七年级下册二元一次方程组数学试题及解析(一)解析.doc

一、选择题
1．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（　　）人．

A．38 B．40 C．42 D．45
2．甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（ ）
A．40 B．41 C．45 D．46
4．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲正确地解得乙看错了方程②中的系数c，解得，则的值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒斗，斗酒斗，可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知x＝2，y＝1是方程ax﹣y＝7的一个解，那么a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
7．如图，周长为34的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）

A．60 B．52 C．70 D．66
8．已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论a取什么实数，的值始终不变；
④若用x表示y，则；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．已知点的坐标满足二元一次方程组，则点P所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
11．某食品公司为迎接端午节，特别推出三种新品粽子，分别是鲍鱼粽、水果粽、香芋粽，并包装成甲、乙两种盒装礼盒．每盒礼盒的总成本是盒中鲍鱼粽、水果粽、香芋粽三种粽子的成本之和（盒子成本忽略不计）．甲礼盒每盒装有个鲍鱼粽、个水果粽和个香芋粽；乙礼盒每盒装有个鲍鱼粽、个水果粽和个香芋粽．每盒甲礼盒的成本正好是个鲍鱼粽成本的倍，而每盒甲礼盒的售价是在甲礼盒成本的基础上增加了．每盒乙礼盒的利润率为．当该公司销售这两种盒装礼盒的总利润为，且销售甲礼盒的总利润是元时，这两种礼盒的总销售额是________元．
12．三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品．则先生C购买的商品数量是________．
13．若方程组的解适合x+y=2，则k的值为_____．
14．一个两位数的数字和为14，若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36，则这个两位数是_____．
15．关于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非负整数解有______组．
16．关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，当m______时，是一元一次方程；关于的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，当m______时，它是二元一次方程．
17．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为560米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是__________米．

18．已知a，b满足方程组，则a-b的值为________．
19．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示）

20．关于，的方程组的解是，则的平方根是______．
三、解答题
21．对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
22．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．
（1）分别判断87和12，62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由；
（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，求出满足题意的s．
23．对于不为0的一位数和一个两位数，将数放置于两位数之前，或者将数放置于两位数的十位数字与个位数字之间就可以得到两个新的三位数，将较大三位数减去较小三位数的差与15的商记为．例如：当，时，可以得到168，618．较大三位数减去较小三位数的差为，而，所以．
（1）计算：．
（2）若是一位数，是两位数，的十位数字为（，为自然数），个位数字为8，当时，求出所有可能的，的值．
24．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，若BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠ABE的度数．
25．如图①，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，直线OC上所有的点坐标，都是二元一次方程的解，直线AC上所有的点坐标，都是二元一次方程的解，过C作x轴的平行线，交y轴与点B．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图②，点M、N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N从点O以每秒1．5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，且0＜t＜4，试比较四边形MNAC的面积与四边形MNOB的面积的大小．

26．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．

（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；
（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系．
27．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为　 　千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是：　 　小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
28．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：

甲型机器
乙型机器
价格（万元/台）
a
b
产量（吨/月）
240
180

经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元．
（1） 求a、b的值；
（2） 若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？
（3） 在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一 种最省钱的购买方案．
29．如图，和的度数满足方程组，且，．
（1）用解方程的方法求和的度数；
（2）求的度数．

30．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，回答下列问题：
（1）可得到下列哪一个方程组？
A． B．
C． D．
（2）解所确定的方程组，求这两个两位数．

