二次型及其标准形.ppt

目的要求目的要求：掌握用正交变换化二次型为标准形掌握用正交变换化二次型为标准形重、难点：重、难点：合同矩阵的概念，用正交变换化二次合同矩阵的概念，用正交变换化二次型为标准形型为标准形.4.4 二次型及其标准形二次型及其标准形(quadratic quadratic form and its canonical form form and its canonical form)4.4.1 二次型及其矩阵形式二次型及其矩阵形式定义定义1 1：例如：三元二次齐次函数例如：三元二次齐次函数令：令：(其中其中A为对称阵为对称阵)二次型二次型 f 对称阵对称阵二次型二次型:例：例：的矩阵，并求的矩阵，并求f 的秩的秩.写出二次型写出二次型注注:只含平方项的二次型的矩阵是对角阵只含平方项的二次型的矩阵是对角阵.例：例：写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵4.4.2 二次型的标准形式二次型的标准形式二次型二次型:定义定义2设设A和和B是是n阶方阵阶方阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵C，使使则称矩阵则称矩阵A与与B合同合同.形如形如只含平方项的二次型只含平方项的二次型,称为二次型的称为二次型的标准形标准形.如果标准形的系数如果标准形的系数 则称其为二次型的则称其为二次型的规范形规范形.congruentcongruent合同是方阵间又一个特殊的等价关系合同是方阵间又一个特殊的等价关系,因此具因此具有以下性质有以下性质:(1)自反性自反性;(2)对称性对称性;(3)传递性传递性;(4)合同变换不改变矩阵的秩合同变换不改变矩阵的秩;(5)合同变换不改变矩阵的对称性合同变换不改变矩阵的对称性;4.4.3 二次型的标准化的方法二次型的标准化的方法其中其中为为A的特征值的特征值.例例3 3 用配方法把二次型用配方法把二次型 化为标化为标 准形准形.作作 业业P112P112 12(1)12(1)配方法配方法 (2)(2)合同变换合同变换 1313