Maxwell分布的图像特征及统计分析.pdf

Maxwell 分布的图像特征及统计分析绎邱珍珠袁徐晓岭袁顾蓓青渊上海对外经贸大学统计与信息学院袁 上海201620冤摘要院针对 Maxwell 分布袁 首先袁 考察了 Maxwell 分布的图像特征袁 从理论上证明了失效率函数尧 平均失效率函数和平均剩余寿命函数的单调性曰 其次袁 在全样本场合下袁 给出了尺度参数的极大似然估计尧 矩估计袁 考察了估计的无偏性袁 证明了估计的相合性袁 并通过模拟比较了点估计的优劣曰 然后袁 还给出了求尺度参数区间估计的 3 种方法袁 通过模拟比较了区间估计的优劣曰 最后袁 通过模拟算例及实例分析说明了所提出方法的适用性袁 具有一定的实用价值遥关键词院Maxwell 分布曰 无偏性曰 相合性曰 区间估计曰 Monte Carlo 模拟中图分类号院 TB 114.3文献标志码院 A文章编号院 1672-5468 渊2023冤 03-0027-08doi:10.3969/j.issn.1672-5468.2023.03.006Image Features and Statistical Analysis of MaxwellDistributionQIU Zhenzhu袁 XU Xiaoling袁 GU Beiqing渊School of Statistics and Information袁 Shanghai University of International Business and Economics袁Shanghai 201620袁 China冤Abstract院For the Maxwell distribution袁 the image features of the Maxwell distribution are firstlyinvestigated袁 and the monotonicity of the failure rate function袁 the average failure rate functionand average remaining life function are proved theoretically.Secondly袁 in the case of full sample袁the maximum likelihood estimation and moment estimation of the scale parameter are given袁 theunbiasedness of the estimations is investigated袁 the consistency of the estimations is proved袁 andthe advantages and disadvantages of the point estimation are compared by simulation.Then袁 threemethods for interval estimates of scale parameters are given袁 and the advantages and disadvantagesof interval estimates are compared through simulations.Finally袁 the applicability of the proposedmethod is illustrated by simulation and arithmetic example analysis袁 which has certain praticalvalue.Keywords院Maxwell distribution曰 unbiasedness曰 consistency曰 interval estimation曰 Monte Carlosimulation绎基金项目院 国家自然科学基金项目 