ）A 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补例3： 已知：如图， ABCD各角平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形二菱形菱形定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等菱形性质性质1 菱形四条边都相等；性质2 菱形对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形判定菱形判定方法1:对角线互相垂直平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等四边形是菱形例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例2已知：如图ABCD对角线AC垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形 例3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC中点，过点O作AC垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。 例5 （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，A=60,=4,O为对角线BD中点，过O点作OEAB，垂足为E(1)求线段长例6、（2011四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA延长线于E，DFBC，交BC延长线于F。请你猜想DE与DF大小有什么关系？并证明你猜想例7、（2011山东烟台）如图，菱形ABCD边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF形状，并说明理由；（3）设BEF面积为S，求S取值范围.三正方形正方形是在平行四边形前提下定义，它包含两层意思：有一组邻边相等平行四边形 （菱形）有一个角是直角平行四边形 （矩形）正方形不仅是特殊平行四边形，并且是特殊矩形，又是特殊菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它性质是它们性质综合，正方形性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意：正方形一条对角线把正方形分成两个全等等腰直角三角形，对角线与边夹角是45；正方形两条对角线把它分成四个全等等腰直角三角形，这是正方形特殊性质正方形具有矩形性质，同时又具有菱形性质正方形判定方法： (1)有一个角是直角菱形是正方形； (2)有一组邻边相等矩形是正方形 注意：1、正方形概念三个要点： （1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等 2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应条件，确定是正方形. 例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线交点为O，E是OB上一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形例3、（2011海南）如图，P是边长为1正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE面积为y. 求出y关于x函数关系式，并写出x取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.实战演练：1.对角线互相垂直平分四边形是（ ）A平行四边形、菱形B矩形、菱形C矩形、正方形D菱形、正方形2.顺次连接菱形各边中点所得四边形一定是（ ）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确是（ ）A当AB=BC时，它是菱形 B当ACBD时，它是菱形DCBAC当ABC=900时，它是矩形 D当AC=BD时，它是正方形4.如图，在中，点分别在边，上，且，下列四个判断中，不正确是（）A四边形是平行四边形B如果，那么四边形是矩形C如果平分，那么四边形是菱形D如果且，那么四边形是菱形5.如图，四边形为矩形纸片把纸片折叠，使点恰好落在边中点处，折痕为若，则等于（）AB CD6.如图，矩形周长为，两条对角线相交于点，过点作垂线，分别交于点，连结，则周长为（ ）A5cmB8cmC9cmD10cm7.在右图方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），A若方格纸中每个最小正方形边长为1，则该菱形面积为 ABCDDBC8.如图，在矩形中，对角线交于点，已知，则长为 9.边长为cm菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线长是 .10.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）BCDAPADCBO11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则ACP度数是 12.如图，矩形中，是与交点，过点直线与延长线分别交于（1）求证：；FDOCBEA第12题图（2）当与满足什么关系时，以为顶点四边形是菱形？证明你结论13.将两块全等含30角三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1图1图2图3图4(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你结论和理由：_(2)如图2，将RtBCD沿射线BD方向平移到RtB1C1D1位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你结论和理由：_(3)在RtBCD沿射线BD方向平移过程中，当点B移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点B移动距离为_时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_(图3、图4用于探究)应用探究：1.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线情况下，图中角（虚线也视为角边）有（ ）A6个B5个 C4个 D3个DACBM2.如图，正方形面积为1，是中点，则图中阴影部分面积是（ ）ABCD3.已知为矩形对角线，则图中与一定不相等是（ ）BA1DC2112BADCBAC12D12BADCA B C DB F CA H DE G4.红丝带是关注艾滋病防治问题国际性标志.将宽为红丝带交叉成60角重叠在一起（如图），则重叠四边形面积为_5.如图，将矩形纸ABCD四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠四边形EFGH，若EH3厘米，EF4厘米，则边AD长是_厘米.6.如图，已知，点在边上，四边形是矩形请你只用无刻度直尺在图中画出平分线（请保留画图痕迹）ABCDE7.如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC长是 ABCPDE第二章 一元二次方程一、一元二次方程 （一）一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数最高次数是2整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程一般形式，它特征是：等式左边是一个关于未知数x二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。例 方程是一元二次方程，则.二、一元二次方程解法 1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如一元二次方程。当时，；当b0时，方程没有实数根。例 第二象限内一点A（x1，x22），关于x轴对称点为B，且AB=6，则x=_2、配方法 一般步骤：（1） 方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2） 将所得方程常数项移到方程右边。（3） 所得方程两边都加上一次项系数一半平方（4） 配方，化成（5）开方，当时，；当b0时，方程没有实数根。例 若方程有解，则取值范围是（）ABC D无法确定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程解方法，它是解一元二次方程一般方法。一元二次方程求根公式：例 已知x24x2=0，那么3x212x2012值为 4、因式分解法一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积时使用此方法。例 已知一个三角形两边长是方程x2-8x+15=0两根，则第三边y取值范围是（ ） Ay8 B3y5 c2y0k0时，函数图象两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 增大而减小。x取值范围是x0， y取值范围是y0；当k0时，函数图象两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 增大而增大。例 在同一坐标系中，函数和图像大致是 （ ）A B C D例 反比例函数，当时，其图象两个分支在第一、三象限内。例 反比例函数对称轴有（ ）条（A）0 （B）1 （C）2 （D） 无数例 对于反比例函数()，下列说法不正确是（ ）（A）它图象分布在第一、三象限 （B）点（，）在它图象上（C）它图象是中心对称图形 （D）随增大而增大例 已知反比例函数（k0）图象上有两点A（），B（），且，则值是（）（A）正数（B）负数（C）非正数（D）不能确定4、反比例函数解析式确定确定反比例函数解析式方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上一个点坐标，即可求出k值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数几何意义过反比例函数图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得矩形PMON面积S=PMPN=。ABOxy例 如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点，若SAOB3，则值为（ ）A、6 B、3C、D、不能确定 Fpg