变式教学在高三数学教学中的应用.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）0冤的图象没有公共点袁则实数a的取值范围是_.解法1 结合题干条件袁根据函数图象的特征野函数f渊x冤=ax2渊a0冤的图象必须在直线l1和l2的上方冶袁得到ax2k渊x原1冤原2袁ax2原1k渊x原1冤原2扇墒设设设设设缮设设设设设恒成立.由驻10袁驻20变形可得k2原4ak原8a0袁4ak原8ak2+10袁但此时无法求出实数a的取值范围.观察这个不等式组发现两个不等式都含有4ak袁因此不等式组化简后可得k2原8a4ak袁4ak8ak2原1.根据不等式的传递性质得k2原8a0袁解得a18袁即a沂18袁+肄.解法2 解法1虽然顺利地解决了问题袁但是解题过程较为烦琐袁本题既然是一道填空题袁那就没有必要野小题大做冶袁可以通过确定特殊的实数a的值确定其取值范围.设过点A渊1袁原2冤的函数f渊x冤=ax2渊a0冤的切线为y=k渊x原1冤原2袁将切线与抛物线联立成方程组袁根据驻=0可得k2原4ak原8a=0.当处于临界时直线l1和l2相互垂直袁所以k1k2=原1袁可得a=18.根据题设要求函数f渊x冤=ax2在区间渊0袁+肄冤上上升更快袁所以a18袁即a沂18袁+肄.解法3 函数f渊x冤=ax2渊a0冤的图教学技巧79投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）象是抛物线袁其开口向上袁利用这个结论可得院在抛物线的准线上一点向抛物线作两条切线袁那么这两条切线是相互垂直的袁即处于临界时点A在抛物线的准线上袁这时可得a=18袁所以只要点A在准线的下面袁即原14a原2就能满足题意袁则a18袁即a沂18袁+肄.设计思路 本题考查学生对函数尧方程以及不等式知识的掌握情况袁难度较高袁具有一定的挑战性袁但是本题具有多种求解思路袁能够培养学生思维的灵活性.在教师的引导下探究了三种解法袁解法1较为常见袁但是在求解过程中袁学生列出不等式组后遇到了一些障碍袁 无法继续求解.此时教师引导学生去观察袁跳出了直接求实数a的取值范围的约束袁 利用不等式的性质进行突破.但教师并没有止步于此袁而是引导学生探讨更为简便的方法袁 于是出现了解法2和解法3袁要求学生能够突破思维定式袁从受到制约的条件中跳脱出来袁经过连续转化袁使问题迎刃而解.这样的一题多解锻炼了学生思维的灵活性袁深化了学生对知识的认识袁使学生能够更加深刻地把握知识间的联系袁熟练地转化知识袁提升了思维能力.变式教学的目的不仅仅是引导学生找到解题方法袁更重要的是让学生理解知识间是可以相互转化的袁问题解决也不仅仅只有一条路径袁从而使学生学会知识迁移袁培养学生从多角度思考问题.多题重组，探究问题本质高三数学试题综合性较强袁题干条件较复杂袁对学生综合能力的要求较高袁仅仅依靠单一的知识点很难找到解题思路袁因此单一的机械式模仿难以提升学生的解题能力袁反而会挫伤学生的学习信心.通过练习一组考查同一知识点的不同试题袁能够提升学生的辨别能力袁避免被题干条件所迷惑袁引导学生从复杂的条件中探寻问题本质和解题路径.案例2 题组练习.问题2 关于x的不等式x3+tx原2ex2lnx恒成立袁求实数t的取值范围.解法1 将题干中的不等式x3+tx原2ex2lnx转化为x3+tx原2ex2原lnx0袁接着只需要求函数h渊x冤=x3+tx原2ex2原lnx的最小值大于零就能得到实数t的取值范围.解法2 将题干中的不等式x3+tx原2ex2lnx转化为x3原2ex2原lnx原tx袁进一步分离变量可得x3原2ex2原lnxx原t袁然后求解函数g渊x冤=x3原2ex2原lnxx的最小值大于原t即可袁或者研究函数g渊x冤的导数也能得到答案.解法3 同样进行不等式的转化袁将原不等式转化为x2原2ex+tlnxx袁由此构造两个函数h渊x冤=x2原2ex+t和g渊x冤=lnxx.通过观察这两个函数的图象可以发现袁x=e是函数h渊x冤的极小值点袁是函数g渊x冤的极大值点.如图1所示袁根据这两个函数图象的位置关系可得h渊e冤g渊e冤袁这样就可以求出实数t的取值范围了.eOyxh渊x冤g渊x冤图1解法分析 本题的解法1和解法2较复杂袁大部分学生都不能完成袁解法3较简便袁主要是因为学生对函数g渊x冤=lnxx的图象较熟悉袁学生研究得较透彻.通过几种不同的解法引导学生抓住简便解答这道题的思路是院利用问题的特殊性袁即当两个函数都有极值时袁观察图象的特征袁利用极值比较大小.问题3 证明院exx+1lnx+2.设计思路 本题组由两个问题组成袁两个问题考查的本质一样袁目的在于引导学生抓住问题的本质袁从不同的题干条件及设问方式中能很快地辨析问题考查的核心袁从而理解数学试题中野变冶与野不变冶的规律.本题组的两个问题的难度系数都较大袁 学生一般会用常规解法袁即通过分离变量或者一侧化零的方式求解袁但这样的思路很难获得答案.在教学中袁教师引导学生开动脑筋袁另辟蹊径袁通过变形构造出两个函数袁再利用两个函数之间的关系解决问题.这样的方法既简便又直观袁可以说起到了事半功倍的效果.在构造函数进行比较的过程中袁需要充分运用函数导数知识袁这能体现学生综合运用知识的能力.经常运用这类变式教学能够帮助学生归纳和总结一类题型袁使学生再次遇到类似问题时能够做到野心中有数冶.一题多变，提升逻辑准确性一题多变是变式教学的常用方式袁通过改变题干条件尧设问等进行变式练习袁利用问题拓展促使学生灵活运用知识解决问题.以一题多变的练习让学生在类比中深刻理解数学知识的内涵袁并注意题干条件和结论之间的关系袁从而准确应用数学知识探寻问题的解决路径.教学技巧80投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）0袁b0袁并且a+b=1袁请问你能得到哪些结论钥分析 可以得到这样的结论院ab 姨臆12袁a2+b2臆12袁1a+1b逸4袁渊1原a冤渊1原b冤臆14袁2a+1b逸3+22 姨渊当a=2 姨b时取等号冤袁a+1ab+1b逸254.另外还有容易被忽视的结论院0a1袁0b1袁0教学技巧81