北师大版九年级上册数学复习知识点与例题.docx

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数学九年级上册知识点总结

第一章特殊的平行四边形复习

中考考点综述：

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是历年中考的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。

重难点：

1. 矩形、菱形性质及判定的应用

2. 相关知识的综合应用知识点归纳

23
----

矩形

边 对边平行且相等
性 角 四个角都是直角

质 对

角 互相平分且相等

线

·有三个角是直角 ;

·是平行四边形且

判定 有一个角是直角 ;

·是平行四边形且

两条对角线相等 .

对称性


菱形
正方形
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
对角相等
四个角都是直角
互相垂直平分，且每条
互相垂直平分且相等 , 每条对角线平
对角线平分一组对角
分一组对角

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有一
·是矩形，且有一组邻边相等；
组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。
·是平行四边形且两条

对角线互相垂直。

既是轴对称图形，又是中心对称图形

一．矩形

矩形定义： 有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】 矩形（ 1）是平行四边形； （ 2）一一个角是直角．

矩形的性质

性质 1 矩形的四个角都是直角；

性质 2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。 ；

矩形的判定

矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件： （ 1）是一个平行四边形；（ 2）对角线相等

1

矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例 1：若矩形的对角线长为 8cm，两条对角线的一个交角为 600，则该矩形的面积为

例 2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）

A． 对角线互相平分； B. 四条边都相等； C. 对角相等； D. 邻角互补

例 3： 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点 E， F，G， ?H，

?求证： ?四边形 EFGH是矩形．

二．菱形

菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】 菱形（ 1）是平行四边形； （ 2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质 1 菱形的四条边都相等；

性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件： （ 1）是一个平行四边形；（ 2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形．

例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E．

求证：∠ AFD= ∠ CBE．

例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E、 F．

2

求证：四边形 AFCE 是菱形．

例 3 、 如 图 ， 在ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD 、BC 分别

交于 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形 .
A 1 E D

O

2
B F C

例 4、已知如图，菱形 ABCD 中， E 是 BC 上一点， AE 、 BD 交于 M ， A

若 AB=AE, ∠ EAD=2 ∠ BAE 。求证： AM=BE 。

B M D

E
C

例 5． （ 10 湖南益阳）如图，在菱形 ABCD 中，∠ A=60 °,AB =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点

作 OE⊥ AB，垂足为 E．
D C

(1) 求线段 BE 的长．

O

60
A
E B

例 6、（ 2011 四川自贡） 如图，四边形 ABCD 是菱形， DE ⊥ AB 交 BA 的延长线于 E，DF⊥ BC ，交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想

3

例 7、（ 2011 山东烟台）

如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2 ，E、F 分别是边 AD ，CD 上的两个动点， 且满足 AE+CF=2.

（ 1）求证：△ BDE ≌△ BCF ；

（ 2）判断△ BEF 的形状，并说明理由；

（ 3）设△ BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围 .

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下 定义 的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）

②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义： 有一组邻边相等 并且有一个角是直角 的平行 四边形 叫做正方形．
．．．．．． ．．．．．．． ．． ．．．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合， 正方形的性质

总结如下：

边： 对边平行，四边相等；

角： 四个角都是直角；

对角线： 对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是

45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．

正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

? (1) 有一个角是直角的菱形是正方形；

? (2) 有一组邻边相等的矩形是正方形．

? 注意： 1、正方形概念的三个要点：

? （ 1）是平行四边形；

? （ 2）有一个角是直角；

4

? （ 3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形 .

例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O， E 是 OB

上的一点， DG⊥AE 于 G，DG 交 OA 于 F．

求证： OE=OF ．

例

l1 于


已知：如图，四边形

N，直线 MB、DN


ABCD 是正方形，分别过点

分别交 l 2 于 Q、 P 点．


A 、C


两点作


l1 ∥l 2，作


BM ⊥ l1 于


M，DN⊥

求证：四边形

PQMN


是正方形．

例 3、（ 2011 海南） 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线

动点（ P 与 A、 C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .

（ 1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥ PD；

（ 2）设 AP=x, △ PBE 的面积为 y.

① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；


AC


上一

② 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值 .

