《等差数列》教学设计.doc

《等差数列的概念及其通项公式》教学设计

[教学目标]
1、理解等差数列的概念
2、掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念深化认识并能运用
[教学重点] 等差数列的概念及其通项公式
[教学难点] 等差数列通项公式的推导及运用
[授课类型]新授课
[课时安排]１课时
[教学方法]探索发现
[教学内容分析] 等差数列在日常生活中有着广泛的应用，并且大量存在于学生周围．教科书首先从学生熟悉的实例入手，引出了等差数列的概念，并且结合实例对等差数列作了说明。随后由等差数列的概念导出等差中项的概念，然后推导出了等差数列的通项公式。这种通过对日常生活中大量实际问题的分析、建立等差数列模型的过程，加强了对等差数列基本概念、性质的理解，有助于培养学生运用等差数列模型解决问题的能力。用函数观点去看等差数列，可以帮助学生理解等差数列的本质：是在特殊定义域上的一次函数，通项公式就是这个特殊函数的解析式，但我们不能说等差数列(或它的通项公式)是一次函数。另外，有关等差数列的概念、通项公式的推导都是由归纳得到，这对培养学生观察分析、探索归纳能力提供了很好的素材。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
[教具与媒体] 电子白板 PowerPoint 公式编辑器
[教学设计]

教学
程序
学 习 内 容
学生活动

创设

问题

情景

设疑

引入
一、复习回顾：
前两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点。
二、情景创设：一个小探险家在古墓中寻宝，来到宝藏门外，发现门上有四个从0-9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
我们能帮助他正确找出密码进入宝藏的大门吗？
现在我们来观察这几个数列：
1，3，5，7，9．．．．．．．（1）
　　15，12，9，6，3．．．．．．（2）
　　48，53，58，63，68．．．．．．（3）
　　 8，8，8，8，8．．．．．．（4）
设问：观察以上数列有什么共同的特点？

学生思考讨论并回答：对于数列（1），从第2 项起，每一项与前一项的差都等于2
对于数列（2），从第2 项起，每一项与前一项的差都等于-3
对于数列（3），从第2 项起，每一项与前一项的差都等于5
对于数列（4），从第2 项起，每一项与前一项的差都等于0
学生归纳：
这些数列都具有这样的共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。

讲

授

新

课

练习

讲

授

新

课

三、新课内容：
具备这样特点的数列，我们把它叫做等差数列。同学们试用自己的语言来叙述等差数列的定义。（个别提问）在学生回答的基础上给予答案（板书）：
（一）等差数列的定义
（1）用文字语言叙述：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示。像（4）这样的数列即公差为0的数列叫做常数列。
我们知道，数列也可以用递推公式来表示。同学们能否用递推公式表示等差数列？
（2）用数学符号语言表示：若数列{an}满足任意相邻的两项an、an+1均有an+1－an＝d(n∈N*，d是一个与正整数n无关的常数)则数列{an}是等差数列
想一想：1、前面4个数列都是等差数列，它们的公差分别是___,____,___,___
2、已知等差数列前3项依次为a-1、a+1、2a+3则a= 。
3、数列K、K+1、K+2、K+3是不是等差数列？为什么？
4、数列m、m+2、m+4、2m是不是等差数列？为什么？
5、已知数列{an}的通项公式an=2n+3.试用判断数列{an}是不是等差数列？
（二）等差数列通项公式的推导
问题：已知等差数列{an}，首项为a1，公差为d，求：（1）a2、a3、a4；
（2）想一想：a100、an呢？
（1）在学生回答基础上再给出法1。
（2）这个通项公式是由a2、a3、a4……归纳得出，归纳出的公式对a1是否成立呢？必须指出a1也满足公式。我们把这个公式叫做等差数列{an}的通项公式
学生思考讨论、小组交流并尝试回答（1）、（2）；

学生看书P52--53，画出定义并把用递推公式表示等差数列的方法写在课本上。

学生思考讨论回答：2，-3， 5，0
2、∵d=( a+1)-( a-1)=2
∴(2a+3)- ( a+1)=2
解得a=0
3、是
4、不是
5an-an-i=2n+3-[2(n-1)+3]=2.(是个与n无关的常数)∴数列{an}是等差数列
学生思考讨论an 的求法（法1）由等差数列的定义知：
a2=a1+d
a3=a2+d=a1+2d
a4=a3+d=a1+3d
……（猜想）
a100=a1+99d
an=a1+（n-1）d
当n=1时，这个公式仍成立。所以当n∈N*时公式都成立。

新

课

讲

解
（3）关于等差数列{an}的通项公式的推导还有没有其它的方法呢？请大家课后继续探讨！
（4）在公式an=a1+（n-1）d中共有几个基本量？各是什么？知道其中任意三个就可以运用方程的方法求出第四个量。比如，已知an、d、n求a1
（三）知识运用与解题研究
例1、（1）求等差数列5，2，-1,-4,…的第10项
（2）-29是不是等差数列27，23,19,15,…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由
[分析]：（1）已知什么，要求什么？怎么求？
（2）如何判断一个数是否为数列的项？（学生回答后继续问）但这里没有给我们an通项公式！
解：(1)略。
（2）由a1= 27、d=23-27=-4得这个数列的通项公式为
an=27+(n-1)．（-4）
由题意，本题要回答是否存在正整数n，使得
-29=27-4(n-1)成立。
解这个关于n的方程，n=15,即-29是这个数列的第15项。
例2、在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d
[分析]：要求a1与d，若把a1和d看作未知数，则应列出以a1和d为未知数的二元方程组，请大家列出来并求出a1和d的值。
解：（略）
cx

学生回答：（略）
同学自己编出已知等差数列的首项和公差求通项公式的问题并解决。

学生思考、讨论、回答
(1)a1=5,n=10，求a10可以先求d后用公式求a10
让学生自己完成（1）、（2）关键的是能否找到正整数使得-29=an.
可以先求通项公式后列方程求n的值，再做出判断。

学生练习、回答

巩固练习

小

结

作业
四、 演习反馈：
分组练习：请大家翻开课本p５６做练习1、2。
要求：①②小组做第1题（1）、（3），第2题（1）；③④小组做第1题（2）、（4），第2题（1）（2）
⊙老师巡视、指导
⊙讲评练习

五、课堂小结：
这节课我们学习了哪些内容呢？
（1）等差数列的定义：若数列{an}满足an+1－an＝d(n∈N*，d是一个与正整数n无关的常数则数列{an}是等差数列，其中a1是首项，d是公差
（2）等差数列{an}的通项公式：
an=a1+（n-1）d
(3)先求等差数列的首项和公差进而求出其它项。
作业：梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

学生独立思考并完成练习，小组交流讨论、自我评价。

学生和教师一起总结

[教学评价与反思]
1、本设计从探险故事开启宝藏之门的数列导入，有助于发挥学生学习的主动性，增强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。
2、信息技术走进课堂：充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，化解了知识的难点。3、本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度．如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等．学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。
4、本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。
5、在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力．
教学反思。
6、作业的可选择性使学生能根据自己的能力。
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