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实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十辅导课程十1/100例例1 1 设设 为可测集，试证为可测集，试证 证实证实 若若 或或 ，则结论显然则结论显然若且，则由可测，取2/1003/100例例2 2 考查康脱闭集考查康脱闭集 与对应开集与对应开集 由上面定义知，由上面定义知，=1-=0 =1-=0注意：这里我们得到了一个测度为注意：这里我们得到了一个测度为0 0 不可数集例子不可数集例子4/100第三节第三节 可可 测测 集（续）集（续）定理定理1 1 （1 1）凡外测度为零集合是可测集，凡外测度为零集合是可测集，我们称为零测集。我们称为零测集。（2 2）零测集之任何子集仍为零测集。零测集之任何子集仍为零测集。（3 3）有限个或可数个零测集之并仍为有限个或可数个零测集之并仍为 零测集零测集。证实：设证实：设 ，则对任何集合，则对任何集合 ，有，有5/100定理定理 2 2 区间都是可测集，且区间都是可测集，且 定理定理 3 3 开集、闭集都是可测集。开集、闭集都是可测集。证证实实 因因为为任任何何非非空空开开集集可可表表示示为为可可数数多多个个互互不不相相交交左左开开右右闭闭区区间间之之并并，而而区区间间是是可可测测，故故开开集集可可测测。闭闭集集作作为为开开集集之余集也是可测之余集也是可测 。6/100 我我们们指指出出主主要要一一类类集集，它它从从开开集集出出发发，经经过过取取余余集集，作作至至多多可可列列次次或或并并或或交交运运算算，所所得得到到集集统统称称为为波波雷雷尔尔集集。这这么么，一一切切波波雷雷尔尔集集是是可可测测。尤尤其其，波波雷雷尔尔集集中中有有这这么么集集值值得得注注意意，一一个个是是可可表表为为可可列列个个开开集集交交，称称为为 集集；另另一一个个是是可可表表为为可可列列个个闭闭集集并并，称称为为 集。它们可用来结构任意可测集测度。集。它们可用来结构任意可测集测度。定理定理 5 5 凡波雷尔集都是可测集。凡波雷尔集都是可测集。7/100定理定理6 6 设设E E是可测集，则存在是可测集，则存在 型集型集 使使 且且证证实实 （1 1）先先证证 任任意意给给 ，存存在开集在开集G,G,使使 ，且，且 。为此，先设为此，先设 ，则由测度定义，则由测度定义，有一列开区间有一列开区间 使使8/100令令 ，则，则 为开集，为开集，9/100其次，设其次，设 ，这时，这时 必为无界集，必为无界集，但它总可表示成可数多个互但它总可表示成可数多个互不相交不相交有界可测集并有界可测集并 则则 为开集，且为开集，且10/10011/100（2）依次取 ，由证实中（1）存在开集 ，使 ，则 为 型集且 12/100定理定理7 7 设设E E是可测集，则存在是可测集，则存在 型集型集 使使 且且 证证实实 因因 可可测测，由由定定理理6 6存存在在 型型集集 G G使使 ，。令令 ，则则 为为 型集且型集且13/100注注意意1 1 定定理理 6 6和和定定理理7 7表表明明，可可测测集集E E是是与与某某个个 集集或或某某个个 集集仅仅相相差差一一个个零零测测集集。因因为为其其逆逆也也成成立立，这这么么我们就取得了一切可测集结构。我们就取得了一切可测集结构。注意注意2 2 不可测集是存在。不可测集是存在。14/100实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十一辅导课程十一15/100第四章第四章 可测函数可测函数 本章引进一个新函数类本章引进一个新函数类可测函数可测函数类，并讨论它性质，为下一章勒贝格积分类，并讨论它性质，为下一章勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉连续函数有亲密联络，在可测函数类中悉连续函数有亲密联络，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等是进行运算，如代数运算、取极限运算等是相当方便，所得结果仍是可测函数。