不等式、推理证明集体备课.doc

高三数学
备课资料

不等式、推理证明
一、考纲要求：
见考试说明第51页
二、2008-2012年江苏高考数学不等式、推理证明考查情况：

年
小题
大题
08
4 二次不等式、11 基本不等式、
10归纳推理

09
11对数不等式、8类比推理
19 基本不等式、20含参二次不等式
10
11分段函数解不等式、12不等式性质
19数列不等式、20函数不等式
11
13数列不等式、14线性规划
19不等式推导
12
13函数与不等式、14线性规划

三、考查形式与特点
不等式是中学数学的主干内容之一, 它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用.在近年的高考中,有关不等式的试题都占有不小的比重,试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力等数学素养.
推理与证明是中学数学的重要内容，是高考重点考查的内容之一，近几年从试题直观上可以看到证明的份量加大了，预测2013年高考对本板块的考查：题型以填空题有可能出现，解答题可能出现证明题，主要考查演绎推理与逻辑证明的能力．
四、知识点
1．一元二次不等式
分及情况分别解之，还要注意三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。
2．分式不等式
分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。
3．简单的绝对值不等式
绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。
解绝对值不等式的常用方法：
①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；
②等价变形：
解绝对值不等式常用以下等价变形：
|x|<ax2<a2－a<x<a(a>0)，
|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：
|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)，
|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。
4．线性规划
（1）平面区域
一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念
引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。
由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，所以，，。
在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
5.合情推理与演绎推理
　　（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新的结论．
　　归纳推理的一般步骤
　　①通过观察一系列情形发现某些相同的性质．
　　②从已知的相同的性质中推出一般性命题．
　（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比的结论不一定为真，在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似性之间越相关，那么类比得到的结论也就越可靠．
　　类比推理的一般步骤
　　①找出两类事物之间的相似性或一致性．
　　②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
　　注：归纳推理与类比推理都属于合情推理，两种推理所得的结论未必是正确的（例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了），但它们对于发现新的规律和事实却是十分有用的．
　　（3）演绎推理
　　（1）从一个一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法叫做演绎推理，它是一种由一般到特殊的推理过程，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．
　　（2）“三段论”推理是演绎推理的一般模式，它包括：
　　①大前提：已知的一般性推理．
　　②小前提：所研究的特殊情况．
　　③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
　　也可表示为：大前提：是，小前提：是，结论：是．
　　用集合的知识可以理解为：若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都具有性质．
　　例　指出下面三段论的大前提、小前提和结论．
　　（1）这两个正多边形的边数相同；
　　（2）凡相同边数的正多边形都是相似的；
　　（3）所以这两个正多边形也是相似的．
　　解析：（1）是“小前提”；（2）是“大前提”；（3）是“结论”．
　　点评：三段论的论断基础是这样一个公理：“凡肯定（或否定）了某一类对象的全部，也就肯定（或否定）了这一类对象的各部分或个体．”简言之，“全体概括个体．”
　　（4）合情推理与演绎推理的区别与联系
　　区别：①从定义上看：
　　合情推理：前提为真，结论可能为真的推理．
　　演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理．
　　从定义上可以看出，合情推理与演绎推理的区别是结论是否为真．合情推理的结论可能为真，但演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，其结论必定为真．故在数学论证中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明．
　　②从推理形式上看：
　　合情推理是由特殊到一般（归纳推理），或由特殊到特殊（类比推理）的认识过程，而演绎推理是由一般到特殊的认识过程．
　　联系：二者相辅相成，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．
6.直接证明与间接证明
　　1．综合法
　　一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

　　用表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

　　综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
　　2．分析法
　　一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）．这种证明的方法叫做分析法．