渊11671264冤 资助遥收稿日期院 2022-07-01作者简介院 邱珍珠 渊1997要冤袁 女袁 江西丰城人袁 上海对外经贸大学统计与信息学院硕士研究生袁 研究方向为数理统计学遥电 子 产 品 可 靠 性 与 环 境 试 验耘蕴耘悦栽砸韵晕陨悦 孕砸韵阅哉悦栽 砸耘L陨粤月陨蕴I栽再 粤晕阅 耘晕灾陨R韵晕酝耘晕栽粤蕴 栽耘杂栽陨晕郧可靠性与环境适应性理论研究阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕27电子产品可靠性与环境试验阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕电子产品可靠性与环境试验2023 年0引言Maxwell 分布广泛地应用于许多问题袁 尤其是在物理学中遥 基于该分布失效率递增的特点袁 它在寿命试验和可靠性研究中非常有用遥 在可靠性理论和寿命试验分析的研究中袁 通常作为产品寿命的模型有指数分布尧 伽马分布和威布尔分布等其他分布遥 随着市场上新产品的出现和生存数据的多样化袁 人们往往需要更合理的统计分布对失效数据进行建模遥 Krishna H 等在文献 1 中说明了 Maxwell分布在某些情况下比指数尧 伽马和威布尔等常用的失效模型更适合作为一种失效模型曰 桂春燕在文献 2 中给出了 Maxwell 分布的一些特性曰 王晓红等在文献 3 中给出了 Maxwell 分布在全样本场合下参数的极大似然估计和几种不同损失函数下的贝叶斯估计曰 吴志超等在文献 4 中通过构建枢轴量研究了 Maxwell 分布参数的最短置信区间曰Dey 等在文献 5 中给出了在几种不同的损失函数下袁 考虑非信息先验和共轭先验袁 推导了 Maxwell分布参数的贝叶斯估计曰 Al-obedy 在文献 6 中研究了 Maxwell 分布尺度参数的极大似然估计和在不同先验信息下的贝叶斯估计遥1Maxwell 分布的图像特征设非负随机变量 X 服从 Maxwell 分布袁 记为XMW 渊滓冤袁 其密度函数 f 渊x冤 和分布函数 F 渊x冤分别为院f渊x冤=1滓2蓸蔀322仔姨x2exp-x22滓2蓸蔀渊1冤F渊x冤=2仔姨12x滓蓸 蔀0乙z12exp渊-z)dz=2仔姨1-祝12x滓蓸蔀2袁32蓸蔀蓘蓡渊2冤式 渊1冤 渊2冤 中院 x袁 滓要要要尺度参数袁 x逸0袁 滓0曰祝渊x袁 琢冤 要要要不完全伽马函数袁 祝 渊x袁 琢冤=+肄x乙exp 渊-t冤 t琢-1dt遥下面给出参数 滓 取不同值时袁 Maxwell 分布的密度函数与分布函数图像袁 如图 1 所示遥定理 17院 对于所有的参数值袁 Maxwell 分布的密度函数 f 渊x冤 均先递增后递减袁 呈现 野倒浴盆冶 形袁 当 x=2姨滓 时袁 f 渊x冤 取得最大值袁f 渊x冤max=1滓2仔姨exp 渊-1冤袁 且limx寅0+f 渊x冤=0袁limx寅+肄f 渊x冤=0遥引理 16院 如果随机变量 XMW 渊滓冤袁 则 X的 k 阶矩为 E 渊Xk冤=1仔姨2k+22滓k祝k+32蓸蔀渊3冤易见院 一阶矩为 E 渊X冤=8仔姨滓曰 二阶矩为E 渊X2冤=3滓2曰 三阶矩为 E 渊X3冤=82仔姨滓3曰 四阶矩为 E 渊X4冤=15滓4遥Glaser 在文献 8 中利用密度函数给出一个过图 1不同参数下 Maxwell 分布的密度函数 f 渊x冤 与分布函数 F 渊x冤 图像f渊x冤1.21.00.80.60.40.2012345x0.51230.5123x012345F渊x冤1.00.80.60.40.2af 渊x冤 图像bF 渊x冤 图像28阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕第 3 期渡函数 浊 渊x冤=-f 渊x冤/f 渊x冤袁 提出了决定单变点失效率的单调性的方法遥引理 28院 设 T 为非负连续型随机变量袁 其密度函数 f 渊t冤 