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数理科学与信息科学研究3阶广义Fibonacci和Lucas复数杨衍婷，赵建堂（咸阳师范学院 数学与统计学院，陕西 咸阳 712000）摘要：将3阶广义Fibonacci和Lucas数的定义推广到3阶广义Fibonacci和Lucas复数，给出了3阶广义Fibonacci和Lucas复数之间的递推关系，研究了3阶广义Fibonacci和Lucas复数的生成函数和Binet型公式，同时，借助Binet型公式得到了Vajda，Catalan，Cassini以及dOcagne恒等式，这些恒等式的获得有助于研究广义Fibonacci和Lucas复数。关键词：Fibonacci复数；Lucas复数；Binet型公式；生成函数中图分类号：O15文献标识码：A文章编号：1672-2914（2023）04-0011-04On the 3-Generalized Fibonacci and Lucas Complex NumbersYANG Yanting，ZHAO Jiantang（School of Mathematics and Statistics,Xianyang Normal University,Xianyang 712000,Shaanxi,China）Abstract：The definition of 3-generalized Fibonacci and Lucas numbers is extended to 3-general-ized Fibonacci and Lucas complex numbers.The recurrence relation between 3-generalized Fibonacciand Lucas complex numbers is given.The generating function and the Binet-type formula of 3-general-ized Fibonacci and Lucas complex numbers are studied.At the same time,with the help of Binet typeformula,some identities such as Vajda s identity,Catalan s identity,Cassini s identity,and d Ocagnes identity are derived which can help us to study some properties of these complex numbers.Key words：Fibonacci complex numbers;Lucas complex numbers;Binet type formula;generatingfunctions收稿日期：2023-04-15基金项目：陕西省自然科学基础研究计划项目（2023JCYB082）；陕西省教育科学“十四五”规划课题（SGH22Y1441）；咸阳师范学院教改项目（2021Y008）。作者简介：杨衍婷（1985），女，陕西周至人，咸阳师范学院数学与统计学院讲师，博士，研究方向为应用数学。E-mail：。2023年7月咸阳师范学院学报Jul.2023第38卷 第4期Journal of Xianyang Normal UniversityVol.38 No.4Fibonacci数是最著名的数列之一，它具有许多有趣的性质，在数学、计算机等领域有着重要的应用。关于Fibonacci数，有许多推广的定义和性质。在文献1中，Kalman 引入了k阶广义 Fibonacci数。特别地，3阶广义Fibonacci数通过递推关系式定义如下U(3)n=aU(3)n-1+bU(3)n-2+cU(3)n-3,n3（1）其中U(3)0=U(3)1=0,U(3)2=1。类似地，3阶广义Lu-cas数定义为V(3)n=aV(3)n-1+bV(3)n-2+cV(3)n-3,n3（2）其中V(3)0=3,V(3)1=a,V(3)2=a2+2b。3阶广义Fibo-nacci和Lucas数的Binet型公式为U(3)n=n()-)(-+n()-)(-+n()-()-，（3）V(3)n=n+n+n（4）其中,分别是方程x3-ax2-bx-c=0的不同根。具有负下标的3阶广义Fibonacci和Lucas 数定义为U(3)-n=-n()-()-+-n()-()-+-n()-()-，（5）V(3)n=-n+-n+-n。（6）根据具有非负下标和负下标的3阶广义 Fibo-nacci 和 Lucas numbers 的定义，对于任意的整数m，有U(3)m=aU(3)m-1+bU(3)m-2+cU(3)m-3，V(3)m=aV(3)m-1+bV(3)m-2+cV(3)m-3基于等式nn+nn+nn()-+()-+()-=0可得非负下标和负下标的序列之间的恒等关系U(3)-n=1cn()U(3)2n-U(3)nV(3)n,n0（7）V(3)-n=12cn(V(3)n)2-V(3)2n,n0（8）标记=(-)(-)(-)。在Binet型公式中，左右两边同时乘以，可得3阶广义Fibonacci和Lu-cas 数之间的关系V(3)n=aU(3)n+1+2bU(3)n+3cU(3)n-1,nZ。