变截面Timoshenko梁动力问题的一种数值算法.pdf

第 卷 第期宁夏大学学报(自然科学版)年月V o l N o J o u r n a l o fN i n g x i aU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n 文章编号:()变截面T i m o s h e n k o梁动力问题的一种数值算法常婷婷,鲍四元(苏州科技大学 工程力学系,江苏 苏州 )摘要:为了研究截面不均匀系数对梁振动特性的影响,基于T i m o s h e n k o梁理论,建立变截面梁自由振动的分析模型首先,采用傅里叶级数与辅助函数的形式表示T i m o s h e n k o梁的位移函数,以解决梁端位移在采用常规傅里叶级数形式时导致的边界位移导数不连续问题其次,基于拉格朗日函数,利用瑞利里兹法得到系数满足的线性方程组,进而获得不同边界条件下T i m o s h e n k o梁的固有频率及相应的振型模态最后,分析截面系数对结构固有频率的影响数值算例表明,该求解方法能够稳定收敛且计算效率高,具有较高的精度关键词:T i m o s h e n k o梁;变截面;改进傅里叶级数;自由振动分类号:(中图)O 文献标志码:A收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目();江苏省普通高校研究生科研创新计划项目作者简介:常婷婷(),女,硕士研究生,主要从事改进傅里叶级数法在结构振动问题中的应用研究通信联系人:鲍四元(),男,副教授,博士,主要从事辛方法、改进傅里叶级数法等在工程力学中的应用研究,(电子信箱)b s i y u a n c o m作为最基本的结构构件,梁被广泛应用于各类工程中,如机械、土木、航空航天等已有的研究结果表明,在梁结构的振动与冲击分析中,对跨高比小于的短梁或层合梁采用E u l e rB e r n i u l l i梁理论计算得到的固有频率往往比实际频率偏大,这说明忽略剪切效应的影响是不合理的因此,采用计入剪切变形和转动惯量影响的T i m o s h e n k o梁理论在短梁或层合梁的振动分析中显得较为必要目前,等截面梁的振动特性已经得到了充分研究,众多学者采用不同的数值方法对等截面T i m o s h e n k o梁作了大量的研究 H a n等获得了等截面T i m o s h e n k o梁的模态解析表达式,进而得到了均匀圆截面简支T i m o s h e n k o梁在移动荷载作用下的解析解 H a m i o u d等基于谱元法研究了T i m o s h e n k o梁的振动问题,计算得到了其固有频率和振型李晓娇基于应用力学的辛对偶体系方法,提出了梁力学问题的辛本征值分析方法,通过分析本征值及本征向量得到T i m o s h e n k o梁自由振动时的固有频率楼梦麟等利用模态摄动法将梁特征值求解转化为非线性代数方程组的求解,分析了不同长细 比、剪 切 变 形 和 转 动 惯 量 对 其 频 率 的 影 响M o h a mm a d等基于T i m o s h e n k o梁单元,利用有限元法推导出该单元的形状函数、刚度矩阵、质量矩阵和几何矩阵,求解出梁在不同边界条件下自由振动的固有频率 C h e n等采用分离变量法和拉普拉斯变换法求解梁运动方程的G r u n t函数,研究了不同边界条件下梁的动力问题 Am i n等利用G r e e n函数对任意可变弹性基础上的具有弹性约束T i m o s h e n k o梁的自由振动进行了精确求解但随着工程技术的进步,变截面梁在工程中被广泛应用,如烟囱、电视塔、桥梁等为了满足实际工程需求,学者们运用不同方法研究变截面T i m o s h e n k o梁的自由振动特性韩伟等通过引入动态刚度法研究了欧拉伯努利变截面梁的自由振动方程,根据动态刚度法推导该旋转梁的动态刚度矩阵,得到其固有频率 Am i n等基于幂级数法研究了任意边界条件下变截面T i m o s h e n k o梁的自由振动 H u a 等提出了一种新的方法研究具有非均匀截面轴向功能梯度材料T i m o s h e n k o梁的自由振动,通过引入一个辅助函数,将关于挠度和转角的两个耦合变系数方程转变为关于单一辅助函数的方程对于变截面梁,由于振动方程的解析解不易获得,目前很多学者应用各种近似解法 进行求解本文基于变截面T i m o s h e n k o梁的振动微分方宁夏大学学报(自然科学版)第 卷程,推导出梁在自由振动状态时的势能和动能,结合L a g r a n g e函数及相应的边界条件建立一种适应各类参数的振动分析算法,利用L i 提出的改进傅里叶级数法求解近年来该方法被广泛应用于解决梁、板振动问题 它在传统傅里叶级数的基础上进一步引入辅助函数以消除梁端位移采用传统傅里叶级数形式引起的导数不连续,即用改进的傅里叶级数形式表示梁振动的位移函数,然后通过改变梁端刚度值大小,获得不同边界约束条件下T i m o s h e n k o梁的固有频率本文的目的是验证该方法的可行性,并对变截面T