存在二阶导数袁 失效率函数为 姿渊x冤袁记 浊 渊t冤=-f渊t冤/f 渊t冤袁 着=limt寅0f 渊t冤袁 啄=limt寅0浊 渊t冤/姿 渊t冤袁 有如下结论遥a冤 若 浊 渊t冤 0袁 即 浊 渊t冤 严格单调增加袁 则姿 渊t冤 严格单调增加遥b冤 若 浊 渊t冤 0袁 即 浊 渊t冤 严格单调下降袁 则姿 渊t冤 严格单调下降遥c冤 若 浊 渊t冤 呈 野浴盆冶 形袁 则院1冤 若 着=0 或 啄1袁 则 姿 渊t冤 呈 野浴盆冶 形遥d冤 若 浊 渊t冤 呈 野倒浴盆冶 形袁 则院1冤 若 着=0 或 啄1袁 则 姿 渊t冤 严格单调下降遥定理 2院 如果随机变量 XMW 渊滓冤袁 则失效率函数 姿 渊t冤 是严格单调递增的袁 且limx寅0+姿 渊x冤=0袁limx寅+肄姿 渊x冤=+肄遥证明院失效率函数为 姿 渊x冤=f 渊x冤R 渊x冤=1滓2蓸蔀322仔姨x2exp-x22滓2蓸蔀1-2仔姨1-祝12x滓蓸蔀2袁32蓸蔀蓘蓡袁 x0渊4冤则limx寅0+姿 渊x冤=limx寅0+f渊x冤1-F渊x冤=0 曰limx寅+肄姿 渊x冤=limx寅+肄f 渊x冤R 渊x冤=limx寅+肄x2-2滓2滓2x=+肄因为 浊 渊x冤=-f 渊x冤f 渊x冤=x2-2滓2滓2x曰 浊 渊x冤=x2滓2+2滓4渊滓2x冤2=x2+2滓2滓2x20因此袁 根据引理 2 可知 Maxwell 分布的失效率函数 姿 渊x冤 是严格单调递增遥定理 3院 如果随机变量 XMW 渊滓冤袁 则平均失效率函数 G 渊x冤 是严格单调递增袁 且函数 G 渊x冤满足limx寅0+G渊x冤=0袁limx寅+肄G渊x冤=+肄遥证明院平均失效率函数为 G渊x冤=-ln1-F渊x冤x=-1xln 1-2仔姨1-祝12x滓蓸蔀2袁32蓸蔀蓘蓡蓘蓡袁 x0渊5冤则limx寅0+G 渊x冤=limx寅0+f渊x冤1-F渊x冤=0曰limx寅+肄G 渊x冤=limx寅+肄f渊x冤1-F渊x冤=limx寅+肄x2-2滓2x滓2=+肄平均失效率函数 G渊x冤 的一阶导函数院G渊x冤=1x2xf渊x冤1-F渊x冤+ln 1-F 渊x冤嗓瑟袁 x0 渊6冤令函数院G1渊x冤=xf渊x冤1-F渊x冤+ln 1-F 渊x冤袁 x0渊7冤则limx寅0+G1渊x冤=0曰limx寅+肄G1渊x冤=limx寅+肄xf渊x冤+1-F渊x冤ln1-F渊x冤1-F渊x冤=limx寅+肄ln1-F渊x冤+x2滓2-2嗓瑟渊8冤由limx寅+肄ln1-F渊x冤x2=-12limx寅+肄x-1f渊x冤1-F渊x冤=-12limx寅+肄x-2-f渊x冤+xf渊x冤-f渊x冤=-12滓2渊9冤所以limx寅+肄ln1-F渊x冤x2+1滓2-1x2=12滓2袁则limx寅+肄G1渊x冤=+肄G1渊x冤=f渊x冤1-F渊x冤22-x2滓2蓸蔀1-F渊x冤+xf 渊x冤嗓瑟渊10冤令函数院G2渊x冤=2-x2滓2蓸蔀1-F渊x冤+xf 渊x冤袁 x0渊11冤则limx寅0+G2渊x冤=2袁limx寅+肄G2渊x冤=0G2渊x冤=x-2滓21-F渊x冤+f 渊x冤x嗓瑟渊12冤令函数院G3渊x冤=-2滓21-F渊x冤+f渊x冤x袁 x0渊13冤则limx寅0+G3渊x冤=-2滓2袁limx寅+肄G3渊x冤=0G3渊x冤=f渊x冤x2x2滓2+1蓸蔀0渊14冤由 G3渊x冤0袁 可知函数 G3渊x冤严格单调递增袁邱珍珠等院 Maxwell 分布的图像特征及统计分析29电子产品可靠性与环境试验阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕电子产品可靠性与环境试验2023 年因为limx寅0+G3渊x冤=-2滓2袁limx寅+肄G3渊x冤=0袁 可得 G2渊x冤0袁 则函数 G1渊x冤严格单调递增袁 又因为limx寅0+G1渊x冤=0袁limx寅+肄G1渊x冤=+肄袁 可得 G渊x冤0袁 所以平均失效率函数 