数学教案(等差数列).doc

数学教案等差数列3.2.1等差数列目的：1.要求学生掌握等差数列的概念2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。重点：1.要证明数列an为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n1,且nN*）2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n1,且nN*).3等到差中项：若a、A、b成等差数列，则A叫做a、b的等差中项，且难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。 等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。过程：一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10， 3，0，-3，-6， ， ， ， ， 12，9，6，3， 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 “等差”二、得出等差数列的定义： （见P115） 注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1名称：AP 首项 公差2若 则该数列为常数列3寻求等差数列的通项公式： 由此归纳为 当 时 （成立） 注意: 1 等差数列的通项公式是关于 的一次函数 2 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP 证明：若 它是以 为首项， 为公差的AP。 3 公式中若 则数列递增， 则数列递减 4 图象： 一条直线上的一群孤立点三、例题： 注意在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以 求出另一个。例1 （P115例一）例2 （P116例二） 注意：该题用方程组求参数例3 （P116例三） 此题可以看成应用题四、 关于等差中项： 如果 成AP 则 证明：设公差为 ，则 例4 教学与测试P77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成AP，求此数列。 解一： 是-1与7 的等差中项 又是-1与3的等差中项 又是1与7的等差中项 解二：设 所求的数列为-1，1，3，5，7五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1定义法：即证明 例5、已知数列 的前 项和 ，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解： 当 时 时 亦满足 首项 成AP且公差为6 2中项法： 即利用中项公式，若 则 成AP。 例6 已知 ， ， 成AP，求证 ， ， 也成AP。 证明： ， ， 成AP 化简得： = ， ， 也成AP 3通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。 例7 设数列 其前 项和 ，问这个数列成AP吗？ 解： 时 时 数列 不成AP 但从第2项起成AP。五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法六、作业： P118 习题32 1-9 教学目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.关于等差数列的教学建议（1）知识结构（2）重点、难点分析教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.（3）教法建议本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境等差数列通项公式的教学设计示例教学目标1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.教学重点，难点教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法研探式.教学过程一.复习提问前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知等差数列 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用（1）已知等差数列 中，首项 ，公差 ，则397是该数列的第_项.（2）已知等差数列 中，首项 ， 则公差 （3）已知等差数列 中，公差 ， 则首项 这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.2.基本量方法的使用（1）已知等差数列 中， ，求 的值.（2）已知等差数列 中， ， 求 .若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量.教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.如：已知等差数列 中， 由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题（3）已知等差数列 中， 求 ； ； ； ；.类似的还有（4）已知等差数列 中， 求 的值.以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出3.研究等差数列的单调性 ，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究等差数列前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如（1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？（2）等差数列 从第_项起以后每项均为负数.三.小结1. 用方程思想认识等差数列通项公式；2. 用函数思想解决等差数列问题.四.板书设计等差数列通项公式 1. 方程思想的运用2. 基本量方法的使用 3. 研究等差数列的单调性4. 研究项的符号课题：等差数列（一） 教学目标1.知识目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。2.能力目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。3.情感目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。