比较判别法在泛函分析中的应用.pdf

收稿日期2 0 2 1-0 8-1 3;修改日期2 0 2 2-1 1-2 3 基金项目河北省自然科学基金(A 2 0 2 0 2 0 2 0 0 5);天津市自然科学基金(2 0 J C Y B J C 0 0 7 5 0);河北省研究生示范课程建设项目(K C J S X 2 0 2 0 0 1 1);河北工业大学本科优质课程建设项目(数学分析)(Y K 2 0 1 9 0 3 2)作者简介仝策中(1 9 8 4-),男,博士,副教授,从事全纯函数空间及其算子理论研究.E-m a i l:c t o n g h e b u t.e d u.c n第3 9卷第3期大 学 数 学V o l.3 9,.32 0 2 3年6月C O L L E G E MATHEMAT I C SJ u n.2 0 2 3比较判别法在泛函分析中的应用仝策中,苑子兴,高 慧(河北工业大学 理学院,天津3 0 0 4 0 1)摘 要在数学分析中,比较判别法是判断正项级数收敛性的一种基础的方法.借鉴比较判别法的思想,应用于泛函分析中用来判别p次可和序列空间上的加权移位算子是否为C e s r o有界的或绝对C e s r o有界的.关键词加权移位算子;比较判别法;C e s r o有界 中图分类号O 1 7 7.5 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 3)0 3-0 0 7 7-0 61 引 言在数学分析的教学中,判别正项级数an的收敛性是在关于级数教学中的重要环节.其中,比较判别法是判别正项级数的收敛性的一个基本的方法,具体内容(见文献1)如下:如果两个正项级数an和bn之间成立着关系:存在常数c0,使anc bn(n=1,2,3,),或自某项以后(即存在正整数N,当nN时)成立以上关系式,那么(1)当级数bn收敛时,级数an亦收敛;(2)当级数an发散时,级数bn亦发散.利用比较判别法判别正项级数收敛性的基本思想是通过已知的正项级数的收敛性,以及它与待判断收敛性的正项级数的控制关系,从而推出待求的正项级数的收敛性.这种思想可以应用于各个数学分支中的问题研究中,本文将以这种思想为指导,阐述比较判别法在泛函分析中一个特殊问题的求解中的应用 加权移位算子的C e s r o有界性判别方法.这方面内容可以用于基础数学专业高年级本科生泛函分析课程中,以及泛函分析专业研究生的教学和科研中.下面将介绍比较判别法在加权移位算子的C e s r o有界性判别方法中的应用.设 ,是两个赋范线性空间,映射T是从 到 的线性算子,即对于一切x,yX且数,满足T(x+y)=T x+T y.如果存在常数C0,使得T x2Cx1对任意的xX都成立,则称T是有界的.当T是有界线性算子时,它的算子范数定义为T=s u px1T x.赋范线性空间上的线性算子T为连续的等价于它是有界的.因此,赋范线性空间上的有界线性算子也称作连续线性算子.记从X到Y的有界线性算子的全体为B(XY),它按算子的加法、数乘以及算子范数构成一个赋范线性空间.而且空间B(XY)是完备的,当且仅当Y是完备的.更多基础知识和定理可参考文献2-3.在近现代泛函分析的研究中,C e s r o有界性是比上述算子有界性更精细的刻画,也是线性算子动力系统研究领域中重要的研究对象.由于该内容用到的其他数学分支的知识不多,在研究生和高年级本科生的泛函分析教学中,非常适合介绍给学生作为教学的扩展内容.文献4 首先提出了线性算子C e s r o有界性的定义.文献5 进而引进了分数阶的C e s r o有界性.文献6 讨论了一个特殊的加权移位算子的分数阶C e s r o有界性,本文延续这一系列工作,利用比较判别法的思想继续讨论加权移位算子的C e s r o有界性,给出相应的比较条件.更多相关内容可查阅文献4-6.下面介绍算子C e s r o有界和绝对C e s r o有界的定义.令X是一个复的B a n a c h空间,B(X)表示空间X上所有有界线性算子构成的B a n a c h代数.设算子TB(X),对于所有的xX,n,定义T的n阶C e s r o平均算子如下:MT(n)x=1n+1nj=0Tjx.若序列 MT(n)nB(X)是有界的,则称T是C e s r o有界,即s u pnMT(n)0,对于任意的自然数n,都有1n+1nj=0Tjx Cx,xX.在文献5 中,算子T是绝对C e s r o有界的定义为:若存在常数C0,对于所有的xX,自然数n,都有1n+1nj=0Tjx Cx.通过上述定义,可以清晰的发现有如下关系成立:T是绝对C e s r o有界T是C e s r o有界T是有界的.当1p 时,p()表示p次可求和序列组成的拓扑线性空间.设n,k是K r o n e c k e r的-函数,即当k=n时,有n,k=1;当kn时,有n,k=0.令en=(n,k)k=(0,0,1,0,),则ej:j=1,2,是空间p()上的S c h a u d e r基.任意的向量xp(),有唯一的表达式x=j=1cjej,其中 cj:j=1,2,.令w=w1,w2,其中每个wj,本文用w表示一个权序列.在p()空间中,定义Bwe1=0,Bwek=wkek-1,其中k2,称Bw为作用在空间p()上是加权(向后)移位算子.