实战演练：

1. 对角线互相垂直平分的四边形是（

）

A ．平行四边形、菱形
B．矩形、菱形

C．矩形、正方形

D ．菱形、正方形

2. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是
（
）

A . 等腰梯形
B. 正方形

C. 平行四边形
D. 矩形

3. 如图，已知四边形 ABCD
是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）

A ．当 AB=BC 时，它是菱形

B ．当 AC ⊥ BD 时，它是菱形

C．当∠ ABC=90 0 时，它是矩形
D． 当 AC=BD 时，它是正方形
Ａ

A

D

Ｆ

Ｅ

B
C

Ｂ
Ｄ
Ｃ

4. 如图，在 △ ABC 中，点 E，D，F 分别在边 AB ， BC ， CA 上，且 DE ∥ CA ， DF ∥ BA ．下
列四个判断中，不正确 的是（ ）
．．．

A ．四边形 AEDF 是平行四边形B ．如果
BAC 90 ，那么四边形
AEDF 是矩形

C．如果 AD 平分
BAC ，那么四边形
AEDF 是菱形

D ．如果 AD
BC且 AB
AC ，那么四边形
AEDF 是菱形

5. 如图，四边形
ABCD 为矩形纸片．把纸片
ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折

痕为 AF ．若 CD
6 ，则 AF 等于（
）

A．4 3

B．3 3
C．4 2
D． 8

Ａ

Ｄ

E

A
D

5

O

B
F
C

Ｅ

Ｂ Ｆ Ｃ

6. 如图，矩形 ABCD 的周长为 20cm ，两条对角线相交于 O 点，过点 O 作 AC 的垂线 EF ，分别交

AD，BC 于 E，F 点，连结 CE ，则 △CDE 的周长为（
）
A ．5cmB． 8cmC． 9cmD． 10cm

7. 在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （ A、 B、C、 D 四点均为格点） ，

若方格纸中每个最小正方形的边长为
1，则该菱形的面积为

A

A
D

B

D

C

B

C

8. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O ，已知 AOD
120 ， AB 2.5
，则AC的

长为
．

9. 边长为５ cm 的菱形，一条对角线长是
6cm，则另一条对角线的长是
.

10. 如图所示， 菱形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O ，若再补充一个条件能使菱形
ABCD 成

为正方形，则这个条件是
（只填一个条件即可） ．

A
D
A
D

P

O

B
C

B
C

11. 如图，已知
P是正方形
ABCD对角线 BD上一点，且 BP = BC，则∠ ACP度数是
．

12. 如图，矩形 ABCD 中， O 是 AC 与 BD 的交点，过 O 点的直线 EF 与 AB，CD 的延长线分别交

于 E，F ．

（ 1）求证： △ BOE ≌△ DOF ；

（ 2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以 A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

F

A D

O

B C

E 第 12题图

13. 将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1．

6

A
A

A

A

30
B
D
D1
B

B

B
B1
D
D

D

30

C
图 1
C
C1 图2

C
图 3
C
图 4

(1)四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： ________________________ ．

(2)如图 2，将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt△ B1C1D1 的位置，四边形 ABC 1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _________________________________________ ．

(3)在 Rt△ BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为 ______时，四边形 ABC1D1 为

矩形，其理由是 _____________________________________ ；当点 B 的移动距离为 ______时，四边

形 ABC 1D1 为菱形，其理由是 _______________________________ ． (图 3、图 4 用于探究 )

应用探究：

1. 如图， 将矩形 ABCD 纸片沿对 角线 BD 折叠，使 点 C 落在 C 处， BC 交 AD 于 E，若

DBC 22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中 45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）

A．6 个 B．5个 C．4个 D．3个

B A


D C

22.5


E

C

C D


A M B

2. 如图，正方形
ABCD 的面积为
1， M 是 AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（
）

A ．
3

1
2
D．
4

10
B．
C．
9

3
5

3. 已知 AC 为矩形 ABCD 的对角线，则图中
1 与
2 一定不相等的是（
）

D

C
D

C D
C
D
C

2

2

2

2

A
1

B
A1

B A
1
A1
B

1

B

A ．

B．

C．

D．

4. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为 1cm 的红丝带交叉成 60°角重叠在一起（如

图），则重叠四边形的面积为 _______ cm2.

A H D

E G

B F C

5. 如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH ，若 EH

＝ 3 厘米， EF＝ 4 厘米，则边 AD 的长是 ___________厘米 .

7

6. 如图，已知
AOB， OA
OB ，点 E 在 OB 边上，四边形
AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直
尺在图中画出
AOB 的平分线（请保留画图痕迹） ．

A
A
D

F

O
E B B E C

7. 如图：矩形纸片 ABCD ， AB=2，点 E 在 BC 上，且 AE=EC ．若将纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在

AC 上，则 AC 的长是 ．

A D

P

B E C

第二章 一元二次方程

一、一元二次方程

（一） 一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。

（二） 一元二次方程的一般形式

ax 2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，

等式右边是零，其中 ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项。

2
例 方程 (m 2)xm 2 (3 m) x 2 0 是一元二次方程，则 m ____ .

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法

直接开平方法适用于解形如
(
x a 2
b
的一元二次方程。 当 b
0时， x a
b ，

)

x ab ；当 b<0 时，方程没有实数根。

例 第二象限内一点 A（x—1，x2— 2），关于 x 轴的对称点为 B，且 AB=6 ，则 x=_________．

2、配方法 一般步骤：

8

（1） 方程 ax 2 bx c 0(a 0) 两边同时除以 a,将二次项系数化为 1.

