S-dual模型产生的原初黑洞和次级引力波.pdf

S-dual 模型产生的原初黑洞和次级引力波*强琪超彭智谦郜青(西南大学物理科学与技术学院,重庆400715)(2023年 4月 14 日收到;2023年 5月 17 日收到修改稿)在 S-dual 暴涨模型中通过在非正则动能项中引入峰值函数,可产生丰度可观的原初黑洞和次级引力波.该模型分别在 1012,108和 105Mpc1对原初密度扰动的功率谱进行放大,产生了质量量级分别为 1013太阳质量、地球质量、行星质量的原初黑洞,以及峰值频率分别为毫赫兹、微赫兹、纳赫兹的次级引力波.其中在 1013太阳质量附近的原初黑洞可以解释全部的暗物质,产生的次级引力波能被未来的空间引力波探测器探测到.关键词：暴涨模型,原初黑洞,次级引力波PACS：04.30.w,98.80.Cq,98.80.kDOI:10.7498/aps.72.202306051引言2016 年 2 月 11 日,美国激光干涉引力波天文台(LIGO)宣布在 2015 年 9 月 14 日人类首次直接探测到了引力波1.这是 21 世纪物理学最重大的发现,它宣告了引力波天文学时代的到来,同时也为在强场和非线性区域检验引力理论提供了全新的手段.该发现获得了 2017 年诺贝尔物理学奖.这些引力波事件发现的黑洞有可能是原初黑洞.暴涨时期的密度扰动在进入辐射为主时期,就塌缩形成了原初黑洞2及次级引力波3.原初黑洞可以解释暗物质4以及第九行星5等问题.次级引力波作为随机引力波背景可以被脉冲星计时阵列(PTA)6以及未来的空间引力波探测器 LISA7,太极8和天琴9等探测到.近期有很多研究工作讨论能产生原初黑洞的暴涨模型.要产生足够丰度的原初黑洞暗物质,在小尺度上的扰动需要在 102量级10,而在大尺度上又需要满足微波背景辐射限制的 109量级11.一部分研究工作考虑用具有拐点或是非最小耦合的暴涨模型来讨论在小尺度上对功率谱的放大.在引入非动能项的暴涨中如 K/G 暴涨模型,有一种利用峰值函数来研究在小尺度上放大功率谱的新机制.这种新的机制同时适用于 Higgs 暴涨和 T 暴涨模型,且峰值函数和暴涨模型的函数形式都不会受到太大的限制,同时产生的引力波可以是宽谱或窄谱.g 1/g g e/MS-dual 起源于对电荷和磁荷的狄拉克量子化条件,其意味着在量子电动力学中和电荷弱耦合的理论与和磁单极强耦合的理论等价.这种体现强弱对偶的 S-dual 后来被推广到 IIB 型超弦理论中.对于 S-dual12暴涨模型,伸缩子标量场 的势函数在 S-dual 变换下,或 是不变的,其中 ,M 是具有普朗克质量量纲的数值.S-dual 暴涨模型在一定置信度范围符合普朗克卫星的观测结果.本文主要研究在带峰值函数的非正则动能项这种新的机制下,S-dual 暴涨模型产生的原初黑洞和次级引力波.2放大功率谱在 S-dual 暴涨模型中,引入非正则动能项,作用量为*国家自然科学基金(批准号:12175184)资助的课题.通信作者.E-mail:2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.16(2023)160401160401-1S=dx4g12R+X+G()X V(),(1)8G=1X=g/2其中 ,.S-dual 暴涨模型的势函数12为V()=V0sech(/M),(2)G()=Gp()+f()Gp()其中 ,峰值函数 为Gp()=h1+(|p|/w)q,(3)以及f()=f0sech(/M)6tanh(/M)2.(4)G()在暴涨之后的低能标阶段,非正则动能项 可以忽略,就回到广义相对论的情况.背景演化方程为3H2=122+V()+122G(),(5)H=1221+G(),(6)+3H+V+2G/21+G()=0,(7)G=dG()/dV=dV/d其中 ,.在慢滚近似中,曲率扰动方程为d2ukd2+(k21zd2zd2)uk=0.(8)Pk功率谱 和曲率扰动 的关系为P=k322|k|2=H44221+G()V3122V21+G().(9)G()pG()Gp()G()h从上述等式中发现,引入的非正则动能项 可以增强功率谱.在峰值 附近,的主要贡献来自于 且 ,所以功率谱可以通过增大h 实现.如果要把功率谱从 109的量级增大到 102的量级,h 至少是 107.另一方面,暴涨结束时宇宙膨胀的 e 指数的倍数 N 为N=eVVd+V(p)V(p)pp+Gp()d,(10)Gp()eGp()eNefff()所以 同时也增大了 N,且峰值函数对 N 的贡献约为 20,其中 和 分别代表出视界和暴涨结束时的 数值.峰值函数 在小尺度上增大了功率谱,同时让 更加接近 ,由于暴涨理论要求 N 的数值一般在 5060 之间,则在极慢滚之后的慢滚暴涨的 只能是 40 左右.在远离峰值时,峰值函数可以忽略不计,其中非正则动能项 起主导作用,利用如下的变化形式:d=1+f()d.(11)U()=V()=U01/3U0=(924/f0)1/6U()=U01/3Neff 40ns=0.971r=0.033f0=7.34 1054M=0.1pq=1q=5/4nsns 0.968r 0.04结合 以及 把非正则标量场 变换为正则标量场 .对于幂次势函数,得到谱指数 ,张标比 满足 2018 年普朗克卫星的观测限制结果.所以在这种机制下,S-dual 暴涨既满足了大尺度上普朗克的限制结果又在小尺度上放大了功率谱.求解背景方程(5)方程(7)和扰动方程(8)得到功率谱的数值解,取 ,h,w,的数值见表 1.