G渊x冤严格单调递增遥引理 49院 设随机变量 X 的失效率函数为 s渊x冤袁平均剩余寿命函数为 m渊x冤袁 则院1冤 若 s渊x冤是单增的袁 则 m渊x冤是单减的曰2冤 若 s渊x冤是单减的袁 则 m渊x冤是单增的曰3冤 设 s渊x冤是浴盆形的袁 若 m渊0冤s渊0冤臆1袁 则m渊x冤是单减的曰 若 m渊0冤s渊0冤1袁 则 m渊x冤是倒浴盆形的曰4冤 设 s渊x冤是倒浴盆形的袁 若 m渊0冤s渊0冤逸1袁则 m渊x冤是单增的曰 若 m渊0冤s渊0冤0渊15冤则limx寅+肄m渊x冤=limx寅+肄+肄x乙1-F渊x冤dtR渊x冤=limx寅+肄滓2xx2-2滓2=0曰limx寅0+m渊x冤=E 渊X冤=8仔姨滓由于失效率函数严格单调递增袁 根据引理 4 可知 Maxwell 分布的平均剩余寿命函数 m 渊x冤是严格单调递减的遥下面给出参数 滓 取不同值时袁 Maxwell 分布的失效率函数 姿 渊x冤尧 平均失效率函数 G 渊x冤 和平均剩余寿命函数 m 渊x冤 的图像如图 2 所示遥2全样本场合下 Maxwell分布的点估计2.1 矩估计设总体 XMW 渊滓冤袁 则该参数 滓 的矩估计为院滓赞1=仔8姨X曰 矩估计的期望和方差分别为院E渊滓赞1冤=仔8姨E渊X冤=滓曰 Var渊滓赞1冤=仔8nVar渊X冤=渊3仔-8冤滓28n渊16冤所以滓赞1为 滓 的无偏估计袁 由limn寅+肄Var 渊滓赞1冤=0袁图 2Maxwell 分布的不同函数的图像姿渊x冤1.51.00.50.00.51.01.5x0.5123G渊x冤0.080.060.040.020.00.20.40.60.8x0.5123m渊x冤543210246x0.5123a失效率函数 姿渊x冤b平均失效率函数 G渊x冤b平均剩余寿命 m渊x冤30阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕第 3 期可知滓赞1为 滓 的相合估计遥2.2 极大似然估计设 总 体 X MW 渊 滓冤 袁 x1袁 x2噎 xn是 来 自Maxwell 分布的样本容量为 n 的简单随机样本袁 则似然函数为院L渊滓冤=ni=1仪1滓2蓸蔀322仔姨xi2exp-xi22滓2蓸蔀渊17冤对数似然函数为院lnL渊滓冤=-3nln滓+12渊ln2-ln仔冤+2ni=1移lnxi-ni=1移xi22滓2渊18冤对上式关于 滓 求导袁 可以得到参数 滓 的极大似然估计为滓赞MLE=13n姨ni=1移Xi2姨遥引理 510院 设 X1袁 X2噎Xn是来自总体 X 的容量为 n 的一个简单随机样本袁 记 E渊X冤=滋袁 D渊X冤=滓2+肄袁 该总体 X 的四阶中心矩 淄4=E X-E 渊X冤4有限袁 若函数 h渊x冤的四阶导数存在且有界袁 则有院Eh渊X冤=h渊滋冤+12nh渊滋冤滓2+O渊n-2冤渊19冤Dh渊X冤=1nh渊滋冤2滓2+1n2喳h渊滋冤h渊滋冤淄3+12h渊滋冤2滓4+h渊滋冤h鸳渊滋冤滓4札+O渊n-3冤渊20冤下面给出参数极大似然估计的期望和方差遥首先袁 令 Yi=X2i袁 则滓赞MLE=13姨1nni=1移Yi姨=13姨Y軍姨=h 渊Y冤袁 相应 Y 的期望和方差还有三阶 中 心 距 淄3分 别 为 院 E 渊 Y 冤=E 渊 X2冤=3滓2袁D 渊Y冤=D渊X2冤=6滓4袁 淄3=EY-E渊Y冤3=24滓6而 h渊y冤=13姨y姨袁 h渊y冤=123y姨袁 h渊y冤=-143姨y-32袁 h渊y冤=3姨8y-52根据引理 5 可得院Eh渊Y冤=渊1-112n冤滓+O渊n-2冤渊21冤Dh渊Y冤=渊16n-172n2冤滓2+O渊n-3冤渊22冤则limn寅+肄Eh渊Y冤=limn寅+肄渊1-112n冤滓=滓曰limn寅+肄Dh渊Y冤=limn寅+肄12n-172n2滓2=0于是滓赞MLE为 滓 的渐进无偏估计且是相合的遥2.3 点估计的 Monte Carlo 