数学史上的三大几何问题.doc

数学史上的三大几何问题一、 立方倍积关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛棱长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗， 使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：稜二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟疫仍不见消灭。人们困扰地再去问神，这次神回答说：你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状却并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状仍是正方体。居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家们的脑汁。而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。数学史上的三大几何问题二、 化圆为方方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2r，面积是r2。由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2r及半径r，则这三角形的面积就是(1/2)(2r)(r)=r2与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。我们都知道化圆为方是由古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的，但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。实际上，这个化圆为方问题中的正方形的边长是圆面积的算数平方根。我们假设圆的半径为单位1，那么正方形的边长就是根号。直到1882年，化圆为方的问题才最终有了合理的答案。德国数学家林德曼（Lindemann,18521939)在这一年成功地证明了圆周率=3.1415926.是超越数，并且尺规作图是不可能作出超越数来，所以用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是不可能实现的。 数学史上的三大几何问题三、 三等分角三等分任意角的题也许比那两个问题出现更早，早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现是很自然的，纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然地出现了。直到1830年，18岁的法国数学家伽罗华首创了后来被命名为“伽罗华理论” 理论，该理论能够证明倍立方积和三等分角问题都是尺规作图不能做到的问题。1837年，法国数学Wantzel（18141848)终于给出三等分角和倍立方积的问题都是尺规作图不可能问题的证明。 5