1、4 4简单计数问题简单计数问题1/321.加深了解排列和组合概念,深入分清排列与组合区分与联络.2.熟练掌握与排列、组合相关应用题惯用解法,提升分析问题和处理问题能力.2/3212343/3212342.插空法:先把普通元素排列好,然后把特定元素插排在它们之间或两端空当中,此法主要处理“元素不相邻问题”.【做一做2】有三款甲型手机和两款乙型手机要排成一列进行展览,则两款乙型手机不相邻排列方式有种.4/3212343.占位法:从元素特殊性上讲,对问题中特殊元素应优先排列,然后再排其它普通元素;从位置特殊性上讲,对问题中特殊位置应优先考虑,然后再排其它剩下位置.即采取“先特殊后普通”解题标准.【做
2、一做3】用0,1,2,3这四个数字能够组成个没有重复数字四位数.5/3212346/32题型一题型二题型三【例1】某大学有四名学生参加了一项志愿者服务工作.将这四名大学生分配到A,B,C三个不一样区域服务,每个区域最少分配一人.若甲要求不到区域A,则不一样分配方案共有()A.36种B.30种C.24种D.20种解析:这里可把四名大学生看作四个元素,把A,B,C三个区域看作三个位置.从元素角度分析,甲是特殊元素;从位置角度分析,区域A是特殊位置.利用特殊优先标准,能够有两种解题思绪:方法一:以特殊元素作为分类依据.第一类:甲单独一人在某个区域服务.第一步:给甲分配位置,有2种选择.7/32题型一
3、题型二题型三8/32题型一题型二题型三9/32题型一题型二题型三反思本题中除了甲这个特殊元素和区域A这个特殊位置外,还有“其中两个人必须一起在某个区域服务”这个隐含条件,实际上本题中不论是哪种方法都是以此作为分类标准.10/32题型一题型二题型三【变式训练1】某学校把淘宝专业开进大学课堂.现有4名该校大学生,准备在学校提供5个项目中进行投资,学校要求同一个项目只能有1个人选择,每人只能选择一个项目,且因为项目A,B要求资金较大,只有甲和乙才有经济能力进行投资,则不一样投资方法种数有多少?解:第一类:项目A,B中只有一个项目入选.11/32题型一题型二题型三12/32题型一题型二题型三【例2】7
4、个人按以下要求排队,分别有多少种不一样排法?(1)甲不排在正中间,也不排在两端;(2)甲、乙之间相隔2人;(3)甲排在乙右边;(4)甲、乙都与丙不相邻;(5)若7个人排成两排,第一排3人,第二排4人,共有多少种排法?(6)若7个人排成一个圆圈,有多少种排法?13/32题型一题型二题型三分析(1)限制条件甲不排在正中间与两端,意思是说甲只能排在余下4个位置,所以能够先在这4个位置上排甲而后再排其它人员,或者先从其余六人中选出三人排在正中间和两端.(2)能够先从其余五人中选两人排在甲、乙之间,然后将此二人连同甲、乙四人看作一个元素(捆绑法)参加全排列,一样甲、乙之间也要进行全排列;还能够利用“数数
5、法”将甲、乙排位置确定出来,即甲、乙只能在1与4,2与5,3与6,4与7这四种位置上.(3)甲不是排在乙右边,就是排在乙左边,二者必居其一,所以能够用“调序法”求解,或先按题目标要求从七个位置中选两个将甲、乙排好,然后再排其余人员.(4)本题可分成甲、乙相邻但不与丙相邻及甲、乙不相邻且都不与丙相邻两类进行研究.14/32题型一题型二题型三(5)把元素排成几排问题,可化归为一排考虑,再在一排中分段处理.(6)7人排成一个圆圈,剪开排成一排,对应7个排列.故环状排列问题用剪断直排法处理.15/32题型一题型二题型三16/32题型一题型二题型三17/32题型一题型二题型三18/32题型一题型二题型三
6、反思“在”与“不在”,“相邻”与“不相邻”或“相间”,是常见有限制条件排列问题.“在”普通用“直接法”求解,“不在”可用“间接法”;“相邻”问题普通用“捆绑法”,“不相邻”问题用“插空法”;“次序一定”可用“调序法”或“组正当”.普通来说,解排列、组合应用题除了上述方法外,有时还用“占位法”或“数数法”,更多情况下需要对问题进行恰当分类或分步.分类时要注意“类与类”之间并列性、独立性和完整性;分步时要注意“步与步”之间连续性、独立性和依赖性,做到不重不漏.19/32题型一题型二题型三【变式训练2】有5盆菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2
7、盆白菊花不能相邻,则这5盆花不一样摆放种数是()A.12 B.24C.36 D.48解析:此题中现有相邻限制,又有不相邻限制,我们能够优先利用捆绑法处理相邻问题,再利用插空法处理不相邻问题.20/32题型一题型二题型三【例3】按以下要求分配6本不一样书,各有多少种不一样分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.分析:
8、这是一个分配问题,解题关键是搞清事件是否与次序相关,对于平均分组问题更要注意次序,防止计数重复或遗漏.21/32题型一题型二题型三22/32题型一题型二题型三23/32题型一题型二题型三反思均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题常见题型.处理这类问题关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数阶乘数,还要充分考虑到是否与次序相关,有序分组要在无序分组基础上乘以分组数阶乘数.24/32题型一题型二题型三【变式训练3】有4个不一样球,4个不一样盒子,把球全部放入盒内,(1)共有多少种放法?(2)恰有1个盒子不放球,有多少种放法?(3)恰有1个盒子放2个球,有多
9、少种放法?(4)恰有2个盒子不放球,有多少种放法?25/32题型一题型二题型三26/321234561.在1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字三位数中,各位数字之和为奇数共有()A.36个 B.24个C.18个 D.6个27/321234562某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运动员作为最正确运动员,不一样选法种数为()A.12B.30C.15D.2428/321234563.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,天天安排1人,每人值班1天,若7位员工中甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不一样排法方案有()A.504种 B.960种C.1 00
10、8种D.1 108种29/321234564.从单词“equation”中选取5个不一样字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且次序不变)不一样排列共有()A.120种 B.480种C.720种 D.840种答案:B30/321234565.从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班担任实习班主任,每班派一位,要求这3位实习教师中男女都要有,则不一样选派方案共有()A.210种 B.420种C.630种 D.840种31/321234566.袋中有大小相同4个红球和6个白球,从中取出4个球.(1)若取出红球个数不少于白球个数,则有多少种不一样取法?(2)取出一个红球记2分,取出一个白球记1分,若取出4个球总分不低于5分,则有多少种不一样取法?32/32
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