省扬高中高三数学期初调研试卷正稿.doc

省扬高中高三数学期初调研试卷
第Ⅰ卷　2014.02. 　　　命题：杨恒清　　审核：何广金
注意事项及说明
1．考试前请将密封线内的项目填写清楚。
2．本试卷满分160分，考试时间120分钟。
3．考试结束时，需交答卷纸。
参考公式：
柱体体积公式: 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体体积公式: 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）
1．复数（i为虚数单位）的实部是 ▲ ．
2． 集合，，若，则 ▲ ．
3．一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是 ▲ ．
4．函数 的单调递增区间为 ▲ ．
5．已知平面向量，若与垂直，则 ▲ ．
分数

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n－1，则a1＋a3＝ ▲ ．
7．某市高三数学抽样考试中，对
分及其以上的成绩情况进行统计，其频率
分布直方图如右下图所示，若
分数段的人数为人，则分数
段的人数为 ▲ ．

8．在中，分别为角
所对的边，若，则的最大值为 ▲ ．
9．已知函数为奇函数，则 ▲ ；
x
10．已知圆(x－2)2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率为 ▲ ．
11．如图，是一个底面直径和高都为6的圆柱，与底面直径为6，高为3的
圆锥组合而成的一个几何体，盛有水，水深为x(0<x≤6)，则将该几何
体倒置后，水的高度f(x)=____ ▲ _______.
12．若不等式4x－2x＋1－a≥0在x∈[－1，1]上恒成立，则实数a的取值范围为 ▲ ．
13．设点是内一点（不包括边界），且
，则的取值范围是 ▲ ．
14．三个实数、、成等比数列，若成立，则的取值范围是　▲　　
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）
15．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点在角α的终边上，点在角β的终边上，且
(1)求
(2)求P，Q的坐标并求的值

16．（本小题满分14分）
　 如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点．
O
M
D
A
B
C
（第16题图）

（1）求证：MC//平面OAB；（2）求证：BD⊥OA．

17.（本小题满分l4分）
近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录。为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）；已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元／万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润是大？

18．（本小题满分l6分）
网如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.
(1)求椭圆方程；
(2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为圆K.
①若恰好是椭圆的上顶点,求圆K截直线所得的弦长;
②设圆K与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

19．（本小题满分l6分）
已知函数，其中为常数。
（1）当时，求函数的极大值；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）当时，设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1<x2）是函数y＝的图象上两点，，（ 为的导函数），证明：．

20．（本小题满分l6分）
已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，
n≥2，n∈N*．
(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；
(2)确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．

省扬高中高三数学期初调研试卷
　　　第Ⅱ卷（理科附加）　　命题：杨恒清　　审核：何广金
(满分40分，考试时间30分钟)
班级　　　　　　　　学号　　　　　　　姓名　　　　　　　　　　　
1．二阶矩阵有特征值其对应的一个特征向量并且矩阵对应的变换将点变换成点，求矩阵.

2．在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数）．分别写出曲线和的普通方程并求出曲线与的交点坐标．

3. 如图,在四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，，，点在棱上，且．
(1) 求证：平面⊥平面；
(2) 求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

4．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，
比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（1）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（2）求比赛局数X的分布列和数学期望E(X)．

省扬高中高三数学期初调研试卷
　第Ⅰ卷参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）
1．－1；2． {1,2,3}；3． ；4． （也可以是）；5． 5；6． 7；
7． ；8． ；9．0；10． ；11．；12． (－∞，－1]；
13． ；14． 且；
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）
15．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点在角α的终边上，点在角β的终边上，且
(1)求
(2)求P，Q的坐标并求的值
解：（1）∵ ， ∴ ……………2分
∴ ，
∴ . ……………5分
（2）由（1）得：， ∴
， ∴ ……………7分
∴ ，， ……………9分
∴ ，，
，， ……………11分
……………14分

16．（本小题满分14分）
　 如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点．
O
M
D
A
B
C
（第16题图）

（1）求证：MC//平面OAB；（2）求证：BD⊥OA．

证明：（1）设N是OA的中点，连结MN，NB．
因为M是OD的中点，所以MN//AD，且2MN＝AD．……………………………………2分
又AD//BC，AD＝2BC，所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC//NB．……………4分
又MC平面OAB，NB平面OAB，所以MC//平面OAB；…………………………7分
（2）设H是BD的中点，连结AH，OH．
因为AB＝AD，所以AH⊥BD．
又因为OB＝OD，所以OH⊥BD．……………………………………………………………9分
因为AH平面OAH，OH平面OAH，AH∩OH＝H，
所以BD⊥平面OAH．………………………………………………………………………12分
因为OA平面OAH，所以BD⊥OA．……………………………………………………14分

17.（本小题满分l4分）
近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录。为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）；已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元／万件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润是大？
解：（1）由题意知， ，
将代入化简得：
，（）， ……………………7分
（2），
当且仅当时，上式取等号. ……………………10分
当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时, 在上单调递增,所以在时,函数有最大值．促销费用投入万元时，厂家的利润最大 .
综上述,当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;
当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大 . ……………………14分
18．（本小题满分l6分）
网如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.
(1)求椭圆方程；
(2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为圆K.
①若恰好是椭圆的上顶点,求圆K截直线所得的弦长;
②设圆K与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

………………… 6分
又直线的方程为,
故圆心到直线的距离为 ……………………8分
从而截直线所得的弦长为………………………10分
②证:设,则直线的方程为,
则点P的坐标为,
又直线的斜率为,而,所以,
从而直线的方程为……………………………13分
令,得点R的横坐标为…………………………………14分
又点M在椭圆上,所以,即,故,
所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为………………16分

19．（本小题满分l6分）
已知函数，其中为常数。
（1）当时，求函数的极大值；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）当时，设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1<x2）是函数y＝的图象上两点，，（ 为的导函数），证明：．

已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1<x2）是函数y＝g（x）的图象上两点，（ 为的导函数），证明：．
解：（Ⅰ）因为，
所以． …………………………………………3分
因为h（x）在区间上是增函数，
所以在区间上恒成立．
若0<a<1，则lna<0，于是恒成立．
又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛盾．
所以a>1．
由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，
所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………………………9分
以下证明． （※）
（※）等价于． ……………………………………………11分
令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，…………………………………………………………13分
r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．
当x1<x2时，r（x1）< r（x2）＝0，即，
从而得到证明．……………………………………………………………………15分
对于同理可证……………………………………………………………16分
所以．
评讲建议：
此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明：
要证明，只要证明>1，令，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略．

20．（本小题满分l6分）
已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．
(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；
(2)确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．
解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得
(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，
因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． …………2分
因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．…4分
经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．
（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，
即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ……6分
所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ …………8分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列， ………10分
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an＝ …………12分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，
即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，
3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，
解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列． ………16分

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
1．二阶矩阵有特征值其对应的一个特征向量并且矩阵对应的变换将点变换成点，求矩阵.
解：设，则由，得，
即………………2分
由，得，
从而，…………4分
由，，解得
∴，…………8分……………10分
2．在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数）．分别写出曲线和的普通方程并求出曲线与的交点坐标．
3. 如图,在四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，，，点在棱上，且．
(1) 求证：平面⊥平面；
(2) 求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

4．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，
比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（1）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
（2）求比赛局数X的分布列和数学期望E(X)．

高三数学试卷　　第15页