模拟为了考察参数点估计的精度袁 取样本量 n=10袁 15袁 20袁 30袁 50袁 参数真值为 滓=1袁 通过 10 000次 Monte Carlo 模拟试验产生来自 Maxwell 分布总体的简单随机样本袁 对比两种估计方法的效果袁 为此分别计算了参数 滓 的极大似然估计尧 矩估计的均值尧 偏差和均方误差袁 模拟的结果如表 1 所示遥从表 1 中可以看出院1冤 当样本量增大时袁 两种点估计方法的均方误差都逐渐减少曰2冤 极大似然估计的均方误差比矩估计的均方误差要小袁 所以认为极大似然估计更优遥3全样本场合下 Maxwell 分布的区间估计3.1 区间估计方法一设总体 XMW 渊滓冤袁 X1袁 X2噎Xn为来自总体容量为 n 的一个简单随机样本袁 当样本容量较大时袁 由中心极限定理可知 U=n姨渊X軍-E 渊X冤冤Var 渊X冤姨=n仔姨X軍-8n姨滓3仔-8姨滓N 渊0袁 1冤袁 则对给定的显著性水平 琢袁 标准正态分布的 琢/2 的上侧分位数记为有U琢/2院Pn仔姨X軍-8n姨滓3仔-8姨滓蓘蓡臆U琢/2蓸蔀抑1-琢渊23冤表 1Monte Carlo 模拟结果n极大似然估计矩估计均值偏差均方误差均值偏差均方误差100.991 3-0.008 70.016 50.999 8-0.000 2 0.017 9150.993 6-0.006 40.011 00.999 5-0.000 5 0.011 7200.995 5-0.004 50.008 50.999 7-0.000 3 0.009 0300.997 2-0.002 90.005 51.000 30.000 30.005 9500.998 3-0.001 70.003 41.000 10.000 10.003 6邱珍珠等院 Maxwell 分布的图像特征及统计分析31电子产品可靠性与环境试验阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕电子产品可靠性与环境试验2023 年于是袁 参数 滓 置信水平为 1-琢 的近似区间估计为院n仔姨X軍22n姨+U琢/23仔-8姨袁n仔姨X軍22n姨-U琢/23仔-8姨蓘蓡遥3.2 区间估计方法二设总体 XMW 渊滓冤袁 则 F 渊X冤U 渊0袁 1冤袁且-lnF 渊X冤Exp 渊1冤遥 对于样本 X1袁 X2噎Xn袁有-2lnF渊X1冤袁-2lnF渊X2冤袁 噎袁-2lnF渊Xn冤相互独立且同服从于 字2渊2冤袁 则-2ni=1移lnF渊Xi冤字2渊2n冤遥对给定的显著性水平 琢袁 字2渊2n冤 的两侧分位数记为 字21-琢/2渊2n冤 和 字2琢/2渊2n冤袁 则院P渊字21-琢/2渊2n冤臆-2ni=1移ln2仔姨12xi滓蓸 蔀20乙z12exp渊-z冤dz 臆字2琢/2渊2n冤冤=1-琢渊24冤上式关于参数 滓 的两个不等式方程的根分别记为 滓1袁 滓2且 滓10袁 令-2ni=1移ln2仔姨窑12xi滓蓸 蔀20乙z12exp 渊-z冤 dz=琢袁 则关于 滓 的方程在渊0袁+肄冤 上有唯一正根遥证明院令函数 g渊滓冤=-2ni=1移ln2仔姨12xi滓蓸 蔀20乙z12exp渊-z冤dz渊25冤则lim滓寅+肄g渊滓冤=+肄曰lim滓寅0g渊滓冤=0又g渊滓冤=2ni=1移112xi滓蓸 蔀20乙z12exp渊-z冤 dz渊12渊xi滓冤2冤12exp-12渊xi滓冤2x2i滓30渊26冤所以 g渊滓冤=a在 渊0袁+肄冤 上有唯一正根遥因此袁 对给定的显著性水平 琢袁 参数 滓 的区间估计为 滓1袁 滓2遥3.3 区间估计方法三设总体 XMW 渊滓冤袁 X1袁 X2噎Xn为来自总体容量为 n 的一个简单随机样本袁 令 Y=X滓袁 则 Y 的分布函数 FY渊y冤的表达式为院 F渊y冤=2仔姨y220乙z12exp渊-z冤 dz袁 该分布函数与参数 滓 无关袁 则1滓ni=1移Xi为枢轴量遥 给定置信水平 