i m o s h e n k o梁在不同边界条件下的动力学问题进行有效求解,为工程实践应用提供有效的参考变截面T i m o s h e n k o梁振动的理论模型 建立计算模型考虑一长度为L且截面面积沿轴向x任意连续变化的T i m o s h e n k o梁,采用系列横向弹簧和扭转弹簧模拟边界约束作用计算模型见图,其中KR和KR分别代表x和xL边界处所添加的扭转约束弹簧刚度,KT和KT分别代表x和xL截面所添加的横向位移约束弹簧刚度当弹簧刚度KR和KT都趋于无穷时,表示x边界固定(用字母C表示);当弹簧刚度KR和KT均为时,表示该端边界自由(用字母F表示);当KR为且KT为无穷大时,该端边界为简支(用字母S表示)KR1KT1KT2KR2xL图变截面T i m o s h e n k o梁的振动分析模型基于T i m o s h e n k梁 理 论 ,可 得 变 截 面T i m o s h e n k o梁的自由振动微分方程为A x()w(x,t)txG A x()(x,t)w(x,t)x,()I x()(x,t)txE I x()(x,t)xG A x()(x,t)w(x,t)x,()其中:w x,t()为梁横向位移,x,t()为梁横截面的转角,为梁的密度,G为剪切模量,E为材料的弹性模量,A x()为横截面面积,I x()为横截面的惯性矩,为与截面形状有关的系数若梁 为 等 截 面T i m o s h e n k o梁,则E I x()E I,I x()I,A x()A均为常数,从而()()式可以合并为一个公式:E IwxAwtIEGwxtIGwt()改进傅里叶方法用传统的傅里叶级数表征位移函数不能解决位移导数在边界处可能存在不连续的问题,因而采用傅里叶余弦级数与辅助正弦级数组合而成的改进傅里叶级数分析T i m o s h e n k o梁的自由振动问题T i m o s h e n k o梁位移函数的改进傅里叶级数形式 为w x()m Amfmx()m Ams i nmx()mAmc o smx(),x()m Bmfmx()m Bms i nmx()mBmc o smx(),()其中:Am、Bm为位移容许函数中未知的F o u r i e r系数;fm为基本函数;mmL,L为梁长 求解T i m o s h e n k o梁的固有频率为计算不同边界条件下变截面梁的固有频率,本文采用T i m o s h e n k o梁模型进行分析,该模型考虑剪切变形与转动惯量对梁振动模态的影响,此时梁的弯曲势能为Vb e n d i n gLE I x()x,t()xdxG A x()Lw x,t()xx,t()dx,()其中第项为梁的弯曲应变能,第项为梁的剪切应变能梁结构边界弹簧势能可表示为Vs p r i n gKTw()KTw L()KR()KRL(),()其中前两项为图中梁两端横向弹簧的势能,后两第期常婷婷等:变截面T i m o s h e n k o梁动力问题的一种数值算法项为梁两端的旋转弹簧势能T i m o s h e n k o梁的动能可表示为TLA x()wtdxLI x()tdx()假设梁作简谐振动,即w x,t()w x()ei twei t,x,t()x()ei tei t,()其中:i为虚数单位,为圆频率梁作简谐振动的不同时刻,T i m o s h e n k o梁结构的拉格朗日函数 为LTVs p r i n gVb e n d i n gT()将()()式代入()式,然后对未知数Am、Bm求LT的极值,可得LTAm,LTBm()由()式得T i m o s h e n k o梁结构振动的标准特征方程:KM()A,()其中:K为刚度矩阵,M为质量矩阵,A为未知傅里叶展 开 系 数 向 量,A(A,A,An,B,B,Bn)解()式 对 应 的 矩 阵 特 征 值 问 题,即 由KM可得任意边界条件约束下T i m o s h e n k o梁的固有频率,再将对应的特征向量代入()式可得模态数据计算与分析考虑长度为L的T i m o s h e n k o梁,梁的截面变化见图为便于计算,梁的横截面面积和对中性轴的惯性矩分别假设为,A x()AcbxLchxL,I x()IcbxLchxL,()A x()Ae x/L,I x()Ie x/L,()其中:b x()bcbxL,h x()hchxL,且cb、ch为与b x()、h x()相关的截面系数当cb,ch时,表示为等截面梁;当cbch()时,表示梁的横截面面积从左端到右端逐渐减小;当cb且ch时,表示梁的横截面面积从左端到右端逐渐增大A、I为变截面梁左端的截面面积和惯性矩,为截面的不均匀系数b0b1h0h1Lh0h1b1b0La b 图变截面T i m o s h e n k o梁的截面类型计算变截面T i m o s h e n k o梁的固有频率时,为使最终结果无量纲化,本文对频率和弹簧刚度分别作如下处理:LA/,kTiKTiE I,kRiKRiE