表 1 中“S”代表 的窄谱,“WS”代表 的宽谱.下标“1”,“2”,“3”分别代表峰值处于不同的位置,“1”代表峰值位置在 1012Mpc1(Mpc=3.26106光年),“2”代表峰值位置在 108Mpc1,“3”代表峰值位置在105Mpc1.N,r 和峰值对应的尺度 k 的数值见表 1,对应的功率谱如图 1 所示,功率谱的数值见表 2,结果表明 ,与普朗克卫星的观测结果11符合ns=0.9649 0.0042(68%置信度),r0.05 300 GeVg=107.50.5 MeV 300 GeVg=10.75c=9c/4c=0.4kpeak其中 是太阳质量,现在暗物质的能量密度 ,当 时无量纲参数;当 时,且 .峰值处对应的原初黑洞质量与峰值尺度因子 之间的关系为10-3101105109/Mpc-110131017102110-110-310-510-710-910-11S1S2S3WS1WS2WS3PlanckEPTABBN-distortion图1不同模型的功率谱.实线代表 q=1 的模型,虚线代表 q=5/4 的模型.蓝色、红色和黑色分别代表峰值为 1012,108和 105Mpc1的模型.模型的参数和峰值见表 1,峰值对应的功率谱数值见表 2.浅绿色区域是被 CMB 观测结果排除的参数范围11,粉色、天蓝色和橘色区域分别代表EPTA6,BBN13,-distortion14排除的参数范围Fig.1.Power spectra of the different models.Implementthemodelrepresentingq=1,thedashedlinerepresentsthemodelofq=5/4.Blue,redandblackrespectivelyrepres-entthemodelwithapeakvalueof1012,108and105Mpc1.ParametersandpeakvaluesofthemodelareinTable1,andthepowerspectrumvaluescorrespondingtothepeakvalueareinTable2.ThelightgreenareaistheparameterrangeexcludedbytheCMBobservationresults11,andthepink,sky blue and orange areas represent the parameterrangeexcludedbyEPTA6,BBN13and-distortion14re-spectively.表2模型的峰值功率谱、原初黑洞质量、丰度和峰值频率的数值Table2.Peak power spectrum of the model,themass,abundanceandpeakfrequencyoftheprimaryblackhole.模型P(peak)Mpeak/M YpeakPBH fc/Hz S10.01285.2310130.6474.81103S20.01371.131063.511033.02106S30.018629.22.071036.221010WS10.01272.8810130.6874.95103WS20.01323.691066.151041.35106WS30.0185104.39.011042.96101010-1710-1210-710-2103PBH/10010-110-210-310-410-5PBHS1S2S3WS1WS2WS3WDSubaru HSCINTEGRALKeplerNANOGravEGEROS/MACHOCMBEG图2不同模型的原初黑洞丰度.模型参数同表 1,峰值对应的丰度和质量见表 2.阴影区域表示不同观测结果的排除区域,黄色区域是微波背景辐射的限制结果11(CMB);红色区域是利用银河系外 射线观测原初黑洞蒸发的限制结果15();天蓝色区域是银河系中心 511keV 射线的限制结果16(INTEGRAL);橘色区域是白矮星爆发的限制结果17(WD);绿色区域是源自 SubaruHSC 引力透镜事件的限制结果18(SubaruHSC);蓝色区域是开普勒卫星的限制结果19(Kepler);灰色区域是 EROS/MACHO 的限制结果20(EROS/MACHO);紫色区域是 2011 年 NANOGrav数据的限制结果21(NANOGrav)EGFig.2.Primary black hole abundance of different models.ModelparametersarethesameasTable1,andtheabund-ance and quality corresponding to the peak are listed inTable2.Shadedareasrepresentexclusionareasfordiffer-entobservations:theyellowareaistheresultoftherestric-tionofmicrowavebackgroundradiation11(CMB);theredareaistheresultoftherestrictionoftheprimaryblackholeevaporationobservedbytheextragalacticray15();theskyblueregionistheresultof511keVraylimitationatthecenterofthegalaxy16(INTEGRAL);theorangeareaistheresult