石港中学高二数学期末复习专题训练三.doc

石港中学高二数学期末复习专题训练三
一、基础训练：
1. 已知直线l⊥平面α，直线 m平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l⊥ m ；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确命题序号是 .
2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若，且，则；②若，且，则；
③若，且，则；④若，且，则．
则所有正确命题的序号是 ．[来源:Zxxk.Com]
3. 将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为_____.
4. 正三棱锥中，，，分别是棱上的点，为边的中点，，则三角形的面积为__________．
5. 已知点在球O的球面上,,.球心O到平面 的距离为1，则球O的表面积为 .
6. 已知在棱长为3的正方体中，P，M分别为线段，上的点，若，则三棱锥的体积为 .

二、例题精讲：
例1在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．

B
M
C
D
O
A
例2已知直三棱柱的底面中,,, ,是的中点，D是AC的中点 ，是的中点 ,
(1)证明：平面； （2）试证：

例3如图，在四棱柱中，已知平面
平面且,.
（1）求证：
（2）若为棱的中点，求证：平面.

例4如图，已知四边形ABCD为矩形，平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且平面ACE.
（1）求证：AE//平面BDF；
（2）求三棱锥D－ACE的体积.

三、课后作业：
1. 设a、b为两条直线，、为两个平面，有下列四个命题：①若a，b，且a∥b，则∥；②若a，b，且a⊥b，则⊥；③若a∥，b，则a∥b ；④若a⊥，b⊥，则a∥b，其中正确命题的序号为
2. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为________
3. 已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为
4. 点均在同一球面上，且、、两两垂直，且 ,则该球的表面积为 .
5. 如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面，是侧棱的中点.
A
B
D
A1
B1
C1
D1
E
C
（1）求证：平面；（2）求证：平面.

6. 如图，在四面体中,,是的中点．
(1)求证:平面；
(2)设为的重心,是线段上一点,且.
求证:平面.

7. 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（1）求证： MN∥平面； （2）求证：MN⊥平面；
（3）求三棱锥的体积．

8. 如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:GH∥平面CDE；
（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.

江苏省西亭高级中学高二数学期末复习三答案
一、基础训练：
1. 已知直线l⊥平面α，直线 m平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l⊥ m ；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确命题序号是 . ①③
2. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若，且，则；②若，且，则；
③若，且，则；④若，且，则．
则所有正确命题的序号是 ▲ ．[来源:Zxxk.Com]【答案】②
3. 如图: 三棱柱侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若是中心，则与平面所成的角大小是 .
4. 将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=，则三棱锥D-ABC的体积为__________.答案：
5. 正三棱锥中，，，分别是棱上的点，为边的中点，，则三角形的面积为__________．答案：
6. 已知点在球O的球面上,,.球心O到平面的距离为1，则球O的表面积为( )
7. 已知在棱长为3的正方体中，P，M分别为线段，上的点，若，则三棱锥的体积为 ▲ 答案：
8. 如图，四面体中，，，平面平面，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为 .

_
D
_
C
_
B
_
A
_

二、例题精讲：
例1. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）因为N是PB的中点，PA=AB，
所以AN⊥PB,因为AD⊥面PAB，所以AD⊥PB,又因为AD∩AN=A
从而PB⊥平面ADMN,因为平面ADMN，
所以PB⊥DM.　　　　　　…………7′
(2) 连接AC，过B作BH⊥AC，因为⊥底面，
所以平面PAB⊥底面，所以BH是点B到平面PAC的距离.
在直角三角形ABC中，BH＝ ……………14′

B
M
C
D
O
A
例2. 已知直三棱柱的底面中,
,, ,是的中点，
D是AC的中点 ，是的中点 ,
(1)证明：平面；
（2）试证：

证明：(1)连,为中点，为中点，,…………2分
又平面,平面,平面………6分
(2) 直三棱柱 平面
平面,……………………7分
又,平面 平面 , 平面 …………………………………………… 9分
在与中，
∽
………12分[
平面 平面 ，
平面…………………14分

例3. 如图，在四棱柱中，已知平面
平面且,.
（1） 求证：
（2） 若为棱的中点，求证：平面.