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一、选择题

1．A
解析：A
【分析】
根据题意，分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
【详解】
解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【点睛】
考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是了解题意，根据数量关系列出方程组，即可求出结果．
2．A
解析：A
【详解】
根据题意可得，顺水速度为：，逆水速度为：，所以根据所走的路程可列方程组为，故选A．
3．B
解析：B
【分析】
根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可．
【详解】
解：∵，，，
∴
解得：
∴=41
故选B．
【点睛】
此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
将x=2，y=﹣1代入方程组中，得到关于a与b的二元一次方程与c的值，将x=3，y=1代入方程组中的第一个方程中得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a，b及c的值．
【详解】
把代入得：，解得：c=4，把代入得：3a+b=5，联立得：，解得：，则（a+b+c）2=（2﹣1+4）2=25．
故选B．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．B
解析：B
【分析】
设能买醇酒斗，行酒斗，利用总价单价数量，结合用30钱共买2斗酒，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
解：设能买醇酒斗，行酒斗．
买2斗酒，
；
醇酒1斗，价格50钱；行酒1斗，价格10钱，且共花费30钱，
．
联立两方程组成方程组．
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
6．D
解析：D
【分析】
把x＝2，y＝1代入方程ax﹣y＝7，得出方程2a﹣1＝7，再求出方程的解即可得到答案．
【详解】
∵x＝2，y＝1是方程ax﹣y＝7的一个解
∴2a﹣1＝7
解得：a＝4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、一元一次方程的性质，从而完成求解．
7．C
解析：C
【分析】
设小长方形的长、宽分别为x、y，根据周长为34的矩形ABCD，可以列出方程3x＋y＝17；根据图示可以列出方程2x＝5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD的面积．
【详解】
解：设小长方形的长、宽分别为x、y，
依题意得： ，
解得：，
则矩形ABCD的面积为7×2×5＝70．
故选：C．
【点睛】
考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，首先会根据图示找到所需要的数量关系，然后利用这些关系列出方程组解决问题．
8．C
解析：C
【分析】
先求出第二个方程组的解为，再代入方程组得出，再求出方程组的解即可．
【详解】
解：解方程组
得：，
∵方程组与方程组的解相同，
∴把代入方程组
得：，
解得：，
故选：C
【点睛】
本题考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，理解方程组的解的意义并正确解二元一次方程组是解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，
【详解】
解：关于x，y的二元一次方程组，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组，解得，，
∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x-y＝3（4-x-3y），
即；，
因此④是正确的，
故选：C．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
解方程组求出、的值，再根据各象限内点的坐标特征即可得到答案．
【详解】
解：，
①得：③，
②③得：，
，
把代入①得：，
，
方程组的解为，
点的坐标为，
点在第二象限，
故选：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，各象限内点的坐标特征，正确求出方程组的解是解决本题的关键．
二、填空题