本文将讨论在p()空间上的C e s r o有界的加权向后移位算子Bw与其权函数w的关系,主要结果推广了文献5 中的结论,所用到的方法可以称为比较判别法.2 主要定理及证明主要思想就是通过指标构建的两个单项式的商来估计权序列的乘积jn=iwn,利用比较判别法,寻找与权函数的乘积函数可相互比较的、熟悉的简单函数,通过判断简单函数的性质进而判断构成的权函数的乘积函数的性质,再通过恰当放缩的方法和詹森不等式来证明加权向后移位算子是绝对C e s r o有界的.为了记号书写的统一,当j0,使得fC g.如果fg和fg同时成立,则记为fg.下面首先给出加权向后移位算子Bw不是C e s r o有界的比较判别法形式的判别条件.定理1 当1p1且s1;(i i)t=1且s1;(i i i)t1且t0,上面的(1)式变为1(N+1)p+1 N2+1k=11kt N+1j=N2+1(N-j+2)s/p p.若s0,(1)式变为1(N+1)p+1 N2+1k=11kt N+1j=N2+1 3N2-j+1 s/p p.为了书写的简洁,在这里定义=N2+1k=1k-t,=N+1j=N2+1(N-j+2)sp,=N+1j=N2+1 3N2-j+1 sp.当t1时,可以得到 N2+211xtdx=1t-1 1-1 N2+2 t-1 2t-1-1(t-1)2t-11.当s1时,能推出=N2+1j=1jspN2+11xspdx=N2+1 sp+1+spsp+1Nsp+1.因此,将上面的,代入(1)可以知道,当N趋于无穷时,p(N+1)p+1Ns-1趋于无穷.这证明了(i).当t=1时,就会有 N2+211xdx=l o gN2+2 .当s1时,由上面可知 Nsp+1,故将代入(1)能够得到p(N+1)p+1Ns-1l o gN.当N趋于无穷时,上述式子是发散的.条件(i i)就完成证明.当t m a xt,0时,N2+21x-tdx=N2+2 1-t-11-tN1-t.97第3期 仝策中,等:比较判别法在泛函分析中的应用又因为 Nsp+1,所以将得到的代入(1)能得到II Ip(N+1)p+1Ns-t.当N趋于无穷时,式子Ns-t趋于无穷.当t0且ts0时,由上述可以得到 N2+21x-tdxN1-t.下面对做估计,由以上可知,=Nj=N/2js/p.下面分两种情况讨论.当ts(-p)0时,就会有 NN2xs/pdx=Ns/p+1-(N/2)s/p+11+s/p=Ns/p+11-2-s/p-11+s/pNsp+1.因此,将得到的代入(1)可以得到p(N+1)p+1Ns-t.当N趋于无穷时,上述式子趋于无穷.当t1且s1;(i i)t=1且s1;(i i i)t0时,有 jj-n t2t.下面进行估计S3,当j2N+1和nN时,可以得到S3j=2N+1|j|pNn=0jj-n t(2N+1)s-t(N+1)m a x2t,1 j=2N+1|j|pNj=2N+1|j|p.在第(i)个条件中,如果t1且s1,下面对S1和S2进行估计.首先估量S1,当jN时,能得到j-1n=0js(j-n)t=jsjn=1n-tjs1+j1x-tdx =jst-1t-1jt-1 NsN.接着再估计S2,当jN+1,2N时,由上述可知,Nn=0js(j-n)tjsj-1n=01(j-n)tjst-1t-1jt-1 (2N)sN.08大 学 数 学 第3 9卷因此,将上面得出的S1+S2代入(3.2)式有S1+S2N2Nj=1jp.在第(i i)个条件中,如果t=1且s1,来估计S1和S2的值.当jN时,估计S1,能够推出j-1n=0jsj-n=jsjn=11njs1+j11xdx =jsl o gj+jsN.由于jN+1,2N,估计S2,由上述有Nn=0jsj-njsj-1n=01j-njsl o gj+jsN.因此,将上面估计的S1+S2代入(2)得S1+S2N2Nj=1jp.在第(i i i)个条件中,如果t1且st,下面给出S1和S2的估计.为了估计S1,当jN时,能得到j-1n=0js(j-n)t=jsjn=1n-tjs1+j1x-tdx =jsj1-t-t1-tN.为了估计S2,当N+1j2N时,由上述可以获得Nn=0js(j-n)tjsj-1n=01(j-n)tjs+1-t-jst1-t(2N)s-t+1N.因此,与上面一样可以推出S1+S2N2Nj=1jp.为了完成证明,将上述得到S1+S2的不等式,利用詹森不等式可以得如下:1N+1Nn=0Bnwxp p1N+1Nn=0Bnwxppxpp.综上所述,证明了加权向后移位算子Bw是p()空间上的绝对C e s r o有界算子.图1 除(1,1)外,边界及下方是绝对C e s r o有界通过总结上面的两个定理:加权向后移位算子不是C e s r o有界的充分条件,以及加权向后移位算子是绝对C e s r o有界的充分条件,可以推出下面的加权向后移位算子是绝对C e s r o有界的充要条件.推论1 假设1p1且s1;(i i)t=1且s1;(i i i)t1且st.为了更加直观,用图1描绘(t,s)2的取值范围与绝对C e s r o有界性的对应关系.3 实 例本节主要是构建了一个加权向后移位算子是绝对C e s r o有界的例子,最后构建了一个加权向后移位算子不是C e s r o有界的例子.例1 若t0,在p()空间上,令w=(w1,wm,)=0,(m+1)1/pl o gt+1p(m+1)l o gtpmm1/p,.18第3期 仝策中,等:比较判别法在泛函分析中的应用由定理2可以得到加权向后移位算子Bw是绝对C e s r o有界的.通过下面的计算得jm=i|wm|=(j+1)1pi1pl o gtpil o gt+1p(j+1)jk=i+11l o g1pk 2l o g 2 1p jil o gtil o gt+1j 1p.