北师大版九年级上册数学复习知识点与例题.docx

-WORD格式-可编辑-数学九年级上册知识点总结第一章特殊的平行四边形复习中考考点综述：特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。知识目标掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。重难点：1. 矩形、菱形性质及判定的应用2. 相关知识的综合应用知识点归纳23-矩形边对边平行且相等性角四个角都是直角质对角互相平分且相等线有三个角是直角 ;是平行四边形且判定有一个角是直角 ;是平行四边形且两条对角线相等 .对称性菱形正方形对边平行，四边相等对边平行，四边相等对角相等四个角都是直角互相垂直平分，且每条互相垂直平分且相等 , 每条对角线平对角线平分一组对角分一组对角四边相等的四边形；是平行四边形且有一是矩形，且有一组邻边相等；组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。是平行四边形且两条对角线互相垂直。既是轴对称图形，又是中心对称图形一矩形矩形定义： 有一角是直角的平行四边形叫做矩形【强调】矩形（ 1）是平行四边形； （ 2）一一个角是直角矩形的性质性质 1矩形的四个角都是直角；性质 2矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；矩形的判定矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形注意此方法包括两个条件： （ 1）是一个平行四边形；（ 2）对角线相等1矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例 1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A 对角线互相平分；B.四条边都相等；C. 对角相等；D. 邻角互补例 3： 已知：如图，ABCD各角的平分线分别相交于点E， F，G， ?H，?求证： ?四边形 EFGH是矩形二菱形菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（ 1）是平行四边形； （ 2）一组邻边相等菱形的性质性质 1菱形的四条边都相等；性质 2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件： （ 1）是一个平行四边形；（ 2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E求证： AFD= CBE例 2 已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E、 F2求证：四边形AFCE 是菱形例 3 、 如 图 ， 在ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD 、BC 分别交于 E、F，求证：四边形AFCE 是菱形 .A1EDO2BFC例 4、已知如图，菱形ABCD 中， E 是 BC 上一点， AE 、 BD 交于 M ，A若 AB=AE, EAD=2 BAE 。求证： AM=BE 。BMDEC例 5 （ 10 湖南益阳）如图，在菱形 ABCD 中， A=60 ,AB =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE AB，垂足为 EDC(1) 求线段 BE 的长O60AE B例 6、（ 2011 四川自贡） 如图，四边形 ABCD 是菱形， DE AB 交 BA 的延长线于 E，DF BC ，交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想3例 7、（ 2011 山东烟台）如图，菱形 ABCD 的边长为2，BD=2 ，E、F 分别是边 AD ，CD 上的两个动点， 且满足 AE+CF=2.（ 1）求证： BDE BCF ；（ 2）判断 BEF 的形状，并说明理由；（ 3）设 BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围 .三正方形正方形是在平行四边形的前提下定义 的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行 四边形 叫做正方形 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边： 对边平行，四边相等；角： 四个角都是直角；对角线： 对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法：? (1) 有一个角是直角的菱形是正方形；? (2) 有一组邻边相等的矩形是正方形? 注意： 1、正方形概念的三个要点：? （ 1）是平行四边形；? （ 2）有一个角是直角；4? （ 3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形 .例 1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O， E 是OB上的一点， DGAE 于 G，DG 交 OA 于 F求证： OE=OF 例l1 于已知：如图，四边形N，直线 MB、DNABCD 是正方形，分别过点分别交 l 2 于 Q、 P 点A 、C两点作l1 l 2，作BM l1 于M，DN求证：四边形PQMN是正方形例 3、（ 2011 海南） 如图， P 是边长为1 的正方形ABCD 对角线动点（ P 与 A、 C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .（ 1）求证：PE=PD； PE PD；（ 2）设 AP=x, PBE 的面积为y. 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；AC上一 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.实战演练：1. 对角线互相垂直平分的四边形是（）A 平行四边形、菱形B矩形、菱形C矩形、正方形D 菱形、正方形2. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A . 等腰梯形B. 正方形C. 平行四边形D. 矩形3. 如图，已知四边形 ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A 当 AB=BC 时，它是菱形B 当 AC BD 时，它是菱形C当 ABC=90 0 时，它是矩形D 当 AC=BD 时，它是正方形ADBC4. 如图，在 ABC 中，点 E，D，F 分别在边 AB ， BC ， CA 上，且 DE CA ， DF BA 下列四个判断中，不正确的是（）A 四边形 AEDF 是平行四边形B 如果BAC 90 ，那么四边形AEDF 是矩形C如果 AD 平分BAC ，那么四边形AEDF 是菱形D 如果 ADBC且 ABAC ，那么四边形AEDF 是菱形5. 如图，四边形ABCD 为矩形纸片把纸片ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF 若 CD6 ，则 AF 等于（）A4 3B3 3C4 2D 8EAD5OBFC6. 如图，矩形 ABCD 的周长为 20cm ，两条对角线相交于 O 点，过点 O 作 AC 的垂线 EF ，分别交AD，BC 于 E，F 点，连结 CE ，则 CDE 的周长为（）A 5cmB 8cmC 9cmD 10cm7. 在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （ A、 B、C、 D 四点均为格点） ，若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为AADBDCBC8. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O ，已知 AOD120 ， AB 2.5，则AC的长为9. 边长为 cm 的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是.10. 如图所示， 菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是（只填一个条件即可） ADADPOBCBC11. 如图，已知P是正方形ABCD对角线 BD上一点，且 BP = BC，则 ACP度数是12. 如图，矩形 ABCD 中， O 是 AC 与 BD 的交点，过 O 点的直线 EF 与 AB，CD 的延长线分别交于 E，F （ 1）求证： BOE DOF ；（ 2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论FADOBCE第 12题图13. 