of the limit of the white dwarf star explosion17(WD);thegreenareaisthelimitingresultofthegravita-tionallenseventfromSubaruHSC18(SubaruHSC);theblueareaisthelimitedresultofKeplersatellite19(Kepler);the grey area is the result of the limitation ofEROS/MACHO20(EROS/MACHO);thepurpleareaistheresult of the limitation of NANOGrav 2011-year data21(NANOGrav).物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.16(2023)160401160401-3M(k)=3.68(0.2)(g10.75)1/6(kpeak106Mpc1)2M.(15)1013M106M10M10M1013M106M将计算功率谱得到的数值结果代入方程(13)到方程(15)中,得到了原初黑洞的丰度以及峰值对应的质量,结果在表 2 和图 2 中.不同的参数模型对应不同的峰值位置,不同的峰值位置分别产生了不同质量的原初黑洞暗物质,且都满足目前的观测结果限制.模型分别产生了质量为 ,的原初黑洞暗物质.行星质量 左右的原初黑洞可以解释 LIGO/Virgo 观测到的引力波事件.质量在 附近的原初黑洞丰度接近 1,可以用来解释全部的暗物质.质量在 附近的原初黑洞可以解释第九行星.4次级引力波hk第一级和第二级的扰动混合在一起,一级标量扰动会导致产生二级张量扰动.在小尺度上的扰动达到 102量级,在这么强的扰动下重新进入视界之后,张量和标量的非线性耦合会产生次级引力波.二级张量扰动 为hk+2Hhk+k2hk=4Sk,(16)Sk其中一级标量扰动 为Sk=d3k(2)3/2eij(k)kikj2kkk+43(1+w)H2(k+Hk)(kk+Hkk),(17)H=aHw=p/=1/3eij(k)式中,辐射为主时期 ,是张量扰动,是规范不变的巴丁势函数.辐射为主时期次级引力波的能量密度为GW(k,)=16(kaH)20dv1+v|1v|du4v2(1 u2+v2)24uv I2RD(u,v,x )P(kv)P(ku),(18)I2RD(u,v,x )=12x23(u2+v2 3)(u+v 3)4u3v3+Tc(u,v,1)92+Ts(u,v,1)92,(19)Tc(u,v,1)Ts(u,v,1)式中,Q 为 Heaviside 函数.和 在文献 10 中给出.现在次级引力波的能量密度为GW(k,0)=GW(k,)r(0)r(),(20)r1013M其中 是辐射的能量密度.利用方程(19),将图 1中的功率谱代入方程(18)和方程(20)中,得到了现在次级引力波的能量密度,结果如图 3 所示.峰值对应的频率见表 2.从表 2 结果可以得到,峰值的频率分别为毫赫兹、微赫兹和纳赫兹.模型“WS1”,“WS2”,“WS3”对应比较宽的峰值范围,产生了宽谱的次级引力波.能够产生行星质量黑洞的模型“WS3”已经被 EPTA 的观测结果排除.产生地球质量左右黑洞的模型“WS2”可以解释第九行星,产生的次级引力波可能被未来的空间探测器 LISA,太极和天琴探测到.产生 质量黑洞的模型“S1”和“WS1”,可以解释丰度接近1 的暗物质,同时产生的次级引力波峰值的能量密度为 108左右,比原初引力波能量密度 1016的量级要强很多,也可能被未来的空间探测器 LISA、太极和天琴探测到.EPTASKATianQinLISAaLIGOTaiJi10-1010-810-610-410-2100102/Hz10-410-610-810-1010-1210-1410-16GW2S1S2S3WS1WS2WS3图3次级引力波的能量密度.模型参数同表 1,峰值对应的丰度和质量在表2 列出.橘色虚线表示EPTA 的限制结果6;天蓝色虚线表示 SKA 的限制结果22;绿色虚线表示天琴的限制结果9;紫色虚线表示太极的限制结果8;棕色虚线表示LISA 的限制结果7;灰色虚线表示aLIGO 的限制结果23Fig.3.Energydensityofsecondarygravitationalwaves,themodelparametersarethesameasTable1,andtheabund-ance and quality corresponding to the peak are listed inTable2.Theorangedottedlinerepresentsthelimitresultof EPTA6;the sky blue dotted line represents the limitresultofSKA22;thegreendottedlinerepresentsthelimitresult of Tianqin9;the purple dotted line represents thelimitresultofTaiji8;thebrowndottedlinerepresentsthelimitresultofLISA7;thegraydottedlinerepresentsthelimitresultofaLIGO23.