（2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。

（3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方

（4） 配方，化成 (x a)2 b

（ 5）开方，当 b 0 时， x
ab ；当 b<0 时，方程没有实数根。

例 若方程 x 4
2
a 有解，则 a 的取值范围是（
）．

A ． a 0

B． a 0
C． a 0
D．无法确定

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的求根公式：

x bb2 4ac (b2 4ac 0) 2a

例 已知 x2＋4x－ 2=0，那么 3x2＋12x＋2012 的值为

4、因式分解法

一元二次方程的一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。

例 已知一个三角形的两边长是方程
x2-8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（ ）．

A ． y<8B．3<y<5

c．2<y<8
D．无法确定

补充：一元二次方程根的判别式

根的判别式

1 、定义：一元二次方程
ax 2
bx c 0( a

0) 中， b 2
4ac 叫做一元二次方程

ax 2
bx c 0( a 0) 的根的判别式。

2、性质：当 b 2
4ac ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当 b 2
4ac ＝0
时，方

程有两个相等的实数根；当
b2
4ac ＜ 0 时，方程没有实数根。

例 若关于 x 的方程 x2 –
–

2 有两个相等的实根，则 a2013
5
的值

2 (a
1 )x = (b+2)

+b

为
.
2 –

例 若关于 x 的方程 x

无实根，则
k
可取的最小整数为（

）

2x(k-x)+6=0

（A） -5 （B） -4
（C） - 3（D）- 2

补充：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如 果 方 程 ax 2
bx c
0( a 0) 的 两个 实数 根是 x1， x2 ，那 么 x1
x2
b ，

a

9

x1x2
c 。

a

第三章 概率的进一步认识

一、知识概括 1、频率
（1）在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．；
（2）每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：

频率
频数
频数

数据总数
实验次数

（3）在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频

率的和等于 1。因此，各个小长方形的面积的和等于 1。

2、概率的求法：

（1）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率为 P（ A） = m
n

（2）表格法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

（3）树状图法

通过画树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

（当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地

列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 ）

例 在布袋中装有两个大小一样，质地相同的球，其中一个为红色，一个为白色。模拟

“摸出一个球是白球”的机会，可以用下列哪种替代物进行实验（

）

（A ） “抛掷一枚普通骰子出现
1 点朝上”的机会

（B） “抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会

（C） “抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会

（D） “抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会
1
5
3
9

例 如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成
5 个和 4 个扇形，每

2
4
4
8

个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指

3

针都落在奇数上的概率是（
）

2
3
3
1

（A） 5
（B） 10
（C）20
（D）5

例 如图，一个小球从 A 点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左

10

或向右两种机会均等的结果，小球最终到达
H 点的概率是（
）
（A） 1
（B） 1
（C） 1
（D） 1

2
4
6
8

例 如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃 1、2、3、 4 和方块

1、 2、 3、 4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，

那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于 5 的概率是（ ）
（A） 1
（B） 1
（C） 1
（D） 3
2
3
4
5

例 在图中的甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字

的机会是均等的 . 当同时转动两个转盘，停止后指针所指

的两个数字表示两条线段的长，如果第三条线段的长为 5，

那么这三条线段不能 构成三角形的概率是（ ）
．．
（A） 6
（B） 9
（C） 12
（D） 16
25
25
25
25

三、典型例题


1
2
2
6

4
7

5
3
4
3

甲

乙

例 1. 袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，每次任取一个，又放回抽取两次。求下列事件的概率。