相当方便，所得结果仍是可测函数。16/100第一节第一节可测函数及其基本性质可测函数及其基本性质 本节主要介绍可测函数概念及其性质，本节主要介绍可测函数概念及其性质，经过本节学习，我们要掌握可测函数概经过本节学习，我们要掌握可测函数概念，可测函数基本性质，即可测函数四念，可测函数基本性质，即可测函数四则运算和极限运算仍为可测函数，同时则运算和极限运算仍为可测函数，同时我们要知道可测集上连续函数，简单函我们要知道可测集上连续函数，简单函数，区间上单调函数均为可测函数。另数，区间上单调函数均为可测函数。另外，本节最终给出外，本节最终给出“几乎处处几乎处处”概念是概念是一个很主要概念一个很主要概念 17/100 设E是 一个可测子集（有界或无界），是定义在E上实函数（其值可认为无穷大）。关于包含关于包含 在内实数运算作以下要求：在内实数运算作以下要求：是全体有限实数上确界，是全体有限实数上确界，是全体有限实数下确界：是全体有限实数下确界：上（下）方无界递增（减）数列上（下）方无界递增（减）数列 18/100对于任何有限实数对于任何有限实数 19/100无意义无意义设设 是任一实数，记是任一实数，记=20/100定定义义1 1 设设 是是定定义义在在可可测测 集集 E E上上实实函函数。假如对每一个实数数。假如对每一个实数 集集 恒恒可可测测（勒勒贝贝格格可可测测），则则称称 是是定定义义在在 E E上（勒贝格）可测函数。上（勒贝格）可测函数。21/100定定理理1 1设设 是是定定义义在在可可测测 集集 E E上上实实函函数数，以以下下任任一一个个条条件件都都是是 在在 E E上上（勒勒贝贝格格）可可测测充要条件：充要条件：（1 1）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（2 2）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（3 3）对任何有限实数对任何有限实数 ，都可测；都可测；（4 4）对对任任何何有有限限实实数数 ，都都可测可测22/100证证实实 与与 对对于于E E是是互互余余，一一样样 与与 对对于于E E也也是是互互余余。故故在在前前三三个个条条件件中中，只只须须证证实实（1 1）充要性。充要性。实际上，易知实际上，易知=23/100关关于于（4 4）充充要要性性，只只需需注注意意表表示示式式 =时时 =24/100推推论论 1 1 设设 在在E E上上可可测测，则则 总总可可测测，不不论论 是是有有限限实数或实数或 ，。证证 只需注意只需注意-=25/100 例例1 1 定定义义在在零零测测集集上上任任意意实实函函数数均均 为可测函数。为可测函数。实际上，零测集子集总是可测集。实际上，零测集子集总是可测集。每一个实数每一个实数 ，集，集 恒可测恒可测 例例2 2 区间区间 上连续函数及上连续函数及 单调函数都是可测函数。单调函数都是可测函数。26/100例例1 1设设 =，在，在 上定义狄里克雷上定义狄里克雷 函数以下：函数以下：=因为对任意实数因为对任意实数 ，集，集 为为 （当（当 ），），中有理点集中有理点集 空集空集 。它们都是可测集。它们都是可测集。故故 是是E E上可测函数。上可测函数。27/100定定义义2 2 定定义义在在 实实函函数数 称称为为在在 连连续续，假假如如 有有限限，而而且且对对于于 任任 邻邻 域域 ，存存 在在 某某 邻邻 域域 ，使使 得得 ，即只要，即只要 且且 时时，便便有有 。假如假如 在在E E中每一点都连续，则称中每一点都连续，则称 在在E E上连续。上连续。