教学重难点 1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。2.教学难点：（1）对等差数列中“等差”两字的把握； （2）对等差数列函数特征的理解； （3）用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。教学过程一.课题引入1.复习回顾：(上节课我们学习了数列的定义及通项公式,那么什么叫数列？什么是数列 的通项公式)从函数的观点看，数列可看成是定义域为N（或它的子集 ）的函数，当自变量从小到大的依次取值时，所对应的一列函数值。数列的通项公式 是该函数的解析式。2.创设情境 引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子） 德国数学家高斯八岁时计算1+2+3+100=? 时，所用到的数列：1，2，3，4，.，100 姚明刚进NBA一周里每天训练发球的个数依次是：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）: 引导学生观察：上面的数列、有什么共同特点?对于数列（1），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ； 对于数列（2），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ；对于数列（3），从第2项起，每一项与前一项的差都等于 ； 发现这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们把有这一特点的数列叫做等差数列（板书课题）。二、新课探究（一）等差数列的定义1、（完善黑体字形成）等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。上面三个数列都是等差数列，公差依次是 ， ， 。你觉得在理解等差数列的定义时应注意什么？强调：“从第二项起”（这是为了保证“每一项”都有“前一项”）；每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为“同一个常数”体现了等差数列的基本特征）；在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：2、等差数列定义的数学表达式（在理解概念的基础上，引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式）： 试一试：（加深对概念的理解） 9 ，8，7，6，5，4，是等差数列吗？ 常数列，是等差数列吗？ 数列1，4，7，11，15，19是等差数列吗？可见，公差 可以是正数、负数，也可以是0； 若数列 满足： ，则数列 是等差数列吗？（此题易判断错，强调理解定义必须准确，也为后续内容埋下伏笔）（二）等差数列的通项公式1、公式推导探究活动一如果等差数列 首项是 ，公差是 ，那么这个等差数列 如何表示？ 呢？（步步为营，层层推进）根据等差数列的定义可得： ， ， ，。 所以： ， ， ， 由此完成 填空（学生易归纳填出），得 (*)，这是等差数列的通项公式吗？（让学生回答） 当 时，对(*)式两边均为 ,即等式也成立，说明(*)式对 都成立，因此等差数列的通项公式就是: ， （至此指出）上面求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，因此我们有必要寻求更为严密的推导方法。 根据等差数列的定义可得： 将以上 个式子相加得 （该过程应体现探索）。这种求通项公式的方法叫叠加法。2、公式理解通项公式含有 这4个量，已知三个量，第4个量就是未知数，通项公式就是方程，解方程就可以求出第4个量。即利用方程的思想“知三可求一”。三、应用与探索例已知等差数列， -公式的简单应用请写出 -279是否是这个数列中的项，如果是，是第几项？解： ， ， ； 解 得 ，即 是该数列的第100项。说明：要判断-279是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得 成立，实质上是要求方程 的正整数解。 例2已知等差数列 中， 求 的值。 -公式的深化与推广 解： 。解方程组比较麻烦，可否避免？ 发现： 是一种巧合，还是对任意的两项差都满足？请同学们思考：探究活动二在公差为 的等差数列 中， 与 有何关系？ 分析： （证实并非巧合） 。 比较 与 发现，前式是后式的特例，后式是前式的推广。为此我们不妨把 叫做等差数列的变通式好了。（在 后板书：等差数列的变通式）请用变通式再解例2。解法二：由 即 得 ，所以 。发现：5，15，25成等差， 也成等差；在等差数列 中， 成等差数列，那么 成等差数列吗？（课后思考）练一练：（强化通项公式与变通式的应用）(1)在等差数列 中,已知 ， ,则 ；(2)若 ，则 (4) 在等差数列 中,已知 ， ,则 的值为 ；例3：（由等差数列通项公式得 （ 是常数），当 的时候，通项公式是关于 的一次式 ，一次项的系数是公差。等差数列通项可以写成 形式）反之如果数列 的通项公式为 （其中 ， 是常数），那么这个数列是等差数列吗？分析：判定 是不是等差数列，也就要看 是不是与n无关的常数。解：对数列 中的任意两项 与 ， 为常数， 是等差数列，首项a1=p+q,公差为p。由些得出： 数列an为等差数列的充要条件是其通项 (p、q是常数)。探究活动三： （1）在直角坐标系中，画出 的图象。这个图象有什么特点？（无穷多个孤立点。） （2）在同一坐标系下，画出函数 的图象。你发现了什么？实例展示 （ 的图象是直线 上均匀排开的无穷多个孤立点。） （3）等差数列 与函数 图象间的有什么关系？ （当 时， 也是关于n 的一次式； 的图象是直线 上均匀排开的无穷多个孤立点。）四、归纳小结提炼精华本节课主要学习了： 一个定义： 两个公式： ， 两种思想：方程思想 、函数的思想。 三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠加法（此条不板书）。五、课后作业运用巩固 必做题：A.课本P114 习题3.2第1,2，6 题 B.补充：1.在等差数列 中，已知a=-2 ， 是第一个大于1的项。求公差d的取值范围。 2.我国古代算书孙子算经卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。 问：五人各得几何？ 选做题：在等差数列 中,已知 ，求下列各式的值：(为下节课研究等差数列的性质做铺垫) （1） ； （2） 教案说明一、本课时的数学本质与教学目标定位1、本课时内容的本质：“等差”是等差数列这一现象中最一般的东西，“等差”是等差数列的最根本的性质。