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.16(2023)160401160401-45结论p在 S-dual 模型中,通过引入非正则动能项的机制,实现在小尺度上对功率谱的放大,同时产生丰度可观的原初黑洞以及可以被未来空间探测器探测到的次级引力波.在这种机制下,功率谱在大尺度上满足观测限制,且在小尺度上被放大到 102量级.取不同 q 数值时,在不同峰值位置产生的引力波可以是宽谱或窄谱.不同的 ,分别对应着不同尺度位置 1012,108和 105Mpc1对功率谱的放大.产生了质量量级分别为 1013太阳质量、地球质量、行星质量的原初黑洞,以及峰值频率分别为毫赫兹、微赫兹、纳赫兹的次级引力波.行星质量的原初黑洞可以解释被 LIGO/Virgo 探测到的黑洞,地球质量的原初黑洞可以解释第九行星,1013太阳质量的原初黑洞可以解释全部的暗物质.纳赫兹的次级引力波可以被 PTA 探测到,毫赫兹的次级引力波可被未来的空间探测器探测到.通过本文的研究,验证了引入非正则动能项的机制适用于 S-dual 模型.参考文献 AbbottBP,AbbottR,AbbottTD,etal.2016Phys.Rev.Lett.1160611021HawkingS1971Mon.Not.Roy.Astron.Soc.152752GaoQ,GongYG,LongJ2021Acta Scientiarum NaturaliumUniversitatis Sunyatseni6086(inChinese)郜青,龚云贵,龙江2021中山大学学报(自然科学版)60863CarrB,KuhnelF2020Annu.Rev.Nucl.Part.Sci.703554ScholtzJ,UnwinJ2020Phys.Rev.Lett.1250511035InomataK,NakamaT2019Phys.Rev.D990435116DanzmannK1997Class.Quantum Grav.1413997HuWR,WuYL2017Natl.Sci.Rev.46858Luo J,Ai L H,Ai Y L,et al.2021 Acta ScientiarumNaturalium Universitatis Sunyatseni601(inChinese)罗俊,艾凌皓,艾艳丽等2021中山大学学报(自然科学版)6019LuYZ,GongYG,YiZ,etal.2019J.Cosmol.Astropart.Phys.12110Akrami Y,Arroja F,Ashdown M,et al.2020 Astron.Astrophys.641A1011AnchordoquiLA,BargerV,GoldbergH,etal.2014Phys.Lett.B73413412Inomata K,Kawasaki M,Tada Y 2016 Phys.Rev.D 9404352713FixsenDJ,ChengES,GalesJM,etal.1996Astrophys.J.47357614CarrBJ,KohriK,SendoudaY,etal.2010Phys.Rev.D8110401915Dasgupta B,Laha R,Ray A 2020 Phys.Rev.Lett.12510110116GrahamPW,RajendranS,VarelaJ2015Phys.Rev.D9206300717NiikuraH,TakadaM,YasudaN,etal.2019Nature Astron.352418GriestK,CieplakM,LehnerMJ2013Phys.Rev.Lett.11118130219Tisserand P,Guillou L L,Afonso C,et al.2007 Astron.Astrophys.46938720ChenZC,ChenY,HuangQG2020Phys.Rev.Lett.12425110121MooreC,ColeR,BerryC2015 Class.Quantum Grav.3201501422AasiJ,AbbottBP2015Class.Quantum Grav.3207400123物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.16(2023)160401160401-5Primordial black holes and secondary gravitational wavesproduced by S-dual inflation model*QiangQi-ChaoPengZhi-QianGaoQing(School of Physical Science and Technology,Southwest University,Chongqing 400715,China)(Received14April2023;revisedmanuscriptreceived17May2023)AbstractItisdiscussedinthisworktoproduceprimordialblackhole(PBH)darkmatter(DM)andscalarinducedsecondarygravitationalwavesbyusingtheenhancementmechanismwithapeakfunctioninthenon-canonicalkineticterminS-dualinflation.Itisshownexplicitlythatthepowerspectrumfortheprimordialcurvatureperturbationcanbeenhancedat1012,108and105Mpc1,respectively,thattheprimordialblackholedarkmatter