I,i,其中i表示梁的左端(x处),i表示梁的右端(xL处)弹簧刚度系数对收敛性的影响为了探讨不同边界条件所对应弹簧支撑刚度的合理取值范围,并验证弹簧刚度系数对计算收敛性的影响,本节通过改变两个方向上弹簧的刚度值计算相应结构的无量纲频率,得到数据收敛时刚度系数的取值算例梁的相关参数如下:E ,rIAL,GE(),L,并假设KTKT,KRKR将无量纲系数kTi、kRi取为 ,研究无量纲频率的变化情况表给出了等截面梁随弹簧刚度系数变化时的前阶无量纲频率根据表可得EE(对应于kTikRi)和EE(对应于kRi)边界条件下无量纲频率随弹簧刚度系数的 变 化 规 律(图)从 图可 以 看 出,在EE边界条件下,无量纲频率参数在弹簧刚度系数满足关系KTE I,KRE I 时趋于收敛,此时可模拟两端固定的边界条件CC再结合表,将所得数据结果与文献 对比,发现弹簧刚度系数KTE I,KRE I 时具有较高的精度,故本文取扭转弹簧刚度系数kRi和横向弹簧刚度系数kTi均为 来等效固定条件,能够较好地模拟边界,并求解对应的固有频率本文的计算结果与文献 的结果相近,最大误差在 以内,满足误差要求,故弹簧刚度系数的取值是合理的宁夏大学学报(自然科学版)第 卷表带弹簧支撑的等截面T i m o s h e n k o梁无量纲频率kTi频率的阶次kRi ()()()()()()注:表中()内数据为文献 采用格林函数法得到的计算结果10010110210310410510601020304050G4N)23(kiTkiR)123 E2E2.E1E1图EE、EE边界条件下T i m o s h e n k o梁无量纲频率随弹簧刚度系数变化的规律 傅里叶截断数对收敛性的影响考虑T i m o s h e n k o梁的高度沿轴线方向变化(ch),截面宽度b为常量(cb),其余参数如下:r,GE(),E P a 一方面,傅里叶展开后所取截断数N将影响数据的精度,即N越大得到的计算结果越精确;另一方面,截断数N取值变大会使矩阵维数增大,从而增加计算量为了使二者均能达到最优效果,本文研究截断数N的取值对于上述变截面T i m o s h e n k o,分别探讨固定自由梁、两端固定梁的固有频率随截断数N的变化,计算结果见表结果表明:在CF边界条件下,截面宽度系数为时,T i m o s h e n k o梁的一阶固有频率随截面系数的增大不断增大,但二、三阶固有频率随截面系数的增大而减小;在CC边界条件下,结构的固有频率随截面系数的增大而不断减小;在不同边界第期常婷婷等:变截面T i m o s h e n k o梁动力问题的一种数值算法条件下,随着截断数N的取值大于 后频率值略有减小,这表明收敛过程是一种上限逼近;表中截断数N取,时所得数据都可认为收敛,此时误差值基本控制在 之内,为了均衡计算效率和精度,N取 可以满足工程计算精度,故本文的截断数N均取 截面参数对梁振动固有频率的影响本节考虑矩形截面高度和宽度都沿轴线变化的T i m o s h e n k o梁算例梁的截面类型见图 a,计算参数如下:IAL ,EG ,L通过数值计算得到其固有频率和振型模态图,并进一步研究两个截面系数的变化对梁振动特性的影响 C F、S S和C C边界条件下T i m o s h e n k o梁无量纲固有频率的具体数值见表表变截面T i m o s h e n k o梁的无量纲频率(CF和CC边界)边界条件截断数ch ch ch C F文献 N 本文N N CC文献 N 本文N N 表变截面T i m o s h e n k o梁的无量纲固有频率(CF、SS和C C边界)边界条件cbch C F SS CC 图给出了ch时各阶频率随截面系数cb变化的规律,图给出了cb时各阶频率随ch变化的规律从图、图可知,在C F边界约束下:当ch保持为时,各阶固有频率随cb的增大而增大,cb 时梁的一阶、二阶、三阶无量纲频率相对等截面T i m o s h e n k o梁的同阶无量纲频率分别增大 、和 ;当cb保持为时,一阶频率随ch的增大而增大,ch 时梁的一阶无量纲频率相对于等截面梁的对应值增加 ,而二阶、三阶无 量纲频率随其 增大而减小,分别减少 和 在S S、C C边 界 条 件 下:ch不变时,各阶无量纲固有频率随截面系数cb的宁夏大学学报(自然科学版)第 卷增大而减小,且减小的幅度均较小;若cb保持为不变,则随ch的增大各阶无量纲频率的降幅相对较大具体地,与等截面T i m o s h e n k o梁相比,一、二、三阶无量纲频率在S S边界下分别减少 、和 ,而 在C C边 界 下 分 别 减 少 、和 上述分析仅考虑ch而cb变化(或cb而ch变化)时频率的变化,截面参数变化的其他情况可类似考虑总结如下:截面系数cb、ch对T i m o s h e n k o梁的固有频率均有显著的影响图为 变截面C F边 界 条 件 下T i m o s h e n k o梁自由振动的前三阶模态图采用本方法研究截面高度沿轴线发生非线性变化的变截面T i m o s h e n k o梁(截面形式见图 b),计算边界条件分别为两端简支、固定 自由及两端固定时该梁的固有频率,结果见表00.20.40.60.8051015G4N)Cb CF SS CC.a b 00.20.40.60.81520253035G4N)Cb CF SS CC.c 00.20.40.60.83540455055G4N)Cb CF SS CC.