从知识内在联系函数的度看，等差数列的通项公式是非0自然n的一次式，其图象是一条直线上的一群孤立的、均匀排开的点。从等差数列概念的形成到通项公式的运用这一过程看，它让学生经历了“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一常用数学研究方法的完整过程。从思想与方法提炼的维度看，在等差数列第一课时的教学过程中不仅渗透了函数的思想和方程的观点，还提炼出了“不完全归纳法”、“叠加法”等数学方法。2、本课时教学目标定位：从教纲、教材层面看：本节的重点是等差数列的概念及其通项公式的推导和应用。本节教材先在具体事例的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法推出等差数列的通项公式，最后应用这个公式进行相关计算。可见本课内容的安排旨在培养学生观察分析、归纳猜想、应用等能力。 从学生知识层面看：学生对数列已有初步的认识，对方程和数学公式的运用已有一定的基础，对函数思想的认识也逐渐趋于深刻。从学生素质层面看：从高一新生入学开始，我就很注意学生自主探究习惯的养成。现阶段我的学生思维活跃，课堂参与意识较强，并已具有一定的分析、推理能力。鉴于上述原因，我确定了本节课的三维教学目标，该目标的特点是：重视概念的形成过程和对概念的本质认识，强调公式的推导证明，强调用函数的观点研究问题，强调学生的亲身经历，突出对学生分析、解决问题能力的培养，关注学生良好的思维习惯的养成。 二、本节课的地位与作用数列是高中数学的重要内容，是历年高考的热点与重点之一。数列作为离散的函数，有着承前启后的作用，它既是前一章函数内容的延伸，也是数学归纳法、数列极限等后续课程的基础。数列在实际的生产生活中运用特别广泛。数列对于培养学生观察问题的能力与数学应用能力的培养是不可或缺的。等差数列则是数列这章的两大核心内容等差数列、等比数列中的第一个。为此对于等差数列的学习就其知识本生无疑已是非常重要的了，同时还能为学习等比数列，乃至研究其它更一般的数列，提供了方法指明了方向。等差数列的第一课时，是在学生前面了解了数列的一般性概念、数列的通项公式、递推公式基础上，第一次对一个特殊数列展开研究的开始，它是继续研究等差数的基础，它为等比数列概念的学习、通项公式的推导与应用等，给出了“示范”提供了“模式”。三、教学诊断分析1、本节课易了解的地方：观察引例发现所给数列的共同点，并归纳出等差数列的定义。等差数列定义的理解及利用定义判断简单数列是否是等差数列。公差可以是正数、负数，也可以是0；当 时，是递增数列；当 时，是递减数列，当 时，是常数列。等差数列通项公式的基本应用知三求一。2、不易理解地方及易错点：若数列 满足： （d是常数， 且 ），则数列 是等差数列吗？（这一问题的判断） 是数列 的第 项；（误判数列 为等差数列）不完全归纳得出的结论为什么不一定正确？，这种方法为什么不够严密。等差数列通项公式变形为： ,而断定 是关于n的一次函数。四、教法特点及预期效果分析：1、教法特点：本节课采用诱导思维法及讲练结合法。诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。本节课先是从具体的例子出发，引导学生观察，进而得到等差数列的概念，接着由等差数列的概念出发,运用观察，分析，归纳的方法推导等差数列的通项公式，培养学生用数学不完全归纳法得到数学结论的思维能力。在对这个公式时，启发学生不同角度去看待同一个问题，加强思维能力，培养学生运用辩证法思想思维数学问题。接着根据公式进行例题讲解，最后给出反馈练习，测试学生对本堂知识的掌握程度，以便及时反馈给老师，在练习的过程中，采用先易后难，层层推进的方式给出习题，符合学生的认知能力，同时亦可兼顾不同层次的学生，真正做到因材施教。2、预期效果分析：学生对学习数学有浓厚兴趣，课堂上，能大胆发言，乐于做练习。对数列的知识有初步的接触和认识，对方程、函数，掌握得也较理想。对数学公式的运用已具备一定的技能，解二元一次方程组较为熟练。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。本节课所选例紧扣教材，由浅入深，步步为营，层层推进，学生掌握情况较好。等差数列教案（数学等差数列教学设计）3.2.1 等差数列 教学目标 1明确等差数列的定义 2掌握等差数列的通项公式，会解决知道 中的三个，求另外一个的问题 3培养学生观察、归纳能力 教学重点 1 等差数列的概念；2 等差数列的通项公式 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 启发式数学 教具准备 投影片1张(内容见下面)教学过程（） (I)复习回顾 师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片）（）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6； 10，8，6，4，2，； 生：积极思考，找上述数列共同特点。对于数列 （1n6）； （2n6）对于数列 -2n（n1）（n2）对于数列 （n1） （n2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2， 。二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：若将这n-1个等式相加，则可得：即： 即： 即： 由此可得： 师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 。如数列 （1n6）数列： （n1）数列： （n1）由上述关系还可得： 即： 则： = 如： 三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2的第20项（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：（1）由 n=20，得 （2）由 得数列通项公式为： 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4（n-1）成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。（）课堂练习生：（口答）课本P118练习3（书面练习）课本P117练习1师：组织学生自评练习（同桌讨论）（）课时小结师：本节主要内容为：等差数列定义。即 (n2)等差数列通项公式 (n1)推导出公式： （V）课后作业一、课本P118习题3.2 1，2二、1预习内容：课本P116例2P117例42预习提纲：如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？ 等差数列有哪些性质？板书设计 课题一、定义1 （n2）一、通项公式2 公式推导过程 例题教学后记