1-琢袁1滓ni=1移Xi分布的双侧分位数分别记为 棕1-琢/2渊n冤袁 棕琢/2渊n冤袁 则院P渊棕1-琢/2渊n冤臆1滓ni=1移Xi臆棕琢/2渊n冤冤=1-琢渊27冤由此可得 滓 的区间估计为 1棕琢/2渊n冤ni=1移Xi袁1棕1-琢/2渊n冤ni=1移Xi遥记 棕琢渊n冤 为1滓ni=1移Xi的上侧 琢 分位数袁 通过10 000 次 Monte Carlo 模拟得到其部分取值袁 如表2 所示遥3.4 区间估计的 Monte Carlo 模拟为了考察参数 滓 3 种区间估计的精度袁 取样本量 n=10袁 15袁 20袁 25袁 30袁 50袁 置信水平为 90%袁参数真值 滓=1袁 通过 1 000 次Monte Carlo 模拟产生来自 Maxwell 分布的简单随机样本袁 分别计算参数滓 3 种区间估计的平均下限尧 平均上限尧 平均区间表 2上侧 琢 分位数 棕琢渊n冤表n0.990.9750.950.90.010.0250.050.11011.216 811.984 512.541 713.285 421.266 620.327 819.532 418.749 11518.102 318.961 019.728 820.665 330.247 529.170 128.350 327.303 32025.116 226.223 327.110 428.140 639.227 138.085 837.017 435.873 72532.464 133.500 134.544 635.660 247.771 746.470 645.568 644.247 33039.701 640.909 841.945 543.189 856.480 755.277 854.048 152.586 74054.044 555.472 756.687 258.175 274.282 472.443 870.986 869.428 15069.014 070.745 072.154 673.736 990.948 289.279 687.690 885.826 832阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕第 3 期表 3滓 真值为 1 时区间估计模拟结果长度和区间包含真值的个数袁 具体数值结果如表 3所示遥 从表 3 中的结果可以看到院1冤 滓 真值一定时袁 随样本量的增加袁 3 种区间估计的平均下限呈递增趋势袁 平均上限呈递减趋势袁 平均区间长度递减袁 且区间包含参数真值的个数为 900 左右曰2冤 不管样本量为多少袁 区间估计方法二的平均区间长度最长袁 区间估计方法一的平均区间长度略长于区间估计方法三的平均区间长度袁 说明区间估计方法三的效果最优遥4模拟算例与实例分析a冤 例 1通过 Monte Carlo 模拟产生一组服从MW 渊1冤 的容量为 n=20 随机样本袁 得到的数据为院 1.159 5尧1.231 9尧 0.904 2尧 2.823 5尧 1.148 6尧 1.248 6尧2.176 2尧 2.169 3尧 1.589 3尧 1.938 1尧 0.675 9尧1.681 3尧 1.864 2尧 1.161 2尧 2.367 9尧 2.736 4尧1.992 4尧 1.967 0尧 1.038 4尧 1.308 5遥由以上数据得到参数 滓 的极大似然估计和矩估计为院 1.008 8 和 1.061 1曰 参数 滓 置信度为 95%的3 种区间估计分别为院 方法一为 渊0.877 4袁 1.275 6冤袁区间长度为 0.3982曰 方法二为 渊0.872 2袁 1.414 7冤袁区间长度为 0.542 5曰 方法三为 渊0.873 8袁 1.263 0冤袁区间长度为 0.389 2遥b冤 例 211选取样本量为 32 的垂直钻孔机数据 袁 立 式镗 床 的 故 障 时 间 为 院 2 802尧 2 937尧 2 136尧4 359尧 