将两块全等的含30角的三角尺如图1 摆放在一起，设较短直角边为16AAAA30BDD1BBBB1DDD30C图 1CC1 图2C图 3C图 4(1)四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_ (2)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt B1C1D1 的位置，四边形 ABC 1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _ (3)在 Rt BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为_时，四边形ABC1D1 为矩形，其理由是 _ ；当点 B 的移动距离为 _时，四边形 ABC 1D1 为菱形，其理由是 _ (图 3、图 4 用于探究 )应用探究：1. 如图， 将矩形 ABCD 纸片沿对 角线 BD 折叠，使 点 C 落在 C 处， BC 交 AD 于 E，若DBC22.5，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45的角（虚线也视为角的边）有（）A6 个B5个C4个D3个BADC22.5ECCDAMB2. 如图，正方形ABCD 的面积为1， M 是 AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（）A 312D410BC9353. 已知 AC 为矩形 ABCD 的对角线，则图中1 与2 一定不相等的是（）DCDC DCDC2222A1BA1B A1A1B1BA BCD4. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为 1cm 的红丝带交叉成 60角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_ cm2.AHDEGBFC5. 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若 EH 3 厘米， EF 4 厘米，则边AD 的长是 _厘米 .76. 如图，已知AOB， OAOB ，点 E 在 OB 边上，四边形AEBF 是矩形请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB 的平分线（请保留画图痕迹） AADFOEBBEC7. 如图：矩形纸片 ABCD ， AB=2，点 E 在 BC 上，且 AE=EC 若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在AC 上，则 AC 的长是ADPBEC第二章一元二次方程一、一元二次方程（一） 一元二次方程定义含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。（二） 一元二次方程的一般形式ax 2bxc0(a0) ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中 ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项。2例 方程 (m2)xm 2(3m) x20 是一元二次方程，则m_ .二、一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法适用于解形如(x a 2b的一元二次方程。 当 b0时， x ab ，)x ab ；当 b0 时，方程没有实数根。例 第二象限内一点A（x1，x2 2），关于 x 轴的对称点为B，且 AB=6 ，则 x=_2、配方法一般步骤：8（1） 方程 ax 2bxc0(a0) 两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4） 配方，化成 (xa)2b（ 5）开方，当 b 0 时， xab ；当 b0 时，方程没有实数根。例 若方程 x 42a 有解，则 a 的取值范围是（）A a 0B a 0C a 0D无法确定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax 2bxc0(a0) 的求根公式：x bb2 4ac (b2 4ac 0) 2a例 已知 x24x 2=0，那么 3x212x2012 的值为4、因式分解法一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。例 已知一个三角形的两边长是方程x2-8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（ ）A y8B3y5c2y8D无法确定补充：一元二次方程根的判别式根的判别式1 、定义：一元二次方程ax 2bx c 0( a0) 中， b 24ac 叫做一元二次方程ax 2bx c 0( a 0) 的根的判别式。2、性质：当 b 24ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当 b 24ac 0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac 0 时，方程没有实数根。例 若关于 x 的方程 x2 2 有两个相等的实根，则 a20135的值2 (a1 )x = (b+2)+b为.2 例 若关于 x 的方程 x无实根，则k可取的最小整数为（）2x(k-x)+6=0（A） -5 （B） -4（C） - 3（D）- 2补充：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如 果 方 程 ax 2bx c0( a 0) 的 两个 实数 根是 x1， x2 ，那 么 x1x2b ，a9x1x2c 。a第三章概率的进一步认识一、知识概括1、频率（1）在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；（2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：频率频数频数数据总数实验次数（3）在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于 1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。2、概率的求法：（1）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率为 P（ A） = mn（2）表格法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。（3）树状图法通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。（当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 ）例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色。模拟“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（）（A ） “抛掷一枚普通骰子出现1 点朝上”的机会（B） “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会（C） “抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会（D） “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会1539例 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5 个和 4 个扇形，每2448个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指3针都落在奇数上的概率是（）2331（A） 5（B） 10（C）20（D）5例 如图，一个小球从A 点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左10或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H 点的概率是（）（A） 1（B） 1（C） 1（D） 12468例 如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、 4 和方块1、 2、 3、 4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5 的概率是（）（A） 1（B） 1（C） 1（D） 32345例 在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字的机会是均等的 . 当同时转动两个转盘，停止后指针所指的两个数字表示两条线段的长，如果第三条线段的长为5，那么这三条线段不能 构成三角形的概率是（）（A） 6（B） 9（C） 12（D） 1625252525三、典型例题1226475343甲乙例 1. 袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次任取一个，又放回抽取两次。求下列事件的概率。