等差数列求和详细教案.doc

课 题

等差数列求和
学习内容与过程
引入
数列中，称为数列的前n项和，记为.
与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=
知识点
1.等差数列的前项和公式
（1）
证明： ①
②
①+②：
∵ ∴ 由此得：
（2）
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求必须已知中三个

（3）两个公式的选择：若已知首项及末项用公式较简便；若已知首项及公差d用公式较好；
（4）在运用时，注意性质“ m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) ”的运用；
例1 一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.
分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.
解：根据题意，得=24, －=27，则设等差数列首项为,公差为d,
则 解之得： ∴=3+2（n－1）=2n+1.
变式1：已知等差数列的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项；等差数列-16，-12，-8，...，前几项的和为72？

变式2：在等差数列中，（1）已知；（2）已知

变式3：已知数列的前n项和，求数列的通项公式

2. 等差数列前n项和的性质
（1）在等差数列中，连续m项的和仍组成等差数列，即，,
，...仍为等差数列
（2）根据，知，当d≠0，是一个常数项为零的二次式因此可设
（3）在等差数列中：
，...，也成等差数列，公差为
若
若
若项数为2n，则（为中间两项），
若项数为2n-1，则，
若数列与均为等差数列，且前n项和分别是，，则
（证明：）
例2 在等差数列中，

变式1：已知非常数等差数列{}的前n项和满足
(n∈N, m∈R), 求数列{}的前n项和.
解：由题设知，＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,
即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,
∵ {}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1, ∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,
则 当n=1时，＝
当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)＝
∴＝，d==
= =
数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列，
∴数列{}的前n项和为n·()＋n(n－1)·()＝
例3 涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题，一般宜用性质来求解
一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.
解：设这个数列的首项为, 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得, 解得d＝5.
解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.
变式1：项数为2n+1的等差数列的奇数项的和与偶数项的和之比为
例4 涉及两个等差数列前n项和之比问题，一般是利用公式将它转化为两项和之比的问题，再利用函数思想来解决问题
两个等差数列，它们的前n项和之比为, 求这两个数列的第九项的比
解：.
变式：已知等差数列{}、的前n项和分别为和，若，求

3. 等差数列前n项和公式与二次函数

区别
联系

定义域为
图像是一系列孤立的点
解析式都是二次式

定义域为R
图像是一条光滑的抛物线
（1）设，利用二次函数的相关性质及图像可求其最值，但并不一定是时，有最大值（或最小值），而是当时，；而当时，n取与最接近的正整数即可
（2），即，由二次函数性质可知，时，有最小值；时，有最大值
（3），时，有最大值；，时，有最小值；
最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或
例5 在等差数列中，，求的最大值

变式1 在等差数列中，，则取最大时，n=
变式2 等差数列的前n项和为，公差，若存在正整数m（），使得，则当时，有
巩固练习
1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于 ．
2．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= ．
变式：等差数列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3= ．
3．数列的通项，则其前项和 ．
4．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）
A.等比数列 B.等差数列 C.等差数列且等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
5．等差数列{an} 中，S15=90，则a8= ( )
(A)3 (B)4 (C)6 (D)12
变式：等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8= ( )
(A)45 (B)75 (C)180 (D)300
6．数列{an}的前n项和为Sn，若（ ）
（A）12 （B）18 （C）24 （D）42
变式：等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)160
7．在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
变式：等差数列{an}的公差为，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=( )
(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值
8. 已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，所有项的和为360，此数列的项数为
A．12项 B．13项 C．14项 D．15项
9．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是
10．若两个等差数列则

A． B． C． D．
11.数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.

12.设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由
解：(1) ,
∵ ＝＋2d＝12, 代入得 , ∴ －<d<－3,
(2) ＝13<0, ∴ <0, 由＝6(＋)>0, ∴ ＋>0,
∴>0, 最大.
课后作业
1.在等差数列中，已知，那么等于（ ）
A.3 B.4 C.6 D.12
2.在等差数列中，若等于（ ）
A. B. C.2 D.
3.已知等差数列的公差为1，且，则( )
A.99 B.66 C.33 D.0
4.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
5.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
6.等差数列中，则使其前n项和成立的最大自然数n是（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
7.等差数列中，是其前n项的和，若=（ ）
A.15 B.18 C.9 D.12
8.等差数列和中，，则数列的前100项的和为（ ）
A.0 B.100 C.1000 D.10000
9.若两个等差数列则
A．7 B． C． D．
10.等差数列中，，，则
11.等差数列中，,，则
12.设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前n项和，且，求数
列的通项公式

13.数列是公差不为零的等差数列，且；（1）求的通项公式；（2）求数列的 的前n项和

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