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共渐近线的两个双曲线系的解题功能
甘肃 彭长军
本文首先给出关于共渐近线的双曲线系方程的两个命题，然后就其解题功能作一点探讨，供同学们参考。
命题1：与双曲线=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线系方程为=(≠0) (*)
证明：（1） 当>0时，方程(*)可变形为=1, >0.表示中心在原点、焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y=x=，与双曲线=1的渐近线相同。
（2）当<0时，方程(*)可变形为=1, ->0.。表示中心在原点、焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=x=，与双曲线=1的渐近线相同。
由（1）（2）可知，原命题成立。
同理，与双曲线=1（a>0,b>0）有共同渐近线的双曲线系方程为=(≠0)。
命题2:以直线AxBy=0为渐近线的双曲线系方程为(Ax+By)(Ax-By)=(≠0)，即Ax-By=(≠0)。
证明过程请读者自己完成，这里不在赘述。
推论:以两条相交直线l:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0为渐近线的双曲线系方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=(≠0)。
运用上述结论，在求某些特殊情形下的双曲线方程时，可有效地避开分类讨论，收到事半功倍的效果。下面举例说明。
例1．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=x(a>0,b>0)，若双曲线上有一点M(x,y)，使b>a，则双曲线的焦点（）
A.当a>b时在x轴上 B.当a<b时在y轴上
C.在x轴上 D.在y轴上
解：由双曲线的渐近线方程为y=x，即bxay=0,可知双曲线的方程为bx-ay=（≠0）。
∵点M(x,y)在双曲线上，∴= bx-ay>0, ∴双曲线的焦点在x轴上,故选C.
例2.求与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点A（-3，2）的双曲线方程。
解：设所求双曲线方程为=(≠0)。将A点坐标代入，得=，故所求双曲线方程为=，即=1
例3．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x+2y=0，且经过点P(8,6)，则其方程是___________。
解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x-2y=0。因此，所求双曲线方程可表示为(3x+2y)(3x-2y) =，即=(≠0)。将P点坐标代入，得=144，故所求双曲线方程为=144，即=1。
例4.以椭圆=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+y=0的双曲线方程是_____。
解：由=1，得c2=48，设所求双曲线方程为=(≠0)，即=1。由已知知=c2=48，故所求双曲线方程为=1。
例5.以双曲线=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x+y=0的双曲线方程是_________。
解： 由=1，得c2=80。设所求双曲线方程为=(≠0)，即=1。由已知，得+=80，∴=60,故所求双曲线方程为=1。
例6.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F(-4,0)，一条渐近线的方程是3x-2y=0，求此双曲线的方程。
解：设所求双曲线方程为=(≠0)，即=1,则+=(-4)2=16,∴=。故所求双曲线方程为=1。
例7.已知双曲线的两条渐近线方程分别为2x+y-8=0和2x-y-4=0,且以抛物线（y-2）2=-4(x-2)的焦点为一个顶点，求此双曲线的方程。
解：由已知可得双曲线的一个顶点的坐标为（1，2）。设所求双曲线的方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=(≠0)。将顶点坐标代入，得=16。故所求双曲线方程为（2x+y-8）（2x-y-4）=16。化简整理，得=1。
例8. 求以3x-4y-2=0和3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程。
解：由5y+4=0即y=-为双曲线的一条准线可知双曲线的焦点在平行于y轴的直线上。
设所求双曲线的方程为(3x-4y-2)(3x+4y-10)=(≠0)，即=1,∴c2==,∴从而有=1+,即,∴=-144,故所双曲线方程为：=1.
例9．求过点P(2,-1)且渐近线方程分别为2x+y-8=0和x-3y+4=0的双曲线方程。
解：设所求双曲线的方程为(2x+4y-8)( x-3y+4)=(≠0)，则=[2×2+4×（-1）-8][1×2-3×（-1）+4]=-72, ∴所求双曲线的方程为(2x+4y-8)(x-3y+4)=-72,即x2-6y2-xy+20y+20=0.

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