图不同边界条件下前三阶固有频率随cb变化曲线(ch保持不变)051015G4N)00.20.40.60.8Ch CF SS CC.a b 101520253035G4N)00.20.40.60.8Ch CF SS CC.c 303540455055G4N)00.20.40.60.8Ch CF SS CC.图不同边界条件下前三阶固有频率随ch变化曲线(cb保持不变)cb=0,ch=0;cb=0,ch=0.2;cb=0,ch=0.4;cb=0,ch=0.8.xm 0m00.20.40.60.81.01.00.500.51.0the firstthe secondthe thirdxmthe firstthe secondthe third cb=0,ch=0;cb=0.2,ch=0;cb=0.4,ch=0;cb=0.8,ch=0.0m00.20.40.60.81.01.00.500.51.0achbcb图CF边界条件下T i m o s h e n k o梁自由振动的前三阶模态图第期常婷婷等:变截面T i m o s h e n k o梁动力问题的一种数值算法表非均匀E u l e r和T i m o s h e n k o梁的固有频率边界条件频率阶次E u l e r梁T i m o s h e n k o梁文献本文文献本文文献本文本文本文本文SS C C C F 从表可以看出,在同一边界条件下,截面按指数规律变化时,E u l e r梁与T i m o s h e n k o梁的各阶固有频率与参数()式中)的变化趋势相同,即在SS、C F边界条件下,E u l e r梁和T i m o s h e n k o梁的固有频率均随的增大而减小;在C C边界条件下,两种梁的固有频率均随的增大而增大图为悬臂型E u l e r梁和悬臂型T i m o s h e n k o梁截面非线性变化时的前三阶模态图从图可以看出,随着不均匀系数的增加,梁的一阶模态变化较小,二、三阶模态的变化相对较明显,即截面系数对T i m o s h e n k o梁自由振动的高阶模态有较大影响 结论本文基于改进傅里叶级数法对变截面T i m o s h e n k o梁在不同边界条件下的振动特性进行了研究,结论如下the firstthe secondthe thirdxm=0;=1;=2.0ma CFE+Euler00.20.40.60.81.01.00.500.51.0b CFE+Timoshenkothe firstthe secondthe thirdxm=0;=1;=2.0m00.20.40.60.81.01.00.500.51.0图梁随截面系数变化的前三阶模态图宁夏大学学报(自然科学版)第 卷()通过计算、分析并与已有文献结果对比,验证了改进傅里叶级数具有精度较高与收敛迅速等优点()通过调节弹簧刚度值大小控制边界条件,可大大减少处理不同边界时重复建模的工作量()本文方法计算了非线性变化梁的截面不均匀系数对固有频率的影响不同边界条件下,截面系数对梁固有频率的影响程度不同,如C C边界条件下,梁的固有频率均随截面系数ch或cb的增大而减小,且ch较cb对固有频率的影响更大;S S边界条件下,梁截面系数cb对固有频率的影响非常小,而ch对固有频率的影响较大;C F边界条件下,梁前三阶固有频率均随截面系数cb的增大而增大()该方法所编程序较为简单、易于理解,具有广泛的应用价值在计算过程中,只需改变计算参数便可获得不同条件下梁结构的固有频率,从而提高了计算效率参考文献:HAN RPS,Z UJWA n a l y t i c a ld y n a m i c so fas p i n n i n gT i m o s h e n k ob e a ms u b j e c t e dt oam o v i n g l o a dJJ o u r n a l o f t h eF r a n k l i n I n s t i t u t e,():HAM I OU DS,KHA L F A L L AH S S p e c t r a le l e m e n ta n a l y s i so ff r e e v i b r a t i o no f T i m o s h e n k o b e a mJI n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o rE n g i n e e r i n gM o d e l l i n g,(/):李晓姣梁力学问题的辛本征值分析方法D大连:大连理工大学,楼梦麟,石树中 T i m o s h e n k o固端梁特征值问题近似计算方法J应用力学学报,():K A R K O N MA ne f f i c i e n t f i n i t ee l e m e n t f o r m u l a t i o nf o rb e n d i n g,f r e