高中数学教学案例设计使用.doc

《正弦定理》教学案例
高平二中　公素玲
[案例背景]
本节内容安排在《高中数学必修5》（人教A版）第一章（解三角形），正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛.为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题.。学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具.正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神。
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，指导学生掌握“观察-猜想-证明-应用这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
[案例描述]
(一)设置情境
教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：思考提出测量角A，C.
教师：若已知测得∠BAC=75°，∠ACB=45°，如何计算A、B两地距离？
学生：(思考交流)得出过A作AD⊥BC于D(如图2)，把△ABC分为两个直角三角形.解题过程，学生阐述，教师板书.
教师继续引导：在上述问题中，若AC=b， AB=c，能否用B、b、C表示c呢？
学生：发现,
∴AD=bsinC=csinB.
∴.
教师引导:在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？
学生：发现即然有，那么也有，.
教师：引导,，，我们习惯写成对称形式
,,,
因此我们可以发现.是否任意三角形都有这种边角关系
(二)数学实验，验证猜想
教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例.
教师：对于Rt△ABC呢？学生：思考交流得出，从而在直角三角形ABC中，.
教师：那么任意三角形是否有呢？
借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件.边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况.
结论：对于任意三角形都成立.
设计意图：通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性.
(三)证明猜想，得出定理
教师：前面我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，但对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面探索过程中对我们有没有启发. 下面分组讨论，然后每组派一个代表总结.(展示证明过程)
教师：还有其它证明方法吗？
比如：、、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？

（图8）
学生：在前面的检验中，中，，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。
教师：从刚才的证明过程中, ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径。
(四)利用定理，解决引例
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题.
学生：马上得出，在△ABC中，∠B＝180°-∠A-∠C=60°,,
.
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望.
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题.
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
1、如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；
2、如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如sinA=sinB.
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦主动学习.
(五)尝试小结
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容.
学生：思考交流，归纳总结.
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
(1)正弦定理的内容(=2R)及其证明思想方法.
(2)正弦定理的应用范围：
[案例反思]
优点：

1、本节课，学生在教师预设的思路中积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的方法发现并证明定理，使学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发了学生学习数学的兴趣. 让学生在参与问题解决的过程中不仅掌握了知识，而且培养了他们的思维方式和思维能力。在整个教学过程中，教师只是学生学习的指导者和评价者，学生才是学习的主人，学生的学习兴趣高，主动性强，教学效果明显提高。
2、以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新. 观察-猜想-证明-应用这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
不足：
1、使用计算器处理复杂、烦琐的数字是新教材的一个特点，教学时要注意着一点。
2、由教师设计和提供一些问题，引导学生进行分析解答，这必然会导致学生只是按教师设计的步骤进行思维，最终也只是通过解决问题而获取已有的知识，学生的主体地位没有充分体现出来，思维的创新也不能完成。因此在今后的教学中，要加强学生的问题意识和批判、质疑能力的培养，由向学生问转到被学生问，充分发挥学生学习的积极性、主动性和创造性。
总之，“教学有法，但无定法”，采用探究式课堂教学模式对学生进行思维能力和语言训练，改变了传统的“注入式”教学，较好地发挥了教师在教学中的主导作用和学生在学习中的主体作用，提高了课堂教学效果。