with peak mass around 1013 solar mass,the Earth s mass and the stellar mass are generated,respectively,andthatthescalarinducedgravitationalwavewithpeakfrequencyaroundmHz,HzandnHzarecreated,respectively.Theprimordialblackholewiththemassscale1013solarmasscanmakeupalmostallthedark matter and the associated scalar induced secondary gravitational waves is testable by spaced basedgravitationalwaveobservatory.The amplitude of primordial curvature perturbations on a small scale can become large by theenhancementmechanismwithapeakfunctioninthenon-canonicalkineticterm.WeapplytheenhancementmechanismtoS-dualinflationtoproduceabundantPBHsandobservablescalarinducedgravitationalwaves(SIGWs).The power spectrum on a large scale is consistent with observational constraint,and the powerspectrumonasmallscaleisenhancedtothe0.01.Itispossiblethateithersharppeakorbroadpeakpossessesadifferentpeakshapeforthepeakfunctionbychoosingadifferentvalueofq.Byadjustingthepeakpositionfpin the peak function,the power spectrum is enhanced on a different scale,henceforth associated with thegenerationofSIGWswithadifferentpeakfrequency,PBHswithdifferentmassareproduced.Wechoosethreedifferentvaluesoffptoobtainenhancepowerspectrumat1012,108and105Mpc1,respectively.TheenhancedcurvatureperturbationproducesPBHDMwithpeakmassaround1013solarmass,theEarthsmassandthestellarmass,andSIGWwithpeakfrequencyaroundmHz,HzandnHz,respectively.ThestellarmassPBHsmayexplainblackholesobservedbyLIGO/Virgocollaboration,andtheearth-massPBHsmayexplaintheplanet9.ThePBHwiththemassscale1013solarmasscanmakeupalmostallthedarkmatter.TheSIGWwiththepeakfrequencyaroundnHzistestablebypulsartimingarrayobservations,andSIGWwiththepeakfrequencyaroundmHzistestablebyspacebasedGWobservatory.Theresultsshowthattheenhancementmechanismwithapeakfunctioninthenon-canonicalkinetictermworksforS-dualinflation.Keywords:inflationmodels,primordialblackholes,secondarygravitationalwavesPACS:04.30.w,98.80.Cq,98.80.kDOI:10.7498/aps.72.20230605*ProjectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(GrantNo.12175184).Correspondingauthor.E-mail:物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.16(2023)160401160401-6