三角（高考）.doc

三角与向量（高考）
17．（新课标Ⅱ）（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC．
（1）求 ；
（2）若∠BAC＝60°，求∠B．
解：（1）由正弦定理得，，，
∵AD平分∠BAC，BD＝2DC，∴＝＝．
（2）∵∠C＝180°－(∠BAC+∠B)，∠BAC＝60°，
∴sin∠C＝sin(∠BAC+∠B)＝cos∠B+sin∠B．
由（1）得2 sin∠B＝sin∠C，代入上式得tan∠B＝，又0°＜∠B＜180°，∴∠B＝30°．
考点：解三角形
15．（江苏）（本小题满分14分）
在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．

考点：余弦定理，二倍角公式
9．（湖南）将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移j（0＜j＜）个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足| f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有| x1－x2|＝，则j＝ ．
试题分析：向右平移j个单位后，得到g(x)＝sin(2x－2j)，，又∵| f(x1)－g(x2)|＝2，
∴不妨2x1＝+2kp，2x2－2j＝－+2mp，，∴x1－x2＝－j+(k－m)p，
又∵| x1－x2|min＝，∴－j＝，∴j＝．
考点：三角函数的图象和性质.
17．（山东）（本小题满分12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosB＝，sin(A+B)＝，ac＝2 ．求sinA 和c的值．

由正弦定理可得，结合即得．
试题解析：在中，由，得．
因为，所以，
因为，所以，为锐角，，
因此．
由可得，又，所以.
考点：1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.
16．（浙江）（本题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2－a2＝c2．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为7，求b的值．

考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.
12．（北京）在中，，，，则 ．1
试题分析：．
考点：正弦定理、余弦定理
15．（北京）（本小题13分）
已知函数．
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)在区间上的最小值．
试题解析： f(x)＝＝．
（1） f(x)的最小正周期为T＝2p；
（2）∵－p≤x≤0，∴，∴当＝，即时，f(x)的最小值为－1－．
考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.
9．（重庆）若tana＝2tan，则　　　　．3
解：
＝．
14．（福建）若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝_______．
试题分析：由题意得B＝180°－A－C＝60°．由正弦定理得，则．
考点：正弦定理．
21．（福建）（本题满分12分）
已知函数f(x)＝10．
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2．
（ⅰ）求函数g(x)的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．
试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将f(x)化为f(x)＝10sin(x+)+5，然后利用求周期；（Ⅱ）由函数的解析式中给减，再将所得解析式整体减去得的解析式为，当取1的时，取最大值，列方程求得，从而的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，可解不等式，只需解集的区间长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数．
试题解析：（1）因为f(x)＝10＝5＝10sin(x+)+5．
所以函数f(x)的最小正周期T＝2p．
（2）（i）将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sinx+5的图象，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到g(x)＝10sinx+5－a的图象．
又已知函数g(x)的最大值为2，所以10+5－a＝2，解得a＝13．
所以g(x)＝10sinx－8．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即sinx0＞．
由＜知，存在，使得sina0＝．
由正弦函数的性质可知，当xÎ(a0，p－a0)时，均有sinx＞．
因为y＝sinx的周期为2p，所以当xÎ(2kp+a0，2kp+p－a0)（kÎZ）时，均有sinx＞．
因为对任意的整数k，2kp+p－a0－(2kp+a0)＝p－2a0＞＞1，
所以对任意的正整数，都存在正整数xkÎ(2kp+a0，2kp+p－a0)，使得sinxk＞．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．
考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．
15．（天津）（本小题满分13分）已知函数，xÎR．
（1）求f(x)最小正周期；
（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值．