4 020尧 1 781尧 2 816尧 2 655尧 3 886尧2 296尧 3 158尧 3 695尧 4 155尧 3 811尧 2 380尧 376尧2 172尧 3 705尧 2 848尧 4 339尧 2 076尧 2 672尧3 632尧 1 976尧 1 700尧 1 596尧 1 701尧 3 575尧 3 802尧4 351尧 4 291尧 808 h遥上面数据来源于文献 11袁 其通过检验认为这批数据服从 Maxwell 分布遥文献 4 使用文献 11 中的这组数据得到参数 滓 的极大似然估计为院 1 777.86曰 置信水平为95%的最短置信区间长度为院 507.07袁 区间估计为院渊1 536.08袁 2 043.15冤遥运用本文中提到的方法袁 得到参数 滓 的极大似然估计和矩估计为院 1 777.86 和 1 811.57曰 参数滓 置信度为 95%的 3 种区间估计分别为院 方法一为 渊1 580.47袁 2 121.82冤袁 区间长度为 541.35曰 方法二 为 渊 1473.27袁 2229.86冤袁 区间长度为756.59曰 方法三为 渊1 582.57袁 2 103.54冤袁 区间长度为 520.97遥 相比文献 4 提出的区间估计方法袁 区间估计方法三简单易操作遥5结束语本文首先证明了 Maxwell 分布的失效率函数尧平均失效率函数和平均剩余寿命函数的单调性遥 其次袁 考察了尺度参数的极大似然估计和矩估计的无偏性和相合性袁 发现矩估计是无偏且相合的袁 极大似然估计是渐进无偏且相合的袁 并给出了尺度参数的 3 种区间估计方法遥 然后袁 通过 Monte Carlo 模拟考察了尺度参数估计的精度袁 发现极大似然估计尧 区间估计方法三较优遥 最后袁 通过模拟算例和实例分析说明了所提出方法的适用性和有效性遥参考文献院1 KRISHNA H袁 MALIK M.Reliability estimation in Maxwelldistribution with progressively type-II censored data J.JournalofStatisticalComputationandSimulation袁n平均置信下限平均置信上限平均区间长度包含真值个数方法一方法二方法三方法一方法二方法三方法一方法二方法三方法一100.816 70.744 90.813 71.276 21.360 21.267 30.459 50.615 30.453 6890150.848 80.788 70.845 11.219 51.292 21.214 40.370 70.503 50.369 3905200.863 80.806 30.860 41.181 31.239 81.174 80.317 50.433 50.314 4893250.877 00.822 80.874 41.159 81.210 61.153 50.282 80.387 80.279 1900300.885 50.841 90.883 81.142 61.195 31.138 80.257 10.353 40.255 0896500.911 80.876 40.911 11.110 41.150 71.107 30.198 60.274 30.196 2916方法二方法三902889909908897896897895906890918915邱珍珠等院 Maxwell 分布的图像特征及统计分析33电子产品可靠性与环境试验阅陨粤晕在陨 悦匀粤晕孕陨晕 运耘运粤韵X陨晕郧 再哉 匀哉粤晕允I晕郧 杂匀陨再粤晕电子产品可靠性与环境试验2023 年2012袁 82 渊4冤院 623-641.2 桂春燕.Maxwell 分布的若干特征 J.重庆工商大学学报 渊自然科学版冤袁 2007袁 24 渊6冤院 538-540.3 王晓红袁 宋立新.不同损失函数下 Maxwell 分布参数的Bayes 估计 J.