EBL-代数上的赋值态和具有量词的EBL-代数.pdf

第 卷第期 年月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t yo fA r t sa n dS c i e n c e(N a t u r a lS c i e n c e s)V o l N o J u l 收稿日期:作者简介:张梦雅(),女,河南郑州人,在读硕士,研究方向为非经典逻辑 E m a i l:q q c o m通信作者:左卫兵(),男,河南内黄人,教授,博士生导师,研究方向为非经典逻辑 E m a i l:z u o w e i b i n gn c w u e d u c n文章编号:()E B L 代数上的赋值态和具有量词的E B L 代数张梦雅,刘心如,左卫兵(华北水利水电大学 数学与统计学院,河南 郑州 ;华北水利水电大学 教务处,河南 郑州 )摘要:态理论在多值逻辑及其相关代数的研究中有着重要的作用在E B L 代数上引入赋值态的概念,给出赋值态的性质和等价刻画;从滤子和商代数的角度讨论了赋值态与B o s b a c h态、极值B o s b a c h态之间的关系;提出了具有量词的E B L 代数,并研究了其相关性质关键词:E B L 代数;赋值态;E B L Q 代数;B o s b a c h态中图分类号:O 文献标志码:AS t a t e m o r p h i s mo nE B L a l g e b r a sa n dE B L a l g e b r a sw i t hQ u a n t i f i e rZHANG M e n g y a,L I UX i n r u,Z U O W e i b i n g(C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t yo fW a t e rR e s o u r c e sa n dE l e c t r i cP o w e r,Z h e n g z h o u ,C h i n a;D e a nso f f i c e,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t yo fW a t e rR e s o u r c e sa n dE l e c t r i cP o w e r,Z h e n g z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:S t a t e t h e o r yp l a y sa n i m p o r t a n t r o l e i nt h es t u d yo fm u l t i v a l u e d l o g i ca n d i t s r e l a t e da l g e b r a s T h ec o n c e p to f s t a t e m o r p h i s mi s i n t r o d u c e d i nE B L a l g e b r a s,i t sp r o p e r t i e sa n de q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o na r e i n v e s t i g a t e d,a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns t a t e m o r p h i s ma n dB o s b a c hs t a t ea n de x t r e m a lB o s b a c hs t a t e i sd i s c u s s e d f r o mt h ep e r s p e c t i v eo f f i l t e r s a n dq u o t i e n ta l g e b r a s I na d d i t i o n,t h eE B L a l g e b r a sw i t hq u a n t i f i e ri si n t r o d u c e da n di t sr e l a t e dp r o p e r t i e sa r es t u d i e d K e yw o r d s:E B L a l g e b r a;s t a t e m o r p h i s m;E B L Q a l g e b r a;B o s b a c hs t a t e0引言作为B L 代数的无界推广,文献 给出了E B L 代数的概念事实上,B L 代数等价于有最大元的E B L 代数对于E B L 代数中的任意幂等元a,b,且ab,则a,b 可构成B L 代数若xax,则E B L 代数退化为EMV 代数为了表示L u k a s i e w i c z逻辑系统中命题的真值平均度,M u n d i c i首次引入了MV 代数上的态的概念G e o r g e s c u在伪B L 代数上提出B o s b a c