考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.
13．（天津）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为 ．8
试题分析：因为，所以，
又，∴，解方程组得b＝6，c＝4，由余弦定理得
，所以a＝8．
考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.
17．（陕西）（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量m＝(a，b)
与n＝(cosA，sinB)平行．
（1）求A；
（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
试题解析：（1）因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜p，所以A＝．
（2）解法一：由余弦定理，得a2＝b2+c2－2bccosA，而a＝，A＝．
得7＝4+c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，，所以c＝3．
故△ABC的面积为bcsinA＝．
解法二：由正弦定理得，从而，又由a＞b知A＞B，∴．
故sinC＝sin(A+B)＝sin(B+)＝sinBcos+cosBsin＝，
∴△ABC的面积为bcsinA＝．
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
3．（陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x+j)+k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 ．8
试题分析：由图象知：ymin＝2，因为ymin＝－3+k，所以－3+k＝2，解得：k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3+k＝3+5＝8．
考点：三角函数的图象与性质．

13．（上海）已知函数f(x)＝sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1≤x2≤…≤xm≤6p，且|f(x1)－f(x2)|+ |f(x2)－f(x3)|+…+|f(xn－1)－f(xn)|＝12（m≥2，mÎN*），则m的最小值为 ．8
【解析】因为f(x)＝sinx，所以|f(xm)－f(xn)|≤|f(x)max－f(x)min |≤f(x)max－f(x)min＝2，
因此要使得满足条件|f(x1)－f(x2)|+ |f(x2)－f(x3)|+…+|f(xn－1)－f(xn)|＝12的m最小，须取
，即m＝8．
【考点定位】三角函数性质
20．（上海）（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图，A，B，C三地有直道相通，AB＝5千米，AC＝3千米，BC＝4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t＝t1时乙到达C地．
（1）求t1与f(t1)的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1，1]上得最大值是否超过3？说明理由．

解：（1）t1＝．
记乙到C时，甲所在地为D，则AD＝千米．
在△ACD中，CD2＝AC2+AD2－2AC×ADcosA，∴f(t1)＝CD＝（千米）
（2）甲到达B用时1小时；乙到达C用时小时，从A到B总用时小时．
当时，
；
当时，f(t)＝5－5t．
所以．
因为f(t)在上的最大值是，在上的最大值是，所以f(t)在上的最大值是，不超过3．
【考点定位】余弦定理

13．（四川）已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________．－1
由已知可得tanα＝－2．
2sinαcosα－cos2α＝＝－1．
17．（湖北）（本小题满分11分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

0

0
5

0
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
试题解析：（1）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：

0

0
5
0

0
且函数表达式为.
（2）由（1）知 ，得.
因为的对称中心为，.
令，解得， .
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，. 由可知，当时，取得最小值.
考点：1.“五点法”画函数在某一个周期内的图象，2.三角函数的平移变换，3.三角函数的性质．
13．（湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.
试题分析：依题意，，，
在中，由，所以．
因为，由正弦定理可得，即m，
在中，因为，，所以，所以m．
考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.
17．（新课标Ⅰ）（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（1）若a＝b，求cosB；
（2）设B＝90°，且a=，求△ABC的面积．
解：（1）由题设及正弦定理可得，又，可得，
由余弦定理可得；
（2）由（1）知，因为B=90°，由勾股定理知，
故，得，所以△ABC的面积为1．
19．（四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋px－p＋1＝0（p∈R）两个实根．
（1）求C的大小；
（2）若AB＝3，AC＝，求p的值．
【解析】（1）由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式
△＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2或p≥．
由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝，所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°．
（2）由正弦定理，得sinB＝，解得B＝45°或B＝135° (舍去)，
于是A＝180°－B－C＝75°．
则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝，
所以p＝－(tanA＋tanB)＝－ (2＋＋1)＝－1－．
12．（安徽）在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝ ．2
试题分析：由正弦定理可知：．
考点：正弦定理.
16．（安徽）已知函数f(x)＝(sinx+cosx)2+cos2x．
（1）求f(x)最小正周期；
（2）求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
解：（1）∵f(x)＝(sinx+cosx)2+cos2x＝1+sin2x+cos2x＝sin(2x+)+1，
∴f(x)最小正周期为T＝＝p．
（2）∵xÎ[0，]，∴2x+Î[，]，∴sin(2x+)Î[，1]，
∴f(x)max＝1+，f(x)min＝0．
考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值．