下面是构建了一个加权向后移位算子不是C e s r o有界的新例子.例2 在p()空间上,如果t,令w=(w1,wm,)=0,m+1l o gt(m+1)l o gtmm 1/p,.由定理1得加权向后移位算子Bw不是C e s r o有界算子.4 结 论当1p 时,本文刻画了空间p()中加权向后移位算子的C e s r o有界性.通过指标构建的两个单项式的商来估计权函数的乘积jn=iwn.本文的主要研究方法是利用比较判别原则,寻找与权函数的乘积函数可比较的较简单的函数,这样就可以通过较简单函数的条件来判断加权移位算子的性质.本文所涉及的主要内容是泛函分析中线性算子有界性讨论的深入研究,可以作为数学专业高年级本科生和泛函分析研究生的教学拓展内容,使得学生了解泛函分析相关的现代数学所研究的热点问题,启发学生深入研究相关内容,并从中对泛函分析中所学的基础知识加深理解.致谢 作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.参 考 文 献1 欧阳光中,朱学炎,金福临,等.数学分析:下册M.3版.北京:高等教育出版社,2 0 0 7:3-2 2.2 江泽坚,孙善利.泛函分析 M.2版.北京:高等教育出版社,2 0 0 2:2 5-1 1 7.3 S T E I N E,S HAKA R CH IR.F u n c t i o n a la n a l y s i s,i n t r o d u c t i o nt of u r t h e rt o p i c si na n a l y s i sM.N e wJ e r s e y:P r i n c e t o nP r e s s,2 0 1 2:1-1 7 5.4 L IY,S A T O R,S HAW S.B o u n d e d n e s sa n dg r o w t ho r d e r so fm e a n so fd i s c r e t ea n dc o n t i n u o u ss e m i g r o u p so fo p e r a t o r sJ.S t u d i aM a t h e m a t i c a,2 0 0 8,1 8 7(1):1-3 5.5 E D-D A R IE.O nt h e(C,)C e s r ob o u n d e do p e r a t o r sJ.S t u d i aM a t h e m a t i c a,2 0 0 4,1 6 1(2):1 6 3-1 7 5.6 HOU B,L UO L.S o m er e m a r k so nd i s t r i b u t i o n a lc h a o sf o rb o u n d e dl i n e a rO p e r a t o r sJ.T u r k i s hJ o u r n a lo fM a t h e m a t i c s,2 0 1 5,3 9(2):2 5 1-2 5 8.A p p l i c a t i o n so f t h eC o m p a r i s o nT e s tP r i n c i p l e i nF u n c t i o n a lA n a l y s i sT ONGC e z h o n g,YUANZ i x i n g,GAO H u i(I n s t i t u t eo fM a t h e m a t i c s,H e b e iU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,T i a n j i n3 0 0 4 0 1,C h i n a)A b s t r a c t:I nM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s,t h ec o m p a r i s o nt e s tp r i n c i p l e i sab a s i cm e t h o dt op r o v e t h ec o n v e r g e n c eo f t h ep o s i t i v es e r i e s.I nt h ea r t i c l e,w eu s et h es p i r i to f t h ec o m p a r i s o nt e s tp r i n c i p l et ot h ep r o b l e m s i nF u n c t i o n a lA n a l y s i s.W eg i v ead i s c r i m i n a t e d m e t h o do ft h eC e s r ob o u n d e d n e s so fw e i g h t e db a c k w a r ds h i f to p e r a t o r so nt h es p a c eo fps u mm a b l es e q u n c e s.K e yw o r d s:w e i g h t e db a c k w a r ds h i f to p e r a t o r s;c o m p a r a b l e t e s tp r i n c i p l e;C e s r ob o u n d e d n e s s28大 学 数 学 第3 9卷