（9）1963年，Horadam2引入了Fibonacci复数的概念F*n=Fn+Fn+1i(n0)，Fn是 Fibonacci 数列的第n项，i是虚数单位，满足i2=-1。类似地，Gaussian Fi-bonacci 数定义为Gn=Fn+Fn-1i(n2)，初始条件G0=i,G1=1，且i2=-1。1977年，Berzsenyi3在Fi-bonacciQ矩阵的基础上给出了Gaussian Fibonacci的封闭形式。近年来，人们对Fibonacci复数的研究越来越感兴趣4-10。例如，Jiang4证明了Gaussian Fi-bonacci循环型矩阵在n2下是可逆矩阵，并给出了其行列式的值和逆矩阵。Pethe5给出了复Tribonac-ci序列在高斯整数上的恒等式。Soykan6定义了高斯广义Tribonacci数，并作为特例给出了高斯Tribo-nacci 数和高斯 Tribonacci-Lucas 数的性质。Tasci7定义了高斯Tetranacci序列并给出了生成函数、Binet型公式、求和公式及高斯Tetranacci数的矩阵表示。Soykan8定义了广义Gaussian Hexanacci数，研究了它们的性质，得到了一些恒等式，并给出了GaussianHexanacci 数的矩阵形式。Soykan9和 Prasad10将Gaussian Fibonacci数用于编码/解码理论。1 3阶广义Fibonacci和Lucas复数的定义本文中，3阶广义Fibonacci和Lucas复数C(3)n与D(3)n定义如下C(3)n=U(3)n+U(3)n+1i,nZ（10）D(3)n=V(3)n+V(3)n+1i,nZ（11）其中i是虚数单位，满足i2=-1，U(3)n和V(3)n分别是3阶广义Fibonacci和Lucas数。根据3阶广义Fibonacci和Lucas复数的定义，对于任意的整数nC(3)n=aC(3)n-1+bC(3)n-2+cC(3)n-3，（12）D(3)n=aD(3)n-1+bD(3)n-2+cD(3)n-3（13）同时，C(3)n的共轭复数C(3)n、D(3)n的共轭复数D(3)n满足递推关系C(3)n=aC(3)n-1+bC(3)n-2+cC(3)n-3,nZ（14）D(3)n=aD(3)n-1+bD(3)n-2+cD(3)n-3,nZ（15）D(3)n=aC(3)n+1+2bC(3)n+3cC(3)n-1,nZ（16）2 主要结论证明为了研究3阶广义Fibonacci和Lucas复数的性质，首先给出定理1。定理13阶广义Fibonacci和Lucas复数的生成函数如下G(t)=C(3)0+()C(3)1-aC(3)0t1-at-bt2-ct3+()C(3)2-aC(3)1-bC(3)0t21-at-bt2-ct3，（17）H(t)=D(3)0+()D(3)1-aD(3)0t1-at-bt2-ct3+()D(3)2-aD(3)1-bD(3)0t21-at-bt2-ct3。（18）证明：设G(t)=n=0C(3)ntn=C(3)0+C(3)1t+C(3)2t2+C(3)ntn+是3阶广义Fibonacci复数的生成函数，则atG(t)=aC(3)0t+aC(3)1t2+aC(3)2t3+aC(3)ntn+1+，bt2G(t)=bC(3)0t2+bC(3)1t3+bC(3)2t4+bC(3)ntn+2+，ct3G(t)=cC(3)0t3+cC(3)1t4+cC(3)2t5+cC(3)ntn+3+。从而根据等式（12）可得3阶广义Fibonacci复数的生成函数。同理可以得到3阶广义Lucas复数的生成函数。定理2（Binet 型公式）对于任意的整数n，3阶广义Fibonacci和Lucas复数的Binet型公式如下12咸阳师范学院学报第38卷C(3)n=_n(-)(-)+_n(-)(-)+_n(-)(-)，（19）D(3)n=_n+_n+_n（20）其中_=1+i,_=1+i,_=1+i。证明：根据等式（3）-（6）和（10）-（11），可得结论。记Ak=(-9c-bc)C(3)1-k+(12c2-4b2)C(3)-k+(b2c-3bc-4c3)C(3)-1-k。借助于Binet型公式，可得3阶广义Fibonacci和Lucas复数的Vajda恒等式。定理 3（Vajda恒等式）对于任意的整数n，当a=c时，3阶广义Fibonacci复数的Vajda恒等式如下C(3)n+mC(3)n+r-C(3)nC(3)n+m+r=cn2(cmV(3)r-mAn+m-V(3)r+mAn-cmAn+2m-r+An-m-r)。