⑴在四边形中，因为，，
所以，
又平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以．
⑵在三角形中，因为，且为中点，所以，
又因为在四边形中，，，
所以，，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面．

E
A
O
C
B
D
D1
A1
C1
B1
例4. （第16题）
如图，已知四边形ABCD为矩形，平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且平面ACE.
（I）求证：AE//平面BDF；
（II）求三棱锥D－ACE的体积.

（I）设，连结.
因为面,面，所以.
因为,所以为的中点. ……………………3分
在矩形中，为中点，所以. …………………5分
因为面,面，所以面. …………7分
（II）取中点，连结.因为,所以， …………8分
因为面,面,所以, 所以面.
因为面,面，所以.…………10分
因为面,面,所以.
又，所以平面. …………12分
又面,所以.所以,.
故三棱锥的体积为.………14分
三、课后作业：
1. 设a、b为两条直线，、为两个平面，有下列四个命题：①若a，b，且a∥b，则∥；②若a，b，且a⊥b，则⊥；③若a∥，b，则a∥b ；④若a⊥，b⊥，则a∥b，其中正确命题的序号为 ▲
答案：④
2. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为（结果保留）__________
答案：
3. 已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为 ▲ 答案：
4. 点均在同一球面上，且、、两两垂直，且 ,则该球的表面积为（ ）
5. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
(1)求证：；（2）求截面的面积。

（1）证明：因为是的中点，， 所以。

由底面，得，
又，即，
平面，所以 ，
平面，
。 ………… 7分
（2）由分别为的中点，得，且，
又，故，
由（1）得平面，又平面，故，
四边形是直角梯形，
在中，，，
截面的面积。

6. 如图，已知四棱柱的底面是菱形，侧棱底面
A
B
D
A1
B1
C1
D1
E
C
，是侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面.

证明：（Ⅰ）因为是菱形，所以，
因为底面，所以， 所以平面. …………6分
（Ⅱ）设,交于点，取的中点，连接，
则，且，又是侧棱的中点，，，，
所以，且, 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. …………14分
7. 如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点，
A
B
C
D
S
E
(I)求证：AC⊥BE；
(II)若二面角C-AE-D的大小为60°，求线段DE的长。

(I) 以D为坐标原点，DA、DB、DS所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C—xyz，如图所示，D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)
设DE=t ，则E(0,0,t)，，,即 ……………4分
(II)取平面ADE的一个法向量
A
B
C
D
S
E
x
y
z
设平面ACE的一个法向量为
得
令，则
由得所以DE=……………………10分
8. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，⊥平面，，，.
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

证明：(Ⅰ)以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，， ,
,,所以 ⊥.…………4分
x
z
y
（Ⅱ）易证为面的法向量，
设面的法向量，

所以
所以面的法向量 ,
因为面和面所成的角为锐角，所以二面角的余弦值为.…………10分
9. 如图，在四面体中,,是的中点．
(1)求证:平面；
(2)设为的重心,是线段上一点,且.
求证:平面.

证明:(1)由 ……………………………………………… 3分
同理，,又∵,平面,∴平面………………7分
(2)连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为的重心,所以,
又,所以 ………………………………………………11分
又,,所以平面
10. 如图,在四棱锥中,⊥底面,底面为梯形,,, ,点在棱上,且．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

11. 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（Ⅰ）求证： MN∥平面；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
（Ⅰ）证明： 连结，，
是，的中点
．
又平面，
平面 ………………………………………4分
（Ⅱ）三棱柱中，侧棱与底面垂直，
四边形是正方形．． ．
连结，．
，又中的中点，．
与相交于点，平面． …………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知是三棱锥的高．
在直角中，，．
又．． ……………14分

12. 如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:GH∥平面CDE；
（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.

证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，
∴中，，
∵ABCD为平行四边形∴AB∥CD ∴，
又∵∴平面
⑵， 所以，
又因为四边形为正方形，
，
，，-
.

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