11．37200
【分析】
设设1个鲍鱼粽的成本为a元，1个水果粽的成本为b元，1个香芋粽的成本为c元，分别表示出A、B礼盒的总成本和总利润，通过题干的已知条件找到等量关系列出方程即可进行求解．
【详解】
解析：37200
【分析】
设设1个鲍鱼粽的成本为a元，1个水果粽的成本为b元，1个香芋粽的成本为c元，分别表示出A、B礼盒的总成本和总利润，通过题干的已知条件找到等量关系列出方程即可进行求解．
【详解】
解：设1个鲍鱼粽的成本为a元，1个水果粽的成本为b元，1个香芋粽的成本为c元，
则每盒甲礼盒的成本为（3a+2b+2c）元，每盒乙礼盒的成本为（a+4b+4c）元，
∵每盒甲礼盒的成本正好是个鲍鱼粽成本的倍，
∴3a+2b+2c=a，
∴4b+4c=5a，
∴a+4b+4c=6a，
∵每盒甲礼盒的售价是在甲礼盒成本的基础上增加了．
∴每盒甲礼盒的售价为：（1+）a=7a，
∵每盒乙礼盒的利润率为
∴每盒乙礼盒的售价为：(1+)6a=7.2a，
设销售甲礼盒m个，乙礼盒n个，
∵销售甲礼盒的总利润是元
∴（7a-5.5a）m=4500，∴am=3000；
∵销售这两种盒装礼盒的总利润为，
∴4500+（7.2a-6a）n=
∴an=2250，
∴两种礼盒的总销售额=7am+7.2an=7×3000+7.2×2250=37200（元）
故答案为：37200元
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，学会利用已知条件进行相互转化是解本题的关键，综合性较强，有一定难度．
12．7件．
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y
解析：7件．
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合x-y=9和x-y=7的情况即可进行解答．
【详解】
解：设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品．
则有x2-y2=48，即（x十y）（x-y）=48．
∵x、y都是正整数，且x+y与x-y有相同的奇偶性，
又∵x+y＞x-y，48=24×2=12×4=8×6，
∴或或．
解得x=13，y=11或x=8，y=4或x=7，y=1．
符合x-y=9的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件．
同时符合x-y=7的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件．
∴C买了7件，c买了11件．
故答案为：7件．
【点睛】
此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．
13．3
【详解】
分析：根据等式的性质,可得关于k的方程,根据解方程,可得答案.
详解：两式相加,得 
3(x+y)=3k-3, 由x+y=2, 得 3k-3=6, 
计算得出k=3, 
故答案为3.
解析：3
【详解】
分析：根据等式的性质,可得关于k的方程,根据解方程,可得答案.
详解：两式相加,得 
3(x+y)=3k-3, 由x+y=2, 得 3k-3=6, 
计算得出k=3, 
故答案为3.
点睛：本题考查了二元一次方程组的解，利用等式的性质得出3(x+y)=3k-3是解答本题的关键.
14．95
【详解】
设十位数字为x，个位数字为y，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知
解析：95
【详解】
设十位数字为x，个位数字为y，根据题意所述的等量关系可得出方程组，求解即可得，即这个两位数为95．
故答案为95.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，注意掌握二位数的表示方法．
15．3
【分析】
把x看做已知数表示出y，确定出非负整数x与y的值即．
【详解】
解：方程2x+3y=12，
解得：y=-x+4，
当x=0时，方程变形为3y=12，解得y=4；
当x=3时，方程变形为
解析：3
【分析】
把x看做已知数表示出y，确定出非负整数x与y的值即．
【详解】
解：方程2x+3y=12，
解得：y=-x+4，
当x=0时，方程变形为3y=12，解得y=4；
当x=3时，方程变形为6+3y=12，解得y=2；
当x=6时，方程变形为12+3y=12，解得y=0；
∴关于x，y的二元一次方程2x+3y=12的非负整数解有3组：、和．
故答案为3
【点睛】
此题考查了二元一次方程的解，用x表示出y是解本题的关键．
16．＝﹣2 ＝2
【分析】
根据一元一次方程的定义可得m2﹣4＝0且m+2＝0，且m+1≠0，即可得m的值；根据二元一次方程的定义可得m2﹣4＝0且m+2≠0，m+1≠0，解可得m的值．
解析：＝﹣2 ＝2
【分析】
根据一元一次方程的定义可得m2﹣4＝0且m+2＝0，且m+1≠0，即可得m的值；根据二元一次方程的定义可得m2﹣4＝0且m+2≠0，m+1≠0，解可得m的值．
【详解】
解：∵关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，是一元一次方程，
∴m2﹣4＝0且m+2＝0，且m+1≠0，
解得：m＝﹣2；
∵关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，是二元一次方程，
∴m2﹣4＝0且m+2≠0，m+1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：＝﹣2；＝2．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程和一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
17．240
【分析】
根据题意列出二元一次方程组求解即可；
【详解】
设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，
依题意可得：，
解得：，
∴（米）；
故答案是：240．
【点睛】
本题主要考查了二元一次
解析：240
【分析】
根据题意列出二元一次方程组求解即可；
【详解】
设每一块小矩形牧场的长为x米，宽为y米，
依题意可得：，
解得：，
∴（米）；
故答案是：240．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
18．-2
【分析】
把方程组中的两个方程相减即可得解；
【详解】
∵，
∴①-②得：；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键．
解析：-2
【分析】
把方程组中的两个方程相减即可得解；
【详解】
∵，
∴①-②得：；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，准确计算是解题的关键．
19．【分析】
设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差
【详解】
设图③中的小长方形的长和宽分别为：
解析：
【分析】
设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差
【详解】
设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为
由图①可知
解得：
由图②可知：
设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为

故答案为 ：
【点睛】
本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减，用含的代数式表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
20．±4
【分析】
将方程组的解代入方程组中求出a、b的值，然后代入代数式中求解即可．
【详解】
解：将代入方程组，得：，
解得：，
∴=6×3﹣2=16，
∴的平方根是±4，
故答案为：±4．
【点睛
解析：±4
【分析】
将方程组的解代入方程组中求出a、b的值，然后代入代数式中求解即可．
【详解】
解：将代入方程组，得：，
解得：，
∴=6×3﹣2=16，
∴的平方根是±4，
故答案为：±4．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、代数式求值、平方根，理解方程组的解，正确求出a、b值和平方根是解答的关键．
三、解答题