（21）证明：利用定理2的Binet型公式，通过计算可得C(3)n+mC(3)n+r-C(3)nC(3)n+m+r=12_(-)(-)n+mn+m()r-m+r-m-nn()m+r+m+r+_()-()-n+mn+m()r-m+r-m-nn()m+r+m+r+_()-)(-n+mn+m()r-m+r-m-nn()m+r+m+r（22）因为、是方程x3-ax2-bx-c=0的不同根，通过加项减项，式（22）可变换为C(3)n+mC(3)n+r-C(3)nC(3)n+m+r=12a-22-c-ac+2c+c22cn+mn+m()V(3)r-m-r-m-cnn()V(3)r+m-r+m+23+a2-3a2-ac+c cn+mn+m()V(3)r-m-r-m-cnn()V(3)r+m-r+mi+a-22-c-ac+2c+c22cn+mn+m(V(3)r-m-r-m)-cnn(V(3)r+m-r+m)+23+a2-3a2-ac+c cn+mn+m(V(3)r-m-r-m)-cnn(V(3)r+m-r+m)i+a-22-c-ac+2c+c22cn+mn+m(V(3)r-m-r-m)-cnn(V(3)r+m-r+m)+23+a2-3a2-ac+c cn+mn+m(V(3)r-m-r-m)-cnn(V(3)r+m-r+m)i（23）将式（23）的实部变换为关于3阶广义Lucas数的表达式，即12cn+mV(3)r-m(a+2c)V(3)1-m-n-2V(3)2-m-n-cV(3)-1-m-n-acV(3)-m-n+c2V(3)-2-m-n-cn+m()a+2c V(3)1+r-2m-n-2V(3)2+r-2m-n-cV(3)-1+r-2m-n-acV(3)r-2m-n+c2V(3)-2+r-2m-n-cnV(3)r+m(a+2c)V(3)1-n-2V(3)2-n-cV(3)-1-n-acV(3)-n+c2V(3)-2-n+cn()a+2c V(3)1+r+m-n-2V(3)2+r+m-n-cV(3)-1+r+m-n-acV(3)r+m-n+c2V(3)-2+r+m-n同样地，式（23）的虚部做类似变换，基于等式（11），（14）-（16），通过合并同类项可得定理2的结论。定理4（Vajda恒等式）对于任意的整数n，当a=c时，3阶广义Lucas复数的Vajda恒等式如下D(3)n+mD(3)n+r-D(3)nD(3)n+m+r=cn+mV(3)r-mD(3)-n-m-cn+m+1V(3)r-mD(3)-n-m-1-cn+mD(3)r-n-2m+cn+m+1D(3)r-n-2m-1-cnV(3)r+mD(3)-n+cn+1V(3)r+mD(3)-n-1+cnD(3)r+m-n-cn+1D(3)r+m-n-1（24）证明：根据D(3)n的定义，可得D(3)n+mD(3)n+r-D(3)nD(3)n+m+r=_n+mn+m()r-m+r-m-nn()m+r+m+r+_n+mn+m()r-m+r-mnn(m+r+m+r)+第4期杨衍婷，等：3阶广义Fibonacci和Lucas复数13_n+mn+m()r-m+r-m-nn()m+r+m+r（25）考虑到、是方程x3-ax2-bx-c=0的不同根，通过加项减项，等式（25）转化为D(3)n+mD(3)n+r-D(3)nD(3)n+m+r=1-c+ai-icn+mn+m()V(3)r-m-r-m-cnn()V(3)r+m-r+m+1-c+ai-i cn+mn+m()V(3)r-m-r-m-cnn()V(3)r+m-r+m+1-c+ai-i cn+mn+m()V(3)r-m-r-m-cnn()V(3)r+m-r+m（26）通过合并同类项，在等式（15）的基础上，可得结论。下面，给出Vajda等式的特殊情况。推论 1（Cassini 等式）对于r=-m=1，a=c，Cassini等式为C(3)n-1C(3)n+1-(C(3)n)2=cnC(3)-n-cn-1C(3)1-n，（27）D(3)n-1D(3)n+1-(D(3)n)2=2cn+1C(3)-n-1-cn(c2+2b+3)C(3)-n+cn-1(c2+b)C(3)1-n（28）推论2（Catalan等式）对于r=-m，a=c，Cata-lan等式为C(3)n-rC(3)n+r-()C(3)n2=cn-r2()V(3)2rAn-r-An-3r-2crAn，（29）D(3)n-rD(3)n+r-()D(3)n2=cn-rV(3)2rD(3)r-n-cn-rD(3)3r-n-cn-rV(3)2rD(3)r-n-cn-rD(3)3r-n-cn-r+1V(3)2rD(3)-1+r-n+cn-r+1D(3)-1+3r-n-2cnD(3)-n+2cn+1D(3)-1-n（30）推论3（dOcagne等式）对于r=j-n，m=1，a=c，dOcagne等式为C(3)n+1C(3)j-C(3)nC(3)j+1=cn2(cV(3)j-n-1An+1-)V(3)j-n+1An-cA2n+2-j+A2n-1-j，（31）D(3)n+1D(3)j-D(3)nD(3)j+1=()cn+1V(3)j-n-1+cn+1V(3)j-n+1D(3)-n-1-cn+2V(3)j-n-1D(3)-n-2-cnV(3)j-n+1D(3)-n-bcn+1D(3)j-2n-2+()bcn-cn+2D(3)j-2n-1+cn+1D(3)j-2n。（32）参考文献：1KALMAN D.Generalized Fibonacci numbers by matrixmethodsJ.Fibonacci Quartly，1982，20（1）：73-76.2HORADAM A F.Complex Fibonacci numbers and Fibonac-ci quaternionsJ.The American Mathematical 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咸阳师范学院学报第38卷