h态和赋值态的概念,研究了它们的性质以及等价刻画,并得到了伪B L 代数上赋值态均是B o s b a c h态等结论此后众多学者致力于各种逻辑代数中态理论的研究K o n d o将赋值态的概念推广到有界可交换的剩余格中,讨论了赋值态与B o s b a c h态、极值B o s b a c h态之间的关系目前,赋值态的理论研究在剩余格等逻辑代数中取得了诸多深刻且重要的结论 文献 提出了具有量词的EMV 代数,给出了EMVQ 代数的例子,并对其性质进行了研究在此背景下,本文在E B L 代数上提出赋值态的概念,研究其性质以及等价刻画,给出了E B L 代数上的B o s b a c h态成为赋值态的充要条件,证明了E B L 代数上的B o s b a c h态s是极值B o s b a c h态当且仅当s是赋值态,并对E B L Q 代数进行了研究1预备知识定义称(,)型代数(A,)为B L 代数,若以下条件成立:()(A,)是有界格;()(A,)是交换幺半群;()对任意的x,y,zA,xyzxyz;()对任意的x,yA,xyx(xy);()对任意的x,yA,(xy)(yx)命题,设A是B L 代数,则对任意的x,y,zA,有以下性质成立:()xx;xy当且仅当xy;()xy蕴涵xyxy;()xx;xx;xy蕴涵yx;xx;()(xy)xyyx;()(xy)xy;(xy)xy设(A,)是一个半群,对任意的aA,若aaa,则称元素a为幂等元用I(A)表示A上所有幂等元的集合定义称(,)型代数(A,)为E B L 代数,若以下条件成立:()(A,)是最小元为的分配格;()(A,)是交换半群,是中性元;()对任意的a,bI(A)且ab,则对任意的x,ya,b,元素xa,byza,b|xzy存在,且(a,b,a,b,a,b)是B L 代数;()(A,)有足够的幂等元,即对任意的xA,存在aI(A),使得xa在以下叙述中,将,b简记为b在E B L 代数A中,作以下规定:对任意的x,yA,任意的aI(A),且x,ya,da(x,y)(xay)(yax),xaxa,xa(xa)a,xy(xaya)a,xnx x n称使得xm 的最小自然数m为x的阶,记为o r d(x),若这样的自然数不存在,则记o r d(x)命题设A是E B L 代数,则对任意的a,bI(A),且ab,对任意的x,y,a,有以下性质成立:()xay(xby)a;()xby(xay)(ab)定义设A是E B L 代数,且MA,称M为A的E B L 子代数,若以下条件成立:()对任意的aMI(A),M对运算,是封闭的,集合,aM:,aM是B L代数(,a,a,a)的子代数;()对任意的xM,存在bMI(A),使得xb定义设A是E B L 代数,若对任意的xA,对任意的aI(A),且xa,o r d(x),则称E B L 代数A是局部有限的命题设A是E B L 代数,对任意的xA,对任意的aI(A),且xa,若xax,则A为EMV 代数,其中称x为对合元定理局部有限的E B L 代数是EMV 代数证明设A是局部有限的E B L 代数,由命题可知,只需要证明A是对合的对任意的xA,aI(A),且xa,则在B L 代数(,a,a,a)中,若x,显然xax;若x,则由命题()可知xxa,xaxa,因为E B L 代数是可分的,所以存在yA,使得xxay,由 命 题()可 知xa(xay)ayaxa,那么对任一n N,有xaynaxa,所以由局部有限性可知ya,因此xax定义设F是E B L 代数A的非空子集,若F满足以下条件:()对任意的x,yA,若xy且xF,则yF;()若x,yF,则xyF,则称F为A的滤子若FA,则称滤子F为真滤子若当xyF时,有xF或yF,则称滤子F是素滤子若对任意的xAF,Fx A,则称滤子F为极大滤子命题设F是E B L 代数A的非空子集,则兰州文理学院学报(自然科学版)第 卷F是滤子与以下结论等价:()对任意的aI(A),存在xA,且xa,有aF;()对任意的aI(A),若x,xayF,则yF命题设F是E B L 代数A中的真滤子,则:()对任意的xA,Fx zA|zyxn,nN,yF;()F是极大滤子当且仅当对任意的xF,存在nN,bI(A)且xb,使得xnbF,即(xn)bF命题 E B L 代数上的任意一个极大滤子都是素滤子定义称E B L 代数A上的一个等价关系为同余关系,若满足以下条件:()对于运算,是封闭的;()对任意的aI(A),(,a,a)是B L 代数(,a,a,a)上的同余关系定理设F是E B L 代数A中的滤子,定义关系F:(x,y)F当且仅当存在aI(A),使得x,ya,xayF,yaxF,则:()F是A上 的 同 余 关 系,从 而 商 代 数(A/F,)是E B L 代数,其中A/FA/F,xFyFxyF,a;()F是极大滤子当且仅当A/F是EMV 代数证明()与文献 命题 类似,略()必要性:设F是极大的,任取xF,由命题()可知,存在自然数n N,使得(xn)aF,因此(xn,)F,这说明xnxn,所以由()可知A/F是局部有限的E B L 代数,再由定理得A/F是E MV 代数充分性:假设G是A中的滤子,且FG,任取xGF,则x,且存在n