e v i b r a t i o na n d s t a b i l i t y a n a l y s i s o fT i m o s h e n k ob e a m sJ J o u r n a l o f t h eB r a z i l i a nS o c i e t yo fM e c h a n i c a l S c i e n c e s a n dE n g i n e e r i n g,():C H E NT,S UGY,S H E NYS,e ta l U n i f i e dG r e e nsf u n c t i o n so f f o r c e dv i b r a t i o no fa x i a l l yl o a d e dT i m o s h e n k ob e a m:T r a n s i t i o np a r a m e t e rJI n t e r n a t i o n a lJ o u r n a l o fM e c h a n i c a lS c i e n c e s,:GHANNA D I A S L A,MO F I D MA na n a l y t i c a ls o l u t i o nf o r f r e ev i b r a t i o no fe l a s t i c a l l yr e s t r a i n e dT i m o s h e n k ob e a mo na na r b i t r a r yv a r i a b l ew i n k l e r f o u n d a t i o na n du n d e r a x i a l l o a dJ L a t i nAm e r i c a nJ o u r n a l o f S o l i d sa n dS t r u c t u r e s,():韩伟,毛崎波用动态刚度法分析旋转变截面梁横向振动特性J噪声与振动控制,():GHANNA D I A S LAN a t u r a l f r e q u e n c i e so ft h ee l a s t i c a l l ye n dr e s t r a i n e dn o n u n i f o r m T i m o s h e n k ob e a mu s i n gt h ep o w e rs e r i e sm e t h o dJM e c h a n i c sB a s e dD e s i g no f S t r u c t u r e s a n dM a c h i n e s,():HUAN G Y o n g,YANG L i n ge,L UO Q i z h i F r e ev i b r a t i o no fa x i a l l yf u n c t i o n a l l yg r a d e dT i m o s h e n k ob e a m sw i t hn o n u n i f o r mc r o s s s e c t i o nJ C o m p o s i t e s:P a r tB,():AUC I E L L O N MF r e ev i b r a t i o no far e s t r a i n e ds h e a r d e f o r m a b l e t a p e r e db e a mw i t hat i pm a s sa t i t sf r e ee n dJ J o u r n a lo fS o u n da n dV i b r a t i o n,():AU C I E L L O N M,E R C O L AN O A Ag e n e r a ls o l u t i o nf o rd y n a m i cr e s p o n s eo fa x i a l l yl o a d e dn o n u n i f o r mT i m o s h e n k ob e a m sJ I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fS o l i d sa n dS t r u c t u r e s,:L IW L V i b r a t i o na n a l y s i so f r e c t a n g u l a rp l a t e sw i t hg e n e r a le l a s t i c b o u n d a r y s u p p o r t sJ J o u r n a lo fS o u n da n dV i b r a t i o n,():L IW L,Z HAN G X u e f e n g,D UJ i n g t a o,e ta l A ne x a c ts e r i e ss o l u t i o nf o rt