（1）全红（ 2）颜色全同（ 3）无白解：红黄白红（红，红）（红，黄）（红，白）黄（黄，红）（黄，黄）（黄，白）白（白，红）（白，黄）（白，白）1P(全红 )91P( 颜色全同 )34P(无白 )9说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白色球。例 2. 一个密码保险柜的密码由6 个数字组成，每个数字都是由0 9 这十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？解： 他前面的4 个数字都已知道只有最后两个数字忘记了，而最后两个数字每个数字出现的可能结果都有10 种情况， 那么组成两个数字的可能结果就有100 种，因此正好是密码上的最后两个数字的概率是1 。100例 3. 袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入5 个黑球后，小颖通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25， 30， 30， 10， 5，试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？解： 小刚放入5 个黑球后摸到的黑色球的频率为5 ，则可以由此估计出袋中共有球115 100(个 ) 。说明此时袋中可能有 100个球（包括 5个黑球），则有红色球100 525 25个，黄色球 100 30 30 个，蓝色球 10030 30 个，白色球10010 10 个。例 4.甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各1 次（ 1）若两次数字之差的绝对值为0， 1 或 2，则甲胜，否则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？（2）若两次数字和是2 的倍数，则甲胜，而若和是3 的倍数或5 的倍数，则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？16312484556解：（ 1）用列表的方法可看出所有可能的结果：13456810234572112346431012454210136532102从上表中可以看出两个数字之差的绝对值，为0 的有4 种可能结果，1 的有7 种可能结果， 2的有 6种可能结果，所以甲胜的概率为17 ，而乙胜的概率为13 ，因此3030甲 胜 的可能性比乙大，所以不公平。（2）通过列表可知：134568124567923567810457891012568910111367910111214出现的两个数字之和是2 的倍数有15 种，出现的两个数字之和是3 的倍数有10 种， 5的倍数有 6种，所以甲胜的概率为15 ，而乙胜的概率为 16 ，因此甲胜的可能性3030比乙小，所以不公平。例 5. 小明与同学一起想知道每6 个人中有两个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟实验来估计 6 个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？分析： 可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”的设计。解： 用 12 个完全相同的小球分别编上号码1 12，代表 12 个生肖，放入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码连续取出6 个球为一次实验，重复上述实验过程多次，统计每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数，得到的12实验频率可估计每6 个人中有两个人生肖相同的概率。第四章图形相似与相似三角形知识点解读知识点 1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。 （即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读 ：（ 1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到（ 2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同（ 3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关例 1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同例 2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是100的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_(填序号 )解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为 100的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似答案：知识点 2比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 ac（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段bd解读 ：（ 1）四条线段 a,b,c,d 成比例，记作 ac （或 a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线bd段有顺序性（ 2）在比例式 ac （或 a:b=c:d ）中，比例的项为a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项， b,c 为比例内项，bdd 是第四比例项（ 3）如果比例内项是相同的线段，即ab或 a:b=b:c，那么线段 b 叫做线段和的比例中项。b c(4) 通常四条线段 a,b,c,d 的单位应一致， 但有时为了计算方便， a 和 b 统一为一个单位， c 和 d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等例 3已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 a b分析：求a 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比b例 4已知 a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d=3dm，求 c 的长度2分析：由 a,b,c,d 成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,d 统一单位后代入求 c知识点 3相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等解读 ：（ 1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系（ 2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性例 5若四边形 ABCD 的四边长分别是 4， 6， 8， 10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A 1B1C1D 1的最大边长为30，则四边形A 1B1C1D1 的最小边长是多少？13分析：四边形ABCD 与四边形 A 1B 1C1D 1 相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1 ，3再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长知识点 4相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形解读 ：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种；（ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（ 4）相似用“”表示，读作“相似于” ；（ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比注意 ：相似比是有顺序的，比如ABC A 1B 1C1 ，相似比为k,若 A 1B 1C1 ABC ，则相似比为 1 。若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊k情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等例 6如图，已知 ADE ABC ，DE=2 ，BC=4 ，则和的相似比是多少？点 D，E 分别是 AB ， AC 的中点吗？ADEBC注意 ：解决此类问题应注意两方面： （ 1）相似比的顺序性， （ 2）图形的识别解：因为 ADE ABC ，所以 DEADAE ，因为 DE21，所以 ADAE1BCABACBC42，所以 D， E 分别是 AB ，AC 的中点ABAC2知识点