28/100定定义义 3 3 设设 定定义义域域E E可可分分为为有有限限个个互互不相交可测集不相交可测集 ，=，使使 在每个在每个 上都等于某个常数上都等于某个常数 则称则称 为简单函数。为简单函数。29/100例例4 4 可测集可测集E E上连续函数是可测函数。上连续函数是可测函数。实实际际上上，设设 ，则则由由连连续续性性假设，存在假设，存在x x某邻域某邻域 ，使，使令=30/100定理定理2 2 （1 1）设）设 是可测集是可测集E E上可测上可测函数，而函数，而 为可测子集，则为可测子集，则 看看作定义在作定义在 上函数时，它是上函数时，它是 上上可测函数；可测函数；（2 2）设设 是定义在有限可测集是定义在有限可测集 并集并集 上，上，且且在在每每个个 上上 都都可可测测，则则 在在E E上上也可测。也可测。31/100证证 （1 1）对于任何有限数）对于任何有限数 ，=，由假设等式右边是可测集。由假设等式右边是可测集。（2 2）E E是是可可测测集集而而且且对对于于任任何何有有限限数数 ，有，有 =由假设等式右边是可测集。由假设等式右边是可测集。32/100例例1 1任任何简单函数都是可测函数。何简单函数都是可测函数。实实际际上上，定定义义在在可可测测集集上上常常值值函函数数显显然然是是可可测测 ，由由定定理理2 2便便知知任任何何 简简单单函函数数都都是可测函数。是可测函数。33/100定理定理3 3 设设 是是 上一列（或有限个）上一列（或有限个）可测函数，则可测函数，则 =与与 都是可测函数。都是可测函数。证证 因为因为 =，=而得证。而得证。34/100定定理理4 4 设设 是是 上上一一列列可可测测函函数数，则则=，也在也在E E上可测，尤其当上可测，尤其当 =存在时，它也在存在时，它也在E E上可测。上可测。35/100证证 因为因为 =，=重复应用定理重复应用定理3 3即得证。即得证。36/100实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十二辅导课程十二37/100定定理理5 5 设设 是是可可测测集集E E上上可可测测函函数数，则则 总总能能够够表表示示成成一一列列简简单单函函数数 极极限限函函数数，而且还可办到而且还可办到证证 （1 1）情形。情形。对每个自然数对每个自然数n,n,定义定义38/100则则 为为E E上简单函数，且不难证实上简单函数，且不难证实 我们证实我们证实 =。39/100假如假如 =+=+，则，则 =+=+。假如假如 +，则有自然数，则有自然数N N，使使 从而当从而当 时时 40/100（2 2）普通情形）普通情形令令 =sup ,=sup 则则 ，都是非负可测函数，都是非负可测函数，41/100对对 ，作出对应简单函数列作出对应简单函数列 ，则则 =-=-，即为所求。，即为所求。由由此此得得到到：函函数数 在在 E E上上可可测测 充充要要 条条件件是是 总总能能够够表表示示成成一一列列简简单单函函数数 极限函数，其中极限函数，其中42/100定定理理6 6 在在可可测测集集E E上上定定义义两两个个可可测测函函数数和和、差、积、商（假定运算有意义）都是可测。差、积、商（假定运算有意义）都是可测。证证 设设 ，是是E E上上可可测测函函数数。故故存存在在两两个个简简单单函函数数列列 ，,使得使得lim ,lim =.43/100Lim =limlim显然两个简单函数代数运算仍是简显然两个简单函数代数运算仍是简单函数，据定理单函数，据定理5 5知结论成立。知结论成立。44/100定义定义 4 4 假如命题假如命题S S在集在集E E上除了某个零测上除了某个零测度子集外处处成立，则说命题度子集外处处成立，则说命题S S在集在集E E上几上几乎处处成立，记为乎处处成立，记为S,a.e.S,a.e.命题命题S S也指某也指某一性质而言。一性质而言。