h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no fr e c t a n g u l a rp l a t e sw i t hg e n e r a l e l a s t i cb o u n d a r ys u p p o r t sJ J o u r n a lo fS o u n d a n d V i b r a t i o n,(/):鲍四元,周静,曹津瑞,等端部任意弹性约束变截面地基梁 的 自 由 振 动 特 性 分 析 J应 用 力 学 学 报,():,AHA DFE,S H ID o n g y a n,H I NAZ,e t a l F r e ev i b r a t i o na n a l y s i so fm o d e r a t e l yt h i c ki s o t r o p i ch o m o g e n e o u so p e nc y l i n d r i c a ls h e l l su s i n gi m p r o v e dF o u r i e rs e r i e sm e t h o dJ J o u r n a lo fV i b r o e n g i n e e r i n g,():L IX i a n f a n g Au n i fie da p p r o a c hf o ra n a l y z i n gs t a t i ca n dd y n a m i cb e h a v i o r so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dT i m o s h e n k oa n d E u l e r B e r n o u l l ib e a m sJ J o u r n a lo fS o u n da n dV i b r a t i o n,(/):R E D D YJN,P AN GSDN o n l o c a l c o n t i n u u mt h e o r i e so fb e a m sf o rt h ea n a l y s i so fc a r b o nn a n o t u b e sJ JA p p lP h y s,:L IWL F r e ev i b r a t i o n so fb e a m sw i t hg e n e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sJ J o u r n a l o f S o u n da n dV i b r a t i o n,():肖伟,霍瑞东,李海超,等改进傅里叶方法在梁结构振动特性分析中的应用J噪声与振动控制,():姚伟岸,钟万勰辛弹性力学M北京:高等教育出版社,葛仁余,张金轮,姜忠宇,等轴向功能梯度变截面T i m o s h e n k o梁自 由 振 动 的 研 究 J振 动 与 冲 击,():,(下转第 页)宁夏大学学报(自然科学版)第 卷A n t i p l a n eP r o b l e mo f I n t e r f a c eC o l l i n e a rC r a c k s i nO n e d i m e n s i o n a lH e x a g o n a lQ u a s i c r y s t a lB i m a t e r i a l sZ h a oX u e f e n,M aY u a n y u a n(X i n h u aC o l l e g e,N i n g x i aU n i v e r s i t y,Y i n c h u a n ,C h i n a;S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,N i n g x i aU n i v e r s i t y,Y i n c h u a n ,C h i n a)A b s t r a c t:T h ea n t i p l a n ep r o b l e mo f i n t e r f a c ec o l l i n e a rc r a c k si no n e d i m e n s i o n a lh e x a g o n a lq u a s i c r y s t a lb i o m a t e r i a l sw a ss t u d i e d b a s e d o nt h et h e o r y o fc o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o n a n d S c h w a r za n a l y t i c a lc o n t i n u a t i o np r i n c i p l e,a n dt h ec l o s e ds o l u t i o n so fs e v e r a lt y p i c a lp