　　用表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

　　分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．
　　3．反证法
　　（1）定义：一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
　　（2）用反证法导出的矛盾主要有：
　　①与假设矛盾；
　　②与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；
　　③与公认的简单事实矛盾．
　　（3）步骤：
　　①分清命题的条件和结论；
　　②作出命题结论不成立的假设；
　　③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
　　④否定假设，从而间接的证明了结论．
　　4．三种证明方法的总结
　　在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论．若由可以推出成立，就可以证明结论成立．在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明时，采取分析的方法或者是间接证明的方法———反证法．有时证明一道题需多法并用．
五、经典例题
在复习的过程中不要就题解题，一定要在解题的过程中提炼出做题时所用的方法和思想，这样才能达到举一反三、触类旁通的效果.在本章的复习中要提炼的主要方法和思想有：
1、分离变量法
我们经常见到有关不等式恒成立的问题，如“f (x,k)＞0或f(x,k) 0(其中x∈A )恒成立，求k的取值范围.”这类问题通常可以分离变量为h(k)＞g(x)或h(k) g(x), 再利用求函数最值的方法解决.
例1 （2006江西）若不等式x2＋ax＋1³0对一切xÎ成立，则a的最小值为
解：因为xÎ，且x2＋ax＋1³0，所以，所以，
又在内是单调递减的，所以，
2、分离常数法
有很多同学认为只有一次分式函数才可以用分离常数法求解,其实不然.形如的函数很多情况下均可采用分离常数法求解.
例2 求函数的值域.
解： ∵，当且仅当x时等号成立,故值域为.
评析：其中将变形为就是分离常数法.
3、反客为主法
反客为主法，就是从处于主“地位”的对象入手问题难以解决时，将处于客“地位”的对象转化为处于主“地位”的一种解题方法.
例3 对于满足0≤≤4的所有实数，使不等式＞成立的的取值范围是 .
解：设，据题意，对于满足0≤≤4的所有实数，“一次”函数＞0恒成立.
在0≤P≤4上恒正解得＞3或＜－1.
4、数形结合的思想
例4 若不等式|x-4|+|x-3|<a有解，则a的取值范围是_________.
解： |x-4|+|x-3|表示的是数轴上坐标为的点到数轴上坐标分别为4、3的两个点的距离之和，其最小值显然为1，所以|x-4|+|x-3|，因此要不等式|x-4|+|x-3|<a有解，必须a>1.
5、分类讨论的思想
求解有字母系数的不等式，关键是分类对论.在复习的时候，教师关键是要让学生知道，在该讨论的地方为什么要讨论？怎样讨论？讨论题的解法更能说明“数学使人周密（培根）”.
例5 解关于x的不等式.
解： 等价于.
（1）若，则，不等式变为，无解；
（2）若，则，不等式变为，无解；
（3）若，则，所以；
（4）若或，则，所以.
综上所述，当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式的解集为.
6、函数与方程的思想
使不等式成立的x就是使函数的值非负的x,而方程的解正是不等式解的临界点或极限点，所以解不等式的问题与函数和方程联系起来就非常自然了.
例6 设，B是关于x的不等式组的解集，若，试确定a，b的范围.
解：构造函数.
要使成立，必须使得与在［1，3］上的图象均在x轴的下方（包括x轴），因此即所以
7、转化与化归的思想
无理不等式的转化依据的是不等式的同解原理，指数不等式和对数不等式的转化依据的是函数的单调性.例如：
或
.
所谓它山之石可以攻玉，在转化的过程中不等式问题的解决还可以另辟蹊径.
例7 已知a，b是不相等的实数，求证：(a＋b)＜(a＋b)( a＋b).
证明：设= (a，b)，= (a，b)，则·= a＋b，|| =，=.
∵·≤||·||，∴a＋b≤·，
∴(a＋b)≤(a＋b)( a＋b). 但注意到a≠b，∴与不共线，所以等号不成立，
因此(a＋b)＜(a＋b)( a＋b).
8.与数列知识相结合的综合题
与数列知识相结合的综合题，通常是求出或后解（证）与它们有关的不等式.
例8 数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
（1）求；
（2）求证.
解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，.
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，解①得，
故.
（2）∵，
∴
.
例9如图，连结的各边中点得到一个新的，又连结的各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，，…，这一系列三角形趋向于一个点，已知、、，则点Ｍ的坐标是_ ____．
　　解析：由的三个顶点分别在的三条中线上，的三个顶点分别在的三条中线上，的三个顶点分别在的三条中线上，…，由此类推，这一系列的三角形的顶点无限逼近的重心．
故由已知可得，点的坐标为．
例10　已知：，且，求证：．
　　证明一：（分析法）要证，
　　即证，
　　因为，
　　故只需证，
　　即证，
　　即证，
　　因为，
　　所以成立，
　　所以成立．
　证明二：（综合法）由，知，即，则．
　　又，则，即．
六、高考再现
（2008）4. 则的元素个数为 ▲ 。
（2008）11.的最小值为 ▲
（2008）10.将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 ▲ 。

（2009）11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中★ .
（2009）8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ .
（2009）19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1) 求和关于、的表达式；当时，求证：=；
(2) 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3) 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
（2009）20．(本小题满分16分)
设为实数，函数.
(1) 若，求的取值范围；
(2) 求的最小值；
(3) 设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
（2010）11已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____
（2010）12设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____
（2010）19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列 是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式（用表示）
②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为
（2010）20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.
(1)设函数，其中为实数
①求证：函数具有性质
求函数的单调区间
(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围
（2011）13.设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值为 。
（2011）14，设集合
。若,则实数的取值范围是
。
（2011）19．（本小题满分16分）
已知是实数，函数，，和是和的导函数．若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．
（1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；
（2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．
13．（2012年江苏省）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ▲ ．
14．（2012年江苏省）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ．
七、回归课本
必修5
第71页 习题3.2 2、3、5、6
第84页 习题3.3 1、2、4、5
第91页 习题3.4 2、4、5、6、7、9、11
选修1-2
第30页 3、4、5
第31页 2、3
第41页 1、2、4、6、7
第47页 1、2、3、4、5、6、7