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滚动问题中的摩擦力

摘要: 滚动问题是工程力学中常见的问题,摩擦力的研究是其中的重要课题,深刻理解摩擦力的概念、摩擦力产生的原因，正确判断摩擦力的方向对分析和解决滚动问题至关重要. 分别分析了滚动物体在不受外力作用及受外力作用两种情况下,如何判断滑动摩擦力的类型及方向,最后讨论了滚动问题中滑动摩擦力的功.

关　键　词: 滚动 滑动 摩擦力

引言
在滚动问题中,物体的运动既有滑动又有转动,因此,在判断摩擦力的类型及方向时,既要考虑滑动还要考虑转动,但是接触面间的摩擦力由“阻碍接触面之间相对运动或相对运动趋势”来确定的原则是不变的.

1 物体滚动时摩擦力的产生原因
两物体相互接触并发生相对运动时，有两种基本的运动形式，即滑动和滚动.在滑动时，该物体的运动形式为平动，即运动过程中该物体内所有质点具有相同的速度和加速度，表现出相同的运动规律.在滚动时，一种情形是纯滚动，即两物体的接触点具有共同速度，若与固定面接触，则接触点速度为零，称为速度瞬心，运动过程中该物体的运动形式为绕连续变化的瞬心的转动，物体内各点的速度可按照瞬心的圆周运动来确定，这也称为相对接触点的无滑滚动；此外还有一种情形是有滑滚动，此时该物体的运动可看作绕接触点的转动与随接触点的滑动两种运动的合成.
如果这两物体的接触面是绝对的光滑的，就无需考虑两物体间的摩擦力.但在现实中，理想的完全光滑面是不存在的，因此需要分析这两物体之间的摩擦力.下面首先对接触面间的摩擦力产生进行分析.
在支持面M上作滑动的半径为R、重量为W的轮子，如图1所示，由于轮子与支持面之间的压迫作用而发生形变，使得支持面与轮子的接触部分产生了各个方向上的约束反力，这些力可以简化成一个垂直分力、一个水平分力及已个力偶.根据主动力的不同情形，这些约束反力的大小也会相应的变化，其中垂直分力即支持力N，水平分力即静摩擦力F，力偶即滚动摩擦力偶m.
（图1）

在轮子静止时，水平方向的静摩擦力满足F≤Fmax=fsN，滚动摩擦力偶满m≤mmax=N,方向与轮子的运动趋势相反，并与主动力构成静力平衡条件.其中Fmax 为最大静摩擦力，fs为静摩擦系数，mmax为最大滚动摩擦力矩，为滚动摩擦系数.静摩擦系数fs及滚动摩擦系数取决于接触面的性质，它们决定了接触面可能产生的最大静摩擦力及滚动摩擦力偶矩.
轮子在滑动时，水平方向的滑动摩擦力满足F=fN，方向与轮子的运动方向相反，滚动摩擦力偶满足m≤Mmax=N,方向与轮子的转动趋势相反，并与主动力够成动力平衡条件.其中f为动摩擦系数，不仅仅取决于接触面的性质，还与轮子的运动速度有关.
在轮子滚动时，滚动摩擦力偶的方向与轮子转动方向相反，水平方向摩擦力取决于轮子是否相对于支撑面产生滑动.如果轮子与支撑面之间没有相对滑动，则轮子作纯滚动，此时水平方向的摩擦力为静摩擦力，满足F≤Fmax=，即可能取值在0到Fmax之间，需满足动力平衡条件；如果轮子与支撑面存在相对滑动，则水平方向的摩擦力为滑动摩擦力，满足F=，其中f为动摩擦系数，不仅仅取决于接触面的性质，还与轮子的运动速度有关.此时也需满足动力平衡条件.
可见，滚动时接触面间的摩擦力是由于物体相互接触而产生的，本质上是一种约束反力，因此其方向和大小会因主动力的不同而不同，与物体的运动形式密切相关.

2 滚动问题中摩擦力的类型及方向的判断

2. 1　物体不受外力作用的滚动
如图2所示,一个轮子在地面上滚动,其质心平动速度为v,轮子转动角速度为ω,轮子在△t时间内向右平移v△t, 同时轮子的最低点将向左移动ωr△t ( △t为无限小量) 当平动和转动同时发生时, 轮子与地面的接触点A 相对于地面的滑动距离是v△t - ωr△t.
（图2）

