平潮中学高三数学周测一.doc

平潮中学高三数学周测一
一． 填空题
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集个数有________．
解析　P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．
答案　4
2.“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的________条件．
解析　因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1.
答案　充分不必要
3.已知某人连续次投掷飞镖的环数分别是, , , , , 则该组数据的方差为
4.盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．

5.已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是 .
解析 如图,作出可行域为阴影部分,

由 得
即A(3,6),经过分析可知直线z=x-2y经过A点时目标函数z=x-2y取最小值为-9.

答案 -9

6.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析　由2x＋1>0，得x>－，所以函数的定义域为，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是.
答案　
7.程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a= ▲ ．2

N

开始

输出T

Y
结束

8.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．　
解析　画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即y＝f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0＜m＜1.
答案　(0,1)
9.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．
解析　由题意，圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－2a－b＋1＝0，即2a＋b－1＝0.因为表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以的最小值为＝，即
(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.

10.函数y＝3cos(x＋φ)＋2(0<φ<π)的图象关于直线x＝对称，则φ＝________.
答案　
11.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，
P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________.
答案　5
解析　以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如
图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
∴＋3＝(5,3a－4x)，
|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
12.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为________.
答案　
解析　由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴＝2，
又PF1＋PF2＝2a，∴PF1＝，PF2＝.
根据勾股定理得2＋2＝(2c)2，
所以离心率e＝＝.

13.若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.
答案　20
解析　由题意知，若{an}为调和数列，则为等差数列，
∴由为调和数列，可得数列{xn}为等差数列，
由等差数列的性质知，
x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝＝20.

14.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析　由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.
答案　(0,1)∪(2,3)

二．简答题
15.在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
解：（1）由正弦定理，得．
从而可化为． …………………………………………3分
由余弦定理，得．
整理得，即. …………………………………………………………………7分
（2）在斜三角形中，，
所以可化为，
即．…………………………………………………………10分
故．
整理，得， ………………………………………………12分
因为△ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC，
所以．………………………………………………………………………14分

16.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，是的中点.
（1）求证：//平面；（2）求证：；
（3）是否存在正实数使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

证明：（1）连接BD与AC交于点O，连OE，底面ABCD为矩形，O是DB的中点，又E是PD的中点，，
，
；
（2）平面，，， 又底面是矩形，，， 又，；
（3）存在满足条件。
当时，即PA=AD，，
又由（2）知 ，，
又，
17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得
a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800.
所以当x＝15 cm时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也就是最大值，
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.

18.已知离心率为的椭圆的长轴的端点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试判断的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；
（3）当时，圆：被直线截得弦长为，求实数的值。
解：（1）双曲线的左右焦点为,即的坐标分别为.
所以设椭圆的标准方程为,则,
且,所以,从而,
所以椭圆的标准方程为.
(2)设则，即
. 所以的值与点的位置无关，恒为.
（3）由圆：得，其圆心为，半径为，
由（2）知当时，，故直线的方程为即，
所以圆心为到直线的距离为，
又由已知圆：被直线截得弦长为及垂径定理得
圆心到直线的距离，
所以， 即，解得或.
所以实数的值为或.
19.已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝mx－(m为实数)．
(1)求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；
(2)求函数g(x)的单调递减区间；
(3)若m＝1，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)＋.
解　(1)由题意得所求切线的斜率k＝f′＝cos＝.切点P，则切线方程为y－＝
即x－y＋1－＝0.
(2)g′(x)＝m－x2.
①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－或x＞，
则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．
(3)当m＝1时，g(x)＝x－.
令h(x)＝g(x)－f(x)＝x－sin x，x∈[0，＋∞)，
h′(x)＝1－cos x≥0，
则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．
故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即sin x＜x，f(x)＜g(x)＋.

20.各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．
(Ⅲ) 证明中任意三项不可能构成等差数列．

（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2，　∴
∴b3=＝8. ∵+2　①
当n≥2时，+2 ②
①-②得即
∵ ∴=3，∴是公差为3的等差数列．
当n＝1时，+2，解得=1或=2，
当=1时，，此时=7，与矛盾；当时，此时此时=8=，∴．　
（Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面证明当n≥5时，
事实上，当n≥5时，＝＜0
即，∵<1 ∴当n≥5时，，
故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．
(Ⅲ)假设中存在三项p,q,r (p<q<r,p,q,R∈N*)使ap, aq, ar构成等差数列，
∴ 2aq=ap+ar，即22q—1=2p—1+2r—1．∴2q—p+1=1+2r—p．
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．