N,使得xn,所 以(xn)aF,因此由命题()可得F是极大滤子2EBL代数上的赋值态命题 设A是E B L 代数,s:A,为映射,对任意的x,yA,aI(A),且x,ya,则以下各式等价:()s(a)s(xy)s(xy)s(da(x,y);()s(a)s(xy)s(x)s(xay);()s(x)s(xay)s(y)s(yax)定义 设A是E B L 代数,s为从A到,的映射,s(),若存在xA,使得s(x),且s满足命题中的等价条件,则称s为A上的B o s b a c h态设s是E B L 代数A上的B o s b a c h态,对任意的(,),任意的B o s b a c h态s,sA,若s s()s蕴涵sss,则称s为A上的极值B o s b a c h态命题 设s是E B L 代 数A上 的B o s b a c h态,则对任意的x,y,zA,对任意的aI(A),且x,y,za,有以下性质成立:()s(xa)s(a)s(x);()s(xay)s(yax)s(x)s(y);()若xy,则s(x)s(a)s(y)s(yax);()若xy,则s(x)s(y);()K e r(s)xA|s(x)是A中的真滤子设,L表示标准MV代数(,L,L,),其中xy m a xx,y,xym i nx,y,xLy m a xxy,xLym i nxy,xLy m i nxy,定义设A是E B L 代数,L是标准MV 代数,称映射:A,L为A上的赋值态,若对任意的x,yA,对任意的aI(A),且x,ya,()(xay)(x)L(y);()(xy)m i n(x),(y);()(),且存在xA,使得(x)例设A,a,b,c,其中ab,c,bc,且b,c是不可比的,定义,运算如下:a b c aa a c aba b a bca a c c a b c,a b c a baccb b a b c则(A,)是B L代数,所以(A,)是E B L代数若映射:A第期张梦雅等:E B L 代数上的赋值态和具有量词的E B L 代数,L满足:(),(a),(b),(c),(),且由命题()可知bcbc,则有(bc)(a)m i n(b),(c),所以由定义验证可得是A上的赋值态命题设,是E B L 代数A上的赋值态,则对任意的x,yA,对任意的aI(A),且x,ya,有以下性质成立:()是A上的B o s b a c h态;()(xy)(x)L(y);()(xy)m a x(x),(y);()若s(),则s是A上的B o s b a c h态证明()任取x,yA,则有(x)(xay)(x)(x)L(y)(x)m i n(x)(y),m i n(y),(x),同理可得(y)(yax)m i n(x),(y),所以有(x)(xay)(y)(yax),因此由定义可知是A上的B o s b a c h态()由()可知,是A上的B o s b a c h态,所以对任意的x,yA,存在aI(A),使得x,ya,且(a),则在B L 代数(,a,a,a)中,由 命 题()及 命 题()可 知,(xy)(a)(xaya)(x)L(ya)m i n(x)(ya),m a x(x)(y),(x)L(y)()在B L 代数(,a,a,a)中,由命题()及命题()可得(xy)(a)(xy)a)(a)(xaya)(a)m i n(a)(x),(a)(y)m a x(x),(y)()由()可知,s(x)s(xay)(x)()(x)(xay)()(xay)(y)(yax)()(y)(yax)s(y)s(yax),所以s是A上的B o s b a c h态定理设s是E B L 代数A上的B o s b a c h态,则以下各条件等价:()s是赋值态;()s(xy)m i ns(x),s(y);()K e r(s)xA|s(x)是A中的极大滤子证明先证()()必要性显然,只需证明充分性设s是B o s b a c h态,则有s(),且对任意的x,yA,存在aI(A),且使得s(a)由命题()可知,s(xay)s(a)s(x)s(xy)s(x)m i ns(x),s(y)m i n,s(x)s(y)s(x)Ls(y),因此由定义可得s是赋值态再证()()必要性:对任意的xA,对任意的aI(A),且xa,由命题()可知K e r(s)是A的滤子,只需要证明K e r(s)是极大的取x K e r(s),则有s(x)由于,L是局部有限的,则存在nN,使得(s(x)ns(xn),从而有s(xn)a)s(a)s(xn)s(xn),所以(xn)a K e r(s),因此由命题()可得K e r(s)是A中的极大滤子充分性:设s是A上的B o s b a c h态,则对任意的x,yA,存在aI(A),且x,ya,使得s(a)由命题()可得s(xay)s(a)s(xy)s(x)s(xy)s(x)s(x)s(y)s(x)m i ns(x),s(y)s(x)m i n,s(y)s(x)s(x)Ls(y),即s(xay)s(x)Ls(y)因为K e r(s)是A中的极大滤子,所以由定理可知K e r(s)是素滤子,由此可假设(xay)(yax)K e r(s),则 有xayK e r(s)或yax K e r(s)若xayK