高二数学平面向量复习.docx

高二数学平面向量复习（一）知识点1向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.预习练习1.如图，在OAC中，B为AC的中点，若xy(x，yR)，则xy_.2若菱形ABCD的边长为2，则|_.3D是ABC的边AB上的中点，若xy，则xy_.4已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.例题讲解例题一1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是_2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是_例题2设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_若条件变为：若2，则_.针对训练若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：；.其中正确的有_个例题3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线针对训练已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由课堂练习1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小a0(为实数)，则必为零，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的有_个2.如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_.3已知点P在ABC 所在的平面内，若2343，则PAB与PBC的面积的比值为_4.如图，在ABC中，A60，A的平分线交BC于D，若AB4，且 (R)，则AD的长为_5在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)6设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_.课后练习1设a、b是两个非零向量，下列结论正确的有_(填写序号)若|ab|a|b|，则ab若ab，则|ab|a|b|若|ab|a|b|，则存在实数，使得ba若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|2设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_3在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_4设D，P为ABC内的两点，且满足()，则_.5在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a4b5c0，则abc_.6已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.7已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p，则|p|_.8已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_9.如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若m，n，其中m，n(0,1)设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：mn；(2)若mn1，求|的最小值10.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线11A，B，O是平面内不共线的三个定点，且a，b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示，则_.12已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_高二数学平面向量复习（二）知识点1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.预习练习1若向量a(2,3)，b(x，6)，且ab，则实数x_.2已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值是_3设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_a_b.例题讲解例题一1.在平面直角坐标系中，已知向量(2,1)，(3,5)，则向量的坐标为_2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则_.3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n.例题2如图，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，试用a，b为基底表示向量，.针对训练如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_例题3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；在本例条件下，若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.针对训练已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标课堂练习1若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于y轴，a(2，1)，则b_.2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于_3已知向量a(sin ，cos )，b(3，4)，若ab，则tan 2_.4已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确结论的个数是_5已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC135，设(R)，则的值为_6在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为_课后练习1已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_2已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs的值是_3已知向量a，b(x,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x的值为_4.若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为_5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是_(填写序号)6在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.7Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_8已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_9已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？10已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线11如图，正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点设(，R)，则的取值范围是_高二数学平面向量复习（三）知识点1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)；(3)(ab)cacbc.3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|预习练习1已知两个单位向量e1，e2的夹角为120，若向量ae12e2，b4e1，则ab_.2在菱形ABCD中，AB2，B，3，3，则_.3已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为_4已知向量a与b的夹角为60，且|a|1，|b|2，那么(ab)2的值为_例题讲解例题一1.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，则ab_.2已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则的值为_3.如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_4在ABC中，若A120，1，则|BC|的最小值是_ 例题二1已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为_2(1)已知向量a的模为2，向量e为单位向量，e(ae)，则向量a与e的夹角大小为_ (2)设a，b，c是单位向量，且abc，则向量a，b的夹角等于_3(1)已知向量a(3,2)，b(1,0)，且向量ab与a2b垂直，则实数的值为_ (2)在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，则k的值为_例题三已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值针对训练已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,00，q0)，且满足pq6时，求ABC面积的最大值11在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足2，则_.12若点G为ABC的重心，且AGBG，则sin C的最大值为_13.如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C.(1)若C为圆弧的中点，点D在线段OA上运动，求|的最小值；(2)若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求的取值范围16