r o b l e m sa n dc o r r e s p o n d i n gs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sw e r eo b t a i n e d T h er e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h ep a t ht ot h ec r a c kt i pi ss e l e c t e do nt h eb i m a t e r i a l s i n t e r f a c e,t h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r so fb i m a t e r i a l si n t e r f a c ec r a c k sa r eo n l yr e l a t e dt ot h ec r a c k ss i z ea n dt h ee x t e r n a l l o a do nt h ec r a c k s,a n da r e i n d e p e n d e n to fm a t e r i a l p a r a m e t e r s I tm e a n s t h a tw i t ht h e i n c r e a s eo f c r a c ks i z ea n de x t e r n a l l o a d,t h es t r e s s i n t e n s i t yf a c t o ra r e i n c r e a s i n g K e yw o r d s:o n e d i m e n s i o n a l h e x a g o n a l q u a s i c r y s t a l b i o m a t e r i a l s;i n t e r f a c ec o l l i n e a r c r a c k s;a n a l y t i c a l c o n t i n u a t i o np r i n c i p l e;s t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r s(责任编辑张娣)(上接第 页)AN u m e r i c a lA l g o r i t h mf o rD y n a m i cP r o b l e mo fT i m o s h e n k oB e a mw i t hV a r i a b l eC r o s s s e c t i o nC h a n gT i n g t i n g,B a oS i y u a n(S c h o o l o fC i v i lE n g i n e e r i n g,S u z h o uU n i v e r s i t yo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,S u z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:T o i n v e s t i g a t e t h ee f f e c to fn o n u n i f o r m i t yc o e f f i c i e n to nt h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i co fb e a m,a na n a l y s i sm o d e lo ff r e ev i b r a t i o no fv a r i a b l ec r o s s s e c t i o nb e a m si sf o r m u l a t e db a s e do nt h eT h e o r yo fT i m o s h e n k oB e a m F i r s t l y,t h ed i s p l a c e m e n t f u n c t i o no fT i m o s h e n k ob e a mi s e x p r e s s e da s s u mo f a s i n g l eF o u r i e rs e r i e sa n da u x i l i a r yf u n c t i o n s,w h i c hc a n i m p r o v e t h ed i s c o n t i n u o u s i s s u e sa b o u t t h ed e r i v a t i v e so fd i s p l a c e m e n ta t t h eb e a ms e n d s T h e n,t h eR a y l e i g h R i t zm e t h o d sb a s e do n t h eL a g r a