e r(s),则 有s(xay),s(x)Ls(y)m i ns(x)s(y),s(xay),所以s(x)s(y)由命题()可知,s(a)s(xy)s(x)s(xay),因此有s(xy)s(x)s(x)s(y)若yax K e r(s),同理可得s(yx)s(y)s(y)s(x),综上可得s(xy)s(x)s(y),因此由定义可知s是A上的赋值态定理设,是E B L 代数A上的赋值态,则K e r()K e r(),当且仅当证明充分性显然,只需要证明必要性设FK e r()K e r(),由定理知K e r(),K e r()是极大滤子若xF,则有(x)(x)若xF,因为F是极大的,所以由命题()可 知,xaF,因 此 有(xa)(xa)(x)(x)(x)(x),即定理设s是E B L 代数A上的B o s b a c h态,则s是极值B o s b a c h态当且仅当s是赋值态证明先证充分性:设s是赋值态,s,s是兰州文理学院学报(自然科学版)第 卷A上的B o s b a c h态,有s s()s成立,其中(,)则 有K e r(s)K e r(s)K e r(s),所 以K e r(s)K e r(s),K e r(s)K e r(s)由命题()可知K e r(s)和K e r(s)是真滤子,以及由定理可知K e r(s)是极大滤子,因此有K e r(s)K e r(s)K e r(s)又由定理可得s,s是赋值态,所以由定理可得sss,因此s是极值B o s b a c h态再证必要性:设s是A上的极值B o s b a c h态,定义s:A/K e r(s),为s(x/K e r(s)s(x),xA先 证s是A/K e r(s)上 的 极 值B o s b a c h态,设m,m是A/K e r(s)上 的B o s b a c h态,(,),有s m()m成立,则A上存在B o s b a c h态s,s,使得s(x)m(x),s(x)m(x)由s是极值B o s b a c h态可知,s s()s蕴涵sss,则有smm,于是有s是A/K e r(s)上的极值B o s b a c h态,所以由文献 可得s是A/K e r(s)上的赋值态,因此s是A上的赋值态3具有量词的 EBL代数文献 提出了具有量词的EMV 代数,并给出了相关性质本文将其推广到E B L 代数中,对E B L Q 代数进行研究定义设A是E B L 代数,且:AA是一元运算,若对任意的x,yA,对任意的aI(A),且x,ya,()x x;()(xy)x y;()(x)a)(x)a;()(xy)xy则称(A,)为具有量词的E B L 代数(简称E B L Q 代数)例设A,a,b,c,其中abc,定义,运算如下:a b c a a a aba b b bca b c c a b c,a b c a a babca b c a b c则(A,)是B L 代数,所以(A,)是E B L 代数若一元运算:AA满足:,aa,b,则由定义可验证(A,)是E B L Q 代数命题 设(A,)是E B L Q 代数,则对任意的x,yA,对任意的aI(A),且x,ya,有以下性质成立:()xyx y;(),aa;()(x)x;()x yx y;()(xy)xy;()x y(x y);()(xy)x y;()(x)a(xa);()若对任意的bI(A),且ab,则(x)b)(x)aab;()(x(y)a)a(x(y)a)a)证明()假设xy,则由定义()可知,y(xy)x y,所以x y()由定义()可知,(x)ax)(x)ax)(x)ax(a)()a)()aaa()由()及 定 义()可 得,(x)(xa)(xa)xaxax()必要性:因为x y,所以由()与()可知x(y)y充分性:因为xy,所以由定义()可知x x y()由定义()可知x x,y y,又因 为xy xy,所 以(xy)(xy)xy()由定义()()可得x y(x)a(y)a)(x)a(y)a)a(x)a)(y)a)a(x)a(y)a)a)(x y)()因为x x,y y,所以xyx y,因 此 由()可 得(xy)(x y)x y()由定义()可知x xaa,再由命题()以及定义()可知,(x)axa(xa)()由命题()及定义()得(x)b)(x)aab)(x)a)(ab)(x)aab()由 定 义()知x x,则x(y)a x(y)a,所以由命题()可第期张梦雅等:E B L 代数上的赋值态和具有量词的E B L 代数得,(x(y)a)a)(x(y)a)a(x(y)a)a命题 若(A,)是E B L Q 代数,则:()(A)xA|xx;()(A)是E B L 代数A的E B L 子代数证明()显然,xA|x x(A)对任意的x(A),则存在yA,且x y,于 是 由 命 题()可 知x y(y)x,因此有(A)xA|xx()对 任 意 的x,y(A),存 在aI(A),使得xa,则由命题()及定义()可 知,(xy)xyxy(xy),所以有xy(xy),且xy(A)同样地,(xy)x yxy,(xy)x yxy(xy),因此xy,xy(A)对任意的a(A)I(A),则 有xa(x)a(x)a)(xa),于是有xa(A),所以,a(A)是B