例例1 1，两两函函数数f f与与g g几几乎乎处处处处相相等等指指是是f f与与g g不不相相等等点点集集 测测度度为为零零，而而在在 上处处有上处处有轻轻易易证证实实，两两个个几几乎乎处处处处相相等等函函数数含含有有相相同同可可测测性性。即即改改变变函函数数在在一一个个零零测测集上函数值不改变其可测性。集上函数值不改变其可测性。45/100例2几乎处处有限取值为无穷大点集为零测集。例3几乎处处收敛不收敛点集为零测集。例4几乎处处为正函数值不是正数点集为零测集46/100第第 二二 节节 叶果洛夫定理叶果洛夫定理 本节主要介绍一个主要定理本节主要介绍一个主要定理叶叶果洛夫定理。经过本节学习，我们要知果洛夫定理。经过本节学习，我们要知道，对于定义在测度有限可测集上几乎道，对于定义在测度有限可测集上几乎处处有限可测函数列，几乎处处收敛与处处有限可测函数列，几乎处处收敛与“基本上基本上”一致收敛是等价，同时我们一致收敛是等价，同时我们要知道，叶果洛夫定理逆定理总是成立。要知道，叶果洛夫定理逆定理总是成立。47/100 在在数数学学分分析析中中知知道道一一致致收收敛敛是是函函数数列列非非常常主主要要性性质质，它它能能确确保保极极限限过过程程和和一一些些运运算算可可交交换换性性。但但普普通通而而论论，一一个个收收敛敛函函数数列在其收敛域上是不一定一致收敛。列在其收敛域上是不一定一致收敛。比如比如 在在 上不一致收敛。上不一致收敛。不过只要从不过只要从 右端点去掉任意小一段右端点去掉任意小一段成为成为 ，则，则 在其上就一致收敛在其上就一致收敛了。其实这一现象在某种意义下是带有普了。其实这一现象在某种意义下是带有普遍意义。遍意义。48/100 引引理理 设设 ，是是E E上上一一列列几几乎乎处处处处有有限限可可测测函函数数列列，是是E E上上几几乎乎处处处处有有限限可可测测函函数数，在在E E上上几几乎乎处处处处收收敛敛于于 ，则对任意，则对任意 和任意自然数和任意自然数n n，作，作我们有我们有49/100证实证实 首先，首先，作为可测函数列极限作为可测函数列极限 函数是可测函数是可测 可测其次，依据关于其次，依据关于 与与 假设，假设，50/10051/10052/100推推论论 1 1 设设 ，是是E E上上一一列列几几乎乎处处处处有有限限可可测测函函数数列列，是是E E上上几几乎乎处处处处有有限限可可测测函函数数，在在E E上上几几乎乎处处处处收收敛敛于于 ，则对任意，则对任意 有有证实证实 因为因为 所以所以再由引理即得证再由引理即得证 53/100定理（叶果洛夫定理）定理（叶果洛夫定理）设设 ，是是E E上一列几乎处上一列几乎处处有限可测函数列，处有限可测函数列，是是E E上几乎处处上几乎处处有限可测函数，有限可测函数，在在E E上几乎处处收上几乎处处收敛于敛于 ，则对任意，则对任意 ，存在子集，存在子集，使在使在 上上 一致收一致收敛，且敛，且 。54/100证实证实 任选一列自然数任选一列自然数 ，与此对应，与此对应 作作 子集子集则则 必在必在 上一致收敛于上一致收敛于 实际上，对任给实际上，对任给 ，选选 使使 则当则当 时，对一切时，对一切 ，都有都有 55/100所以当给定了任一个所以当给定了任一个 之后，之后，假如能适当选取假如能适当选取 ，使，使 则则 令令 ，它就满足定理要求。，它就满足定理要求。但由引理，对于但由引理，对于分别存在充分大分别存在充分大 ，使，使 56/100故只要选取满足这条件故只要选取满足这条件 ，就有，就有57/100 这这个个定定理理告告诉诉我我们们，凡凡是是满满足足定定理理假假设设几几乎乎处处处处收收敛敛可可测测函函数数列列，即即使使不不一一致致收收敛敛，也也是是“基基本本上上”（指指去去掉掉一一个个测测度度可可任任意意小小某某点点集集外外）一一致致收收敛敛，所所以以在在许许多多场场所所它它提提供供了了处处理理极极限限交交换换问问题题有有力力工工具。具。