沪科版_八年级数学下册复习讲义.doc

第十六章 二次根式
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
【典型例题】
题型一：二次根式的判定
【例1】下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
题型二：二次根式有意义
【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
题型三：二次根式定义的运用
【例3】若y=++2009，则x+y=
解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014
题型四：二次根式的整数与小数部分
已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。
若的整数部分是a，小数部分是b，则 。
若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．
【典型例题】
题型一：二次根式的双重非负性
【例4】若则 ．
题型二：二次根式的性质2 （公式的运用）
【例5】 化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
题型三：二次根式的性质3 （公式的应用）
【例6】已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例7】在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
解题思路：掌握最简二次根式的条件。
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例8】 把下列各式分母有理化
（1） （2） （3） （4）
【例9】把下列各式分母有理化
（1） （2） （3） （4）
【例10】把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3）
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；              ②与；
③与；       ④与．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=（a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【典型例题】
【例11】化简
(1) (2) (3)
【例12】计算（1）  （2）    （3）   （4）

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
【例13】计算
（1）； （2）；

【例14】 （1） （2）
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
【知识要点】
1、确定运算顺序；
　　2、灵活运用运算定律；
　　3、正确使用乘法公式；
　　4、大多数分母有理化要及时；
　　5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】
1、 2、 (2+4－3)

【例15】 1．已知：，求的值．
知识点八：根式比较大小

【知识要点】
1、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。
2、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②
8、 求商比较法
9、 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①； ②
【典型例题】
【例16】 比较与的大小。（用两种方法解答）
【例17】比较与的大小。
一 元 二 次 方 程
一、知识结构：
一元二次方程
二、考点精析
考点一、概念
(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知的值为2，则的值为 。
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程： =0;
例2、若，则x的值为 。
类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如， ，
典型例题：
例1、的根为（ ）
A B C D
例2、若，则4x+y的值为 。
例3、方程的解为（ ）
A. B. C. D.
例4、解方程：
例5、已知,则的值为 。
类型三、配方法

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、 试用配方法说明的值恒大于0。
例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。
例3、 已知为实数，求的值。
例4、 分解因式：
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式： ,
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶
例2、在实数范围内分解因式：
（1） ；（2）. ⑶
说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求两根，再写成=.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、 已知，求代数式的值。
例2、如果，那么代数式的值。
说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.
例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题：
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为 ,⑵只有一个根，则m为 。
例2、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。
例3、 如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于而言，当满足①、②时，
才能用韦达定理。⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值。典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知，，，求
变式：若，，则的值为 。
例5、已知是方程的两个根，那么 .
针对练习：
1、解方程组
2．已知，，求的值。
3、已知是方程的两实数根，求的值。