若v△t - ωr△t > 0 (1)
则表示轮是向右运动, 轮所受的摩擦力将指向左;
若v△t - ωr△t < 0 (2)
则表示轮是向左运动, 轮所受的摩擦力将指向右;
以上两种情况下轮子做又滚又滑的滚动, 既存在滑动摩擦力也存在滚动摩擦力.
若v△t - ωr△t = 0 (3)
则表示轮子，做纯滚动,仅存在滚动摩擦力.
消去(1) 、(2) 和(3) 式中的△t,则对不受外力作用的轮子, 其滚动形式和摩擦力方向的判据可改为如下形式:
v >ωr, f与v相反,如图3所示.
（图3）
f = 0 也就是纯滚动的情况. 由以上分析可知,摩擦力总是企图调整滚动和滑动的速度,使轮子达到v =ωr的状态. s <ωr, f与v相同,如图4所示.
（图4）
v =ωr, f = 0,如图5所示.
（图5）
2.2　物体受外力作用的滚动
在很多问题中,轮子的运动情况未知,而它所受外力的情况已知, 如图6所示, 半径为R 的轮子,在离质心O的上方r处受拉力F作用而滚动,这时地面与轮子间的摩擦力如何呢?
(图6)
一般情况下轮子是由静止开始滑动和转动的,即v0 = 0,ω0 = 0,而v = a t, ω =αt, a和α分别是质心加速度和角加速度. 因此要比较v和ωR,实际上只要比较a和αR 即可.为了简单起见,在判断摩擦力的方向时,先假设没有摩擦力,再按运动定律写出质心加速度a′及转动角加速度α′
（4）
（5）
式中M 和 J分别是轮的质量和绕质心的转动惯量, (4) 、(5) 式消去F后可得:

即 （6）
若:M r R/J > 1,则:α′R > a′表示转动大于滑动,摩擦力将使转动减速,使滑动加速,故f与F是同向的,如图7所示.
(图7)

若:M r R/J < 1,则:α′R < a′表示转动小于滑动,摩擦力将使转动加速,使滑动减速,故f与F是反向的,如图8所示.
（图8）

以上两种情况下轮子做又滚又滑的滚动, 地面与轮子间既存在滑动摩擦力也存在滚动摩擦力.
从(6) 式可以看出对确定的轮子来说,M、R、J均已确定, 这样就可以找到一个r, 使M r R/J =1,则此时α′R = a′.
上述讨论中轮子的拉力在质心O 的上方, 若轮子的拉力在质心O 的下方, 由于转动和平动都使轮子与地面的接触点向前移动, 因此地面与轮子间摩擦力必然是向后的.
最后需要强调的是,上述讨论中α′和a′是在假设没有摩擦力时可能的角加速度和线加速度,在摩擦力判定以后, 求解问题列运动方程时应考虑f,这样求出的α及a才是真正的角加速度和线加速度,这个真正的α及a的正负号(表示方向)有可能与α′和a′不同.

3 物体滚动时的滚动摩擦力偶
由于滚动摩擦系数很小，所以通常在分析问题时忽略滚动摩擦力偶的作，不予考虑.
例如在某一斜面上自然搁置一个重量为W的轮子，如图9 所示若不考虑摩擦力，轮子将沿斜面向下滑动，如图9（a）所示，若仅考虑静摩擦力或滑动摩擦力，轮子将沿斜面向下作纯滚动或有滑滚动，如图9（b）所示，若轮子在斜面上某一位置静止，则必然是静摩擦力与滚动摩阻力偶共同作用的结果，如图9（c）所示.

(图9)

4　滚动问题中滑动摩擦力的功

4. 1　物体做纯滚动的运动
由上述讨论知,轮子在不受外力作用,或虽受外力作用但M r R/J = 1时, 最终所做的滚动是纯滚动,其滑动摩擦力为零,则做功也为零.
轮子虽受外力作用但仍然做纯滚动, 此时所受摩擦力是静摩擦力. 如图10所示, O 是轮子的圆心, F是外力, f是出现于轮与地面接触点A的静摩擦力.
(图10)
f 对轮子做的功如何?平移f的作用点到质量中心O,设质量中心位移为s,则f对轮子做的功为- f s,同时f对O点的转矩为f r,这个转矩在转动过程中也做功,若转动的角度为θ, 则转矩做的功为f rθ. 由于是纯滚动,θ = s / r必成立,则f rθ = f s. 因此平动的负功- f s和转动的正功f rθ相加结果为零
.
4. 2　物体做又滚又滑的运动
由上述分析知, 滚动的轮子无论是否受外力,初期的运动都是又滚又滑的情况.
当轮子质心的平动速度大于滚动速度, 即v>ωr,此时s > rθ,如图3和图8所示. 由于f·s >f rθ,即f做的负功数值大于转动力矩做的正功数值. 摩擦力对轮子做的总功为- f s + f rθ,这个功将使轮子的动能减少. 若s′= rθ表示轮子转θ角时质心应该滚过的距离, s - s′表示轮子相对滑动的距离,则总功可以表示为- f ( s - s′) ,因此,轮子在有滑动的情况下,摩擦力将对轮子做负功,数值是相对滑动的距离与摩擦力的乘积, 系统的总耗散功也正是这个数值.
当轮子质心的平动速度小于滚动速度, 即v<ωr ,此时s < rθ, 如图4和图7所示. 上述的结论依然正确.

4. 3　物体在原地滚动
作为极端情况,当轮子只转而质心不平动,这时相对滑动的距离就是rθ, 摩擦力的功是- f rθ.

参考文献:
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