L 代数,a 的子代数,因此(A)是E B L 代数A的E B L 子代数定义 设(A,)是B L 代数,且:AA是一元运算,若对任意的x,yA,()x x;()(xy)x y;()(x)(x);()(xy)xy;()(xy)xy,其中,则称(A,)为一元B L 代数(简称MB L 代数)命题 若(A,)是MB L 代数,则(A,)是有最大元的E B L Q 代数证 明由 定 义可 知,只 需 证 明(x)a)(x)a对任意的xA,设aI(A),且xa,则由命题()可知,在B L 代数(,a,a,a)中,有xaxa(x)a,(x)a)(x)a)(x)a(x)a(x)a由 定 义()知(x)a(x)a),则(x)a)(x)a,所以(A,)是E B L Q 代数4结语本文在E B L 代数上提出了赋值态的概念,给出赋值态的例子,研究其性质以及等价刻画,得到了赋值态与B o s b a c h态、极值B o s b a c h态之间的关系,并提出了E B L Q 代数,给出其相关性质参考文献:HA J E K P M a t h e m a t i c so ff u z z yl o g i cM D o r d r e c h t:K l u w e rA c a d e m i cP u b l i s h e r s,:L I U H X E B L a l g e b r a sJ S o f tc o m p u t i n g,():D VUR E C E N S K I JA,Z AH I R IO O nEMV a l g e b r a sJ F u z z ys e t sa n ds y s t e m s,():MU N D I C ID A v e r a g i n gt h e t r u t h v a l u e i nL u k a s i e w i c zl o g i cJ S t u d i a l o g i c a,():G E OR G E S C U G B o s b a c hs t a t e so nf u z z ys t r u c t u r e sJ S o f tC o m p u t i n g,():D INO L A A,G E OR G E S C U G,I O R GU L E S C U AP s e u d oB L a l g e b r a s:p a r t IJ M u l t i p l eV a l u e dL o g i c,(/):KON D O M S t a t e so nB o u n d e dC o mm u t a t i v eR e s i d u a t e dL a t t i c e sJ M a t hS l o v a c a,():周红军概率计量逻辑及其应用M北京:科学出版,:C I UN GU L C S t a t e so np s e u d o B C Ka l g e b r a sJM a t h e m a t i c a lR e p o r t s,():X I NXL,L IYJ,F U YL S t a t e so np s e u d o B C Ia l g e b r a sJ E u r o p e a nJ o u r n a lo fP u r ea n d A p p l i e dM a t h e m a t i c s,():L I U H X EMV a l g e b r a sw i t hQ u a n t i f i e ra n dS e m i s t a t e so nEMV a l g e b r a sJ J o u r n a lo fm u l t i p l e v a l u e dl o g i ca n ds o f t c o m p u t i n g,(/):TURUN R NE M a t h e m a t i cb e h i n df u z z yl o g i cMG e r m a n y:P h y s i c a V e r l a gH e i d e l b e r g,:左卫兵,韩睿 E B L 代数上的蕴涵滤子与正蕴涵滤子J兰州文理学院学报(自然科学版),():X I EF,L I U H X E h o o p sJ J o u r n a lo fM u l t i p l eV a l u e dL o g i ca n dS o f tC o m p u t i n g,():张梦雅,左卫兵 E B L 代数上的B o s b a c h态和R i e c a n态J新乡学院学报,():D V U R E C E N S K I JA,P U LMA N N O V A S N e wt r e n d si nq u a n t u ms t r u c t u r e sM D o r d r e c h t:K l u w e rA c a d e m i cP u b l D o r d r e c h t,:责任编辑:赵慧霞兰州文理学院学报(自然科学版)第 卷