（1）全红 （ 2）颜色全同 （ 3）无白

解：

红
黄
白
红
（红，红）
（红，黄）
（红，白）
黄
（黄，红）
（黄，黄）
（黄，白）
白
（白，红）
（白，黄）
（白，白）

1
P(全红 )
9
1
P( 颜色全同 )
3
4
P(无白 )
9

说明：颜色全同包括都是红色或都是黄色或都是白色；无白指没有白色球。

例 2. 一个密码保险柜的密码由 6 个数字组成，每个数字都是由 0～ 9 这十个数字中的一个，王

叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？

解： 他前面的 4 个数字都已知道只有最后两个数字忘记了，而最后两个数字每个数字出现的可

能结果都有 10 种情况， 那么组成两个数字的可能结果就有 100 种，因此正好是密码上的最后两个数
字的概率是 1 。
100

例 3. 袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入 5 个黑球后，小颖通过多次摸球实

验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为 25％， 30％， 30％， 10％， 5％，试

估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？

解： 小刚放入 5 个黑球后摸到的黑色球的频率为 5 ％，则可以由此估计出袋中共有球

11

5 ＝ 100(个 ) 。说明此时袋中可能有 100个球（包括 5个黑球），则有红色球
％

100 ×

5

25％＝ 25
个，黄色球 100× 30％＝ 30 个，蓝色球 100×30％＝ 30 个，白色球
100×10％＝ 10 个。

例 4.
甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各
1 次

（ 1）若两次数字之差的绝对值为0， 1 或 2，则甲胜，否则乙胜。这个游戏对双方公平吗？为

什么？

（2）若两次数字和是
2 的倍数，则甲胜，而若和是
3 的倍数或
5 的倍数，则乙胜。这个游戏对

双方公平吗？为什么？

1
6
3
1

2

4
8

4
5
5
6

解：（ 1）用列表的方法可看出所有可能的结果：

1
3
4
5
6
8

1
0
2
3
4
5
7

2
1
1
2
3
4
6

4
3
1
0
1
2
4

5
4
2
1
0
1
3

6
5
3
2
1
0
2

从上表中可以看出两个数字之差的绝对值，为

0 的有
4 种可能结果，
1 的有
7 种可能
结果， 2的有 6种可能结果，所以甲胜的概率为
17 ，而乙胜的概率为

13 ，因此

30

30
甲 胜 的
可能性比乙大，所以不公平。

（2）通过列表可知：

1
3
4
5
6
8

1
2
4
5
6
7
9

2
3
5
6
7
8
10

4
5
7
8
9
10
12

5
6
8
9
10
11
13

6
7
9
10
11
12
14

出现的两个数字之和是 2 的倍数有 15 种，出现的两个数字之和是 3 的倍数有 10 种， 5

的倍数有 6种，所以甲胜的概率为 15 ，而乙胜的概率为 16 ，因此甲胜的可能性

30 30 比 乙

小，所以不公平。

例 5. 小明与同学一起想知道每 6 个人中有两个人生肖相同的概率， 他们想设计一个模拟实验来

估计 6 个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？

分析： 可以用摸球、扑克牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”的设计。

解： 用 12 个完全相同的小球分别编上号码 1～ 12，代表 12 个生肖，放入一个不透明的袋中摇

匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码⋯⋯连续取出 6 个球为一

次实验，重复上述实验过程多次，统计每次实验中出现相同号码的次数除以总的实验次数，得到的

12

实验频率可估计每 6 个人中有两个人生肖相同的概率。

第四章 图形相似与相似三角形知识点解读

知识点 1.．相似图形的含义

把形状相同的图形叫做相似图形。 （即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读 ：（ 1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．

（ 2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．

（ 3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．

例 1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．

例 2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角 80°的两个等

腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是 100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是

_________(填序号 )．

解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、

等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为 100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．

知识点 2．比例线段
对于四条线段
a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，
即 a
c

（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
b
d

解读 ：（ 1）四条线段 a,b,c,d 成比例，记作 a
c （或 a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线

b
d

段有顺序性．

（ 2）在比例式 a
c （或 a:b=c:d ）中，比例的项为
a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项， b,c 为比例内项，

b d

d 是第四比例项．

（ 3）如果比例内项是相同的线段，即
a
b

或 a:b=b:c，那么线段 b 叫做线段和的比例中项。

b c

(4) 通常四条线段 a,b,c,d 的单位应一致， 但有时为了计算方便， a 和 b 统一为一个单位， c 和 d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．

例 3．已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 a ．
b
分析：求 a 即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．
b
例 4．已知 a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d=
3

dm，求 c 的长度．

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分析：由 a,b,c,d 成比例，写出比例式
a:b=c:d，再把所给各线段
a,b,,d 统一单位后代入求 c．

知识点 3．相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

解读 ：（ 1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．

（ 2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．

例 5．若四边形 ABCD 的四边长分别是 4， 6， 8， 10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A 1B1C1D 1

的最大边长为 30，则四边形 A 1B1C1D1 的最小边长是多少？

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分析：四边形
ABCD 与四边形 A 1B 1C1D 1 相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为
1 ，

3
再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．

知识点 4．相似三角形的概念

对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．

解读 ：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

（ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

（ 4）相似用“∽”表示，读作“相似于” ；

（ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．

注意 ：①相似比是有顺序的，比如△ ABC ∽△ A 1B 1C1 ，相似比为 k,若△ A 1B 1C1∽△ ABC ，则相
似比为 1 。②若两个三角形的相似比为 1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊
k

情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．

例 6．如图，已知△ ADE ∽△ ABC ，DE=2 ，BC=4 ，则和的相似比是多少？点 D，E 分别是 AB ， AC 的中点吗？

A

D E

B

C

注意 ：解决此类问题应注意两方面： （ 1）相似比的顺序性， （ 2）图形的识别．

解：因为△ ADE ∽△ ABC ，所以 DE
AD
AE ，因为 DE
2
1
，

所以 AD
AE
1
BC
AB
AC
BC
4
2

，所以 D， E 分别是 AB ，AC 的中点．

AB
AC
2

知识点