21．（1）x=1，y=1；（2）；（3）或或或或或
【分析】
（1）根据新运算定义建立方程组，解方程组即可得出答案；
（2）应用新运算定义建立方程组，解关于、的方程组可得，进而得出，再运用不等式性质即可得出答案；
（3）根据题意得，由平移可得，根据点落在坐标轴上，且，分类讨论即可．
【详解】
解：（1）根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【点睛】
本题考查了新运算定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算定义是解题关键．
22．（1）87和12是“黄金搭档数”，62和49不是“黄金搭档数”，理由见解析；（2）39或38
【分析】
（1）根据“黄金搭档数”的定义分别判断即可；
（2）由已知设x，y为整数， x，z为整数，表示出，由s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，综合分析，列出方程组求解即可．
【详解】
（1）解：∵
∴87和12是一对“黄金搭档数”；
∵
∴111与62，49数位不相同，
∴62和49不是一对“黄金搭档数”；
故87和12是一对“黄金搭档数”，62和49不是一对“黄金搭档数”；
（2）∵两位数s和两位数t的十位数字相同，
∴设x，y为整数，
x，z为整数，
∴
∵s和t是一对“黄金搭档数”，
∴是一个两位数，且各个数位上的数相同，
又∵s与t的和能被7整除，
∴，
共有两种情况：
①，
解得，
∵x为整数，
∴不合题意，舍去；
②，
∵都是整数，且
∴解得或，
故s为39或38．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的整数解，解题关键是理解题目中的定义，根据已知条件列出方程组．
23．(1) =6；(2)a=3，b=78或a=7，b=78.
【分析】
(1) =(217-127)÷15=6；
(2)分1≤a＜5，a=5，5＜a≤9三种情形讨论计算.
【详解】
(1) 当，时，可以得到217，127．较大三位数减去较小三位数的差为，而，
∴．
(2)当，时，可以得a50，5a0．三位数分别为100a+50,500+10a，
当1≤a＜5时，（500+10a）-（100a+50）=450-90a，而，
∴=，
∴=；
当a=5时，（500+10a）-（100a+50）=0，而，
∴=0，
∴=0；
当5＜a≤9时，（100a+50）-（500+10a）=90a-450，而，
∴=，
∴=a-5；
当，时，可以得900+10x+8，100x+98．
∵，
∴（900+10x+8）-（100x+98）=810-90x，而，
∴=，，
∴=；
当1≤a＜5时，5-a+27-3x=8,
∴a+3x=24,
∴当a=1时，x=（舍去），当a=2时，x=（舍去），
当a=3时，x=7，当a=4时，x=（舍去），
∴a=3，b=78；
当a=5时，则27-3x=8,
∴x=（舍去），
当5＜a≤9时，则a-5+27-3x=8,
∴3x-a=14,
∴当a=6时，x=（舍去），当a=7时，x=7，
当a=8时，x=（舍去），当a=9时，x=（舍去），
∴a=7，b=78；
综上所述，a=3，b=78或a=7，b=78.
【点睛】
本题考查了新定义问题和二元一次方程的整数解，准确理解新定义的意义，灵活运用分类思想和枚举法是解题的关键.
24．（1）∠C+∠BAD=90°，理由见解析；（2）9°
【分析】
（1）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C，可得∠C+∠BAD=90°；
（2）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=9°．
【详解】
解：（1）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴∠ABD+∠BAD=90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C，
∴∠C+∠BAD=90°；