白城师范学院学报袁 2018袁 32 渊Z1冤院25-29.4 吴志超袁 程义斌袁 孙波袁 等.Maxwell 分布参数的最短置信区间研究 J.杭州师范大学学报 渊自然科学版冤袁2021袁 20 渊6冤院 647-652.5 SANKU Dey袁 SUDHANSU S Maiti.Bayesian estimation ofthe parameter of maxwell distribution under different lossfunctions J.Journal of Statistical Theory and Practice袁2010袁 4 渊2冤院 279-287.6 NADIA J Al-obedy.Comparison of the scale parameterestimators for Maxwell distribution using different priordistributions J.Journal of Al-Rafidain University CollegeFor Sciences袁 2012袁 1 渊29冤院 61-70.7 刘承波.麦克斯韦分布中的最可几问题 J.广西物理袁1998袁 19 渊1冤院 25-26.8 RONALD E Glaser.Bathtub and related failure rate charac鄄terizations J.Journal of the American Statistical Associa鄄tion袁 1980袁 75 渊371冤院 667-672.9 RAMESH C Gupta袁 SERGEY Lvin.Monotonicity of failurerate and mean residual life function of a gamma-typemodel J.Applied Mathematics and Computation袁 2005袁165 渊3冤院 623-633.10 徐晓岭袁 王蓉华.概率论与数理统计 M.北京院 人民邮电出版社袁 2014院 174-176.11 宋琪袁 李琦袁 张久军.一种检测 Maxwell 分布尺度参数控制图 J.数理统计与管理袁 2020袁 39 渊3冤院 487-494.微创颅脑手术用可展开电极问世据报道袁 最新一期 叶科学 窑 机器人曳 杂志报道袁瑞士洛桑联邦理工学院研究团队设计出一种能插入人类头骨的微创电极遥 这种新颖的电极可通过头骨上的一个小孔袁 插入一个较大的皮质电极阵列袁 将其部署在头骨和大脑表面之间约 1 mm 的空间内袁而不会损害大脑遥这种电极有螺旋状的 野手臂冶袁 每只 野手臂冶可在高度敏感的脑组织上展开遥 这是结合软生物电子学和软机器人技术概念后的工程设计遥这个电极阵列能穿过一个直径 2 cm 的孔袁 但当展开时袁 会延伸成直径 4 cm 的表面遥 它有 6 个螺旋形 野手臂冶袁 以最大限度地扩大电极阵列的表面积袁 从而增加与皮质接触的电极数量遥研究人员表示袁 该装置有点像一只螺旋蝴蝶袁在变形之前复杂地挤在它的茧里袁 电极阵列连同它的螺旋臂被整齐地折叠在一个圆柱形的管子里袁 即装载器袁 能在通过头骨上的小孔后展开遥受软机器人启发袁 根据外翻驱动机制袁 每个螺旋 野手臂冶 都轻轻地依次在敏感的脑组织上展开遥研究人员表示袁 外翻机制的美妙之处在于袁 他们可以部署任意大小的电极袁 同时对大脑施加持续且最小的压力遥电极阵列看起来像一种橡胶手套袁 每个螺旋形野手指冶 的一侧都有柔性电极图案遥野手套冶 是倒置的袁 或是从里到外翻转的袁 并在圆柱形装载器内折叠遥 在展开时袁 液体被注入每个倒置的 野手指冶中袁 一次一个袁 将倒置的 野手指冶 向外旋转遥到目前为止袁 可展开电极阵列已经在小型猪身上测试成功遥 未来袁 该技术可能为癫痫患者提供微创解决方案遥渊下载网址院 http:/ 下载日期院 2023-06-10冤34