58/100注意注意1 1：当：当 时，定理不成立时，定理不成立例：设则令则可测，且但对，结论不成立59/100注意注意 2 逆定理当逆定理当 和和 时都成立时都成立证实对，存在在上，一致收敛于60/100其次，当 时，存在某使因为在上，一致收敛于故一致收敛于61/100实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十三62/100第第 三三 节节 可测函数结构可测函数结构前面我们已经知道，可测集上连续函数前面我们已经知道，可测集上连续函数一定是可测函数。反之，普通可测函数一定是可测函数。反之，普通可测函数能够说是能够说是“基本上连续基本上连续”函数。这就是函数。这就是下面定理：下面定理：63/100定理 1 （鲁津定理）设 是是使使在在上是连续函数，且上是连续函数，且简言之，简言之，上几乎处上几乎处，存在闭子集存在闭子集上几乎处处有限可测函数，则对任上几乎处处有限可测函数，则对任意意 处有限可测函数是处有限可测函数是“基本上连基本上连续续”函数。函数。64/100证实 我们从特殊到普通分三种情形来讨论。1.简单函数情形。可测互不相交，且可测互不相交，且=，当当65/10066/10067/10068/100由（由（1 1）知，存在闭集）知，存在闭集 。使使 在在 上是连续，且上是连续，且 令令 ，显然，显然 且且 在闭集在闭集 上是上是 一致收敛于一致收敛于 连续函连续函数列，从而数列，从而 是是 上连续函数，且上连续函数，且 。实际上。实际上69/100（3 3）情形。情形。令令 为球为球 。由（由（2 2）知，）知，在在 上是基本上连续。上是基本上连续。即存在闭子集即存在闭子集 ，使，使 在在 上上是连续且是连续且70/100令令 ，由，由 特殊作法，我们容特殊作法，我们容易证实，易证实，在在 上是连续且上是连续且 而而 仍为闭集。仍为闭集。注注1 1 该定理证实方法值得注意，先考虑该定理证实方法值得注意，先考虑简单函数，再往普通可测函数过渡。简单函数，再往普通可测函数过渡。71/100注注2 2 该定理使我们对可测函数结构有了该定理使我们对可测函数结构有了深入了解深入了解 ，它揭示了可测函数与连续函，它揭示了可测函数与连续函数关系。在应用上经过它经常能够把相数关系。在应用上经过它经常能够把相关可测函数问题归结为连续函数问题，关可测函数问题归结为连续函数问题，从而得以简化。从而得以简化。注注3 3 该定理逆定理也是成立。该定理逆定理也是成立。72/10073/10074/10075/10076/10077/10078/100实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十四79/100第四节第四节 依测度收敛依测度收敛 本节我们引进另一个收敛概念依测度收敛，并讨论它与几乎处处收敛关系。经过本节学习，我们要知道，依测度收敛与几乎处处收敛有很大区别，其次，黎斯定理和勒贝格定理表明，它们也有一定联系。80/10081/10082/10083/10084/10085/100 在这个序列中是第在这个序列中是第 个函数。个函数。能够证实这个序列是度量收敛于零能够证实这个序列是度量收敛于零 这是因为对任何这是因为对任何 不过函数列在（不过函数列在（0 0，11上任何上任何 一点都不一点都不收敛。收敛。86/100例例2 2 取取 ，作函数列，作函数列 显然显然 ，当，当 。不过当不过当 时，时，且且反反过过来来，一一个个几几乎乎处处处处收收敛敛 函函数数列列也也能能够不是依测度收敛够不是依测度收敛 。这说明这说明 不依测度收敛于不依测度收敛于1 1。87/10088/10089/10090/10091/10092/10093/10094/10095/10096/10097/10098/10099/100100/100
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