连云港市高三三模.doc

连云港市2014届高三第三次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合，，则 ．
结束
Y
输出y
N
（第5题）
开始
输入x
x>0
y←2x+1
y←2x+1
【答案】
2． 已知复数满足（是虚数单位），则 ．
【答案】
3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取
出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ．
【答案】
4． 平面截半径为2的球所得的截面圆的面积为，
则球心到平面的距离为 ．
【答案】
5． 如图所示的流程图，输出的值为3，则输入x的值为 ．
【答案】1
6． 一组数据的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
【答案】
7． 在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程
为 ．
【答案】
8． 已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
9. 已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】8
10． 在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则 ．
1
3
x
y
O
（第11题）
·

【答案】10
11．已知函数的图象如图所示，则 ．
【答案】
12．在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线
上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 ．
【答案】
13．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若，，且，则
数列{bn}的公比为 ．
【答案】

14．在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点
在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为 ．
【答案】3

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
C
E
A
B
D
F
（第15题）
15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．
【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，
因为平面CDEF，平面CDEF，
所以AB∥平面CDEF．……………………… 4分
因为平面ABFE，平面平面，
所以AB∥EF． …………………………… 7分
（2）因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以DE⊥BC． …………………………… 9分
因为BC⊥CD，，平面CDEF，
所以BC⊥平面CDEF． …………………………… 12分
因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF． …………………………… 14分

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，．
（1）求的值；
（2）求函数的值域．
【解】（1）因为，所以． …………………………… 3分
由余弦定理得，
因为，所以． …………………………… 6分
（2）因为，所以， …………………………… 8分
所以．
因为，所以． …………………………… 10分
因为，…… 12分
由于，所以，
所以的值域为． …………………………… 14分
17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆
弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧
O
（第17题）
A
B
C

的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．
【解】（1）如图，连接，设圆心为，连接．
在直角三角形中，，，
所以．
由于，所以弧的长为． ……………………3分
所以，
即，． ……………………………7分
（2）， ……………………………9分
令，则， ……………………………11分
列表如下：

+
0

极大值

所以，当时，取极大值，即为最大值． ……………………………13分
答：当时，绿化带总长度最大． ……………………………14分
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作
两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．

（第18题）

（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．
【解】（1）由题意知，，，
所以． ……………………………2分
因为点在椭圆上，即，
所以．
所以椭圆的方程为． ……………………………6分
（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知； ……………………………7分
② 当两弦斜率均存在且不为0时，设，，
且设直线的方程为，
则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，
所以，，
所以． ……………………………10分
同理，．
所以， ………………………12分
令，则，，，
设，
因为，所以，
所以，
所以．
综合①与②可知，的取值范围是． ……………………………16分
19．已知函数在时取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出，的值；
若不存在，说明理由．
【解】（1），
由题意知，解得或． …………………………… 2分
当时，，
易知在上为减函数，在上为增函数，符合题意；
当时，，
易知在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的． …………………………… 5分
（2）因为，所以． …………………………… 7分
① 若，则，因为，所以． …………… 9分
设，则，
所以在上为增函数．
由于，即方程有唯一解为．…………………………… 11分
② 若，则，即或．
（Ⅰ）时，，
由①可知不存在满足条件的． …………………………… 13分 （Ⅱ）时，，两式相除得．
设，
则，
在递增，在递减，由得，，
此时，矛盾．
综上所述，满足条件的值只有一组，且．……………………………16分
20．各项均为正数的数列{an}中，设，，
且，．
（1）设，证明数列{bn}是等比数列；
（2）设，求集合．
【解】（1）当时，，
即，解得． ……………………………2分
由，所以 ①
当时， ②
①-②，得（），……………………………4分
即，
即，所以，
因为数列{an}的各项均为正数，所以数列单调递减，所以．
所以（）．
因为，所以，
所以数列{bn}是等比数列． ……………………………6分
（2）由（1）知，所以，即．
由，得（*）
又时，，所以数列从第2项开始依次递减． …………8分
（Ⅰ）当时，若，则，
（*）式不成立，所以，即． ……………………………10分
令，则，
所以，即存在满足题设的数组（）．……… 13分
（Ⅱ）当时，若，则不存在；若，则；
若时，，（*）式不成立．
综上所述，所求集合为（）． ………………16分
（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）

南通市2014届高三第二次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
（第21—A题）
F
B
C
D
A
O

E
21A．选修4—1：几何证明选讲
如图，圆的两弦和交于点，，交的
延长线于点．求证：△∽△．
【解】因为，所以， ………………3分
又，所以， ………………6分
又，所以△∽△． ………………10分
21B．选修4—2：矩阵与变换
若矩阵把直线变换为另一条直线，试求实数值．
【解】设直线上任意一点在矩阵作用下的点的坐标为，
则，所以 ……………………………4分
将点代入直线，
得．
即直线的方程为．
所以． ……………………………10分
21C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线
与曲线相交于，两点，求的值．
【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）
设，两点对应的参数值分别为，．
将代入，
整理可得．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）
所以． ……………………………10分
21D．选修4—5：不等式选讲
已知，，，．求证．
【证明】因为，，所以，所以要证，
即证．
即证， ……………………………5分
即证，
而显然成立，
故． ……………………………10分
22．在平面直角坐标系中，已知定点F（1，0），点在轴上运动，点在轴上，点
为平面内的动点，且满足，．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设点是直线：上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，切点
分别为，，设切线，的斜率分别为，，直线的斜率为，求证：
．
【解】（1）设点，，．
由可知，点是的中点，
所以即所以点，．
所以，． …………3分
由，可得，即．
所以动点的轨迹的方程为．……………5分
（2）设点，
由于过点的直线与轨迹：相切，
联立方程，整理得．…………7分
则，
化简得．
显然，，是关于的方程的两个根，所以．
又，故．
所以命题得证． ……………………………10分
23．各项均为正数的数列对一切均满足．证明：
（1）；
（2）．
【证明】（1）因为，，
所以，
所以，且．
因为．
所以，
所以，即． ……………………………4分
（注：用反证法证明参照给分）
（2）下面用数学归纳法证明：．
① 当时，由题设可知结论成立；
② 假设时，，
当时，由（1）得，．
由①，②可得，． ……………………………7分
下面先证明．
假设存在自然数，使得，则一定存在自然数，使得．
因为，，
，…，，
与题设矛盾，所以，．
若，则，根据上述证明可知存在矛盾．
所以成立． ……………………………10分
数学参考答案及评分建议 第12页 （共12页）