（2）如图3，过点B作BG∥DM，
BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（1）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=5∠DBE=5α，
∴∠AFC=5α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=5α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=9°，
∴∠ABE=9°．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
25．（1），，；（2）见解析．
【分析】
（1）令中的 ，求出相应的x的值，即可得到A的坐标，将方程和方程联立成方程组，解方程组即可得到C的坐标，进而可得到B的坐标；
（2）分别利用梯形的面积公式表示出四边形MNAC的面积与四边形MNOB的面积，然后根据t的范围，分情况讨论即可．
【详解】
（1）令，则，解得，
．
解得
．
轴，
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相同，
；
（2），，，
．
∵点M从点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N从点O以每秒1.5个单位长度的速度向右运动，
，
，
，
．
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程及方程组的应用，数形结合并分情况讨论是解题的关键．
26．（1）；（2）；（3）与之间的数量关系为．
【分析】
（1）根据非负数的性质和解二元一次方程组求解即可；
（2）设，先根据平移的性质可得，过D作轴于P，再根据三角形ADP的面积得出，从而可得，然后根据线段的和差可得，由此即可得出答案；
（3）设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ，设，由平行线的性质可得，由此即可得出结论．
【详解】
（1）∵，且
∴
解得：
则；
（2）设
∵将线段AB平移得到CD，
∴由平移的性质得
如图1，过D作轴于P
∴
∵
∴
即
解得
∴
∴；

（3）与之间的数量关系为，求解过程如下：
如图2，设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ
∵HD平分，HF平分
∴设
∵AB平移得到CD
∴
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴．

【点睛】
本题属于一道较难的综合题，考查了解二元一次方程组、平移的性质、平行线的性质等知识点，较难的是题（3），通过作两条辅助线，构造平行线，从而利用平行线的性质是解题关键．
27．（1）2（a+b）；（2）（2+）；（2+）；（3）36.
【分析】
（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；
（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】
（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．
故答案为：2（a+b）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了千米，乙已经走了千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需小时到达B地，乙还需小时到达A地，
所以甲从A到B所用的时间为（2+ ）小时，乙从B到A所用的时间为（2+）小时．
故答案为：（2+）；（2+）．
（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝小时．
依题意，得： ，
令x＝a+b，则原方程变形为，
解得：．
答：AB两地的距离为36千米．
【点睛】
本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28．（1）；（2）有 4 种方案：3 台甲种机器，7 台乙种机器；2 台甲种机器，8 台乙种机器；1 台甲种机器，9 台乙种机器；
10 台乙种机器. （3）最省钱的方案是购买 2 台甲种机器，8 台乙种机器.
【分析】
（1）根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元这一条件建立一元二次方程组求解即可,（2）设买了x台甲种机器,根据该公司购买新机器的资金不超过216万元，建立一次不等式求解即可,（3）将两种机器生产的产量相加,使总产量不低于1890吨，求出x的取值范围,再分别求出对应的成本即可解题.
【详解】
（1）解：由题意得,
解得，；
（2）解：设买了x台甲种机器
由题意得:30＋18(10－x)≤216
解得：x≤3
∵x为非负整数
∴x＝0、1、2、3
∴有 4 种方案：
3 台甲种机器，7 台乙种机器；
2 台甲种机器，8 台乙种机器；
1 台甲种机器，9 台乙种机器；
10 台乙种机器.
（3）解：由题意得：240＋180（10－x）≥1890
解得：x≥1.5
∴1.5≤x≤ 3
∴整数 x＝2 或 3
当 x＝2 时购买费用＝30×2＋18×8＝204(元)
当 x＝3 时购买费用＝30×3＋18×7＝216(元)
∴最省钱的方案是购买 2 台甲种机器，8 台乙种机器.
【点睛】
本题考查了利润的实际应用,二元一次方程租的实际应用,一元一次不等式的实际应用,难度较大,认真审题,找到等量关系和不等关系并建立方程组和不等式组是解题关键.
29．（1），；（2）
【分析】
（1）把和当做未知数，利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先证明AB∥EF，则可以得到CD∥AB，∠C+∠CAB=180°，求出∠CAB的度数即可求解．
【详解】
解：（1）
用② +①得：，解得，
把代入① 解得；
（2）∵
∴AB∥EF，
∵，
∴CD∥AB，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠CAB=∠EAC+∠BAE，AC⊥AE，
∴∠CAE=90°，
∴∠CAB=140°
∴40°．

【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，解二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
30．（1）C；（2）39和29
【分析】
（1）首先设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】
解：（1）解：设较大的两位数为，较小的两位数为，
根据题意，得
故选：C；
（2）化简
得，
①＋②，得，即．
①－②，得，即．
所以这两个数分别是39和29．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和解二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出“较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数为”，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数为