YTSF方程的Lie点对称群及其非行波动力学行为.pdf

书 书 书 年月第卷第期四川师范大学学报（自然科学版）（），收稿日期：接受日期：基金项目：国家自然科学基金（）和中国高校产学研创新基金（）第一作者简介：陈炜（），女，讲师，主要从事可积系统及应用的研究，：引用格式：陈炜，鲜大权，蒲志强 方程的点对称群及其非行波动力学行为四川师范大学学报（自然科学版），（）：方程的点对称群及其非行波动力学行为陈炜，鲜大权，蒲志强（西南科技大学数理学院，四川绵阳；绵阳师范学院数理学院，四川绵阳）摘要：获得方程（简称为方程）含个任意函数的对称，对方程作了种情况的对称约化，分别采用椭圆函数展开法、展开法和变量分离法求解个对称约化方程，得到非行波周期解、孤子解、相容方程解与和式变量分离解，结合数字技术分析方程的动力学局域激发模式这些结果展示了该方程可积性和动力学特性的多样性，实证了多种非线性数学方法有机结合的有效性关键词：方程；群；展开法；变量分离；非行波精确解中图分类号：文献标志码：文章编号：（）：引言非线性演化方程（）精确解的研究在非线性科学领域具有重要科学意义由它们推导出的孤波、怪波、波、混合波等科学地解释了相关物理现象对非线性演化方程精确解的研究发展了很多重要的非线性数学物理方法，如反散射法、群法、变换法、双线性法、多项式法、法、变量分离法、法等本文考虑如下形式的（）维（简称）方程（），（），（）其中，（，）是尺度空间坐标、和时间坐标的解析函数 方程是由和构造的方程的推广形式，该方程描述了两层液体的界面波方程已经有很多研究，已有的研究发现该方程显示了纵横方向的两类色散性，有丰富的强脉冲动力学行为，存在类孤子解、解、有理同宿解、一般高阶怪波解和周期孤子解、交叉孤波和双周期波解、非行波解、多波解、孤子类解、指数函数解、双曲函数解、三角函数解、周期类孤波解、波解、非行波精确解等本文将应用群方法寻求方程的点对称，针对对称约化方程的不同特点，分别采用椭圆函数展开法、展开法和分离变量法求解对称约化方程，进一步应用计算机数字图像技术分析所得原方程的非行波动力学行为的局域激发模式方程的点对称首先，将变换 代入方程（）并对积分一次，取积分常数为零，则得方程（）的势形式（）如下：（）设方程（）的点对称为（，），依据群理论，满足以下方程 （）设 ，（）其中，（，）为变量、的待定光滑函数，（，）满足方程（）将（）式连同方第期陈炜，等：方程的点对称群及其非行波动力学行为 程（）代入方程（），则有 （）（）基于函数对、的各阶导数的线性无关性可获得（）（），（），（），（）（）（）（）（）（）（）将（）式代入（）式，则得方程（）的点对称如下：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）其中，（）（，）是时间变量的任意光滑函数方程（）的点对称约化由于（）式中含有个的任意函数，该对称的内涵很丰富，由它可得到方程（）的一系列对称约化方程基于约化方程的可积性，本文考虑其中的如下种情况）取，（）（）（）（），（）（）（）将（）式代入（）式，则有（）（）（）（）求解方程，得方程（）的一个点对称变换如下：（）（）（，），（），（）其中（，）为待定函数将变换（）代入方程（），则方程（）约化为如下的关于函数（，）的 维常系数非线性偏微分方程：（）取，（），（），（）（）将（）式代入（）式得 （）（）（）方程的解是 （）（）（，）（）将（）式代入方程（），则方程约化为如下的关于函数（，）的 维常系数非线性偏微分方程：（）取，（）（），（），（）（）（）（）将（）式代入（）式有 （）（）（）方程有解：（）（，（），）（）令 （），则对称变换（）将方程（）约化为以下 维变系数非线性偏微分方程：（）以上应用方程（）的对称（）式的种情况（）、（）和（）式，分别将方程（）对称约化成了低一维的非线性偏微分方程（）、（）和（）式针对这个约化方程的不同特点，下面分别采用椭圆函数展开法、展开法和分离变量法求解这个对称约化方程对称约化方程求解 椭圆函数展开法求解方程（）取波变换 （），（）其中、为待定非零波参数，将（）式代入方程（），得函数（）满足的四阶非线性常微分方程如下：（）（）（）（）（）（）方程（）对积分一次，取积分常数为有（）（）（）四川师范大学学报（自然科学版）第卷（）（）令（）（）得二阶非线性常微分方程（）（）（）（）两边乘以（）后再对积分一次，取积分常数为有（）（）（）（）（）椭圆正弦函数展开设（）（，），（）其中为椭圆正弦函数，模（，），、为待定常数，将（）式代入方程（），取的各次幂项系数为零，得待定常数满足的非线性代数方程组如下：（），（），（），（）当取积分常数为 （），（）（）（）时，方程组（）有解：（），（）将（）式代入（）式有（）（，）（）（）当时，（）式化为冲击波解（）（）（）令（）式中 ，则（）式化为周期波解（）（）（）椭圆余弦函数展开设（）（，），（）其中为椭圆余弦函数，模（，），、为待定常数，将（）式代入方程（），取的各次幂项系数为零，则待定常数满足的非线性代数方程组为：（），（），（），（）当取积分任意常数为 （），（）（）（）时，方程组（）有解：（），（）将（）式代入（）式有（）（，）（）（）当时，（）式化为孤立波解（）（）（）令（）式中 ，则得周期波解（）（）（）将以上所得方程（）的解（）（，）依次代入变换（），则得约化方程（）的解依次如下：（，）（），）（），（）（，）（），（）（，）（），（）（，）（），）第期陈炜，等：方程的点对称群及其非行波动力学行为（），（）（，）（），（）（，）（）（）展开法求解方程（）作变换 （，），（）其中、为待定非零波参数将（）式代入方程（），则方程（）约化为如下 维非线性偏微分方程：（）假设（，）（）（）同时（）满足如下形式的方程：，（）其中，（，），（，），（，）均为、的待定光滑函数，和为待定常数，将（）式连同方程（）代入方程（），则有（）（）（）当 ，且时，由（，）的线性无关性，求得：（）（），（）槡，（）槡（）方程（）当时有解：槡（槡）（）将（）和（）式代入（）式，得方程（）的解为（，）（）（）（）（）（）应用变换（），相应获得约化方程（）的解如下：（，）（）（）（）（）（）（）变量分离法求解方程（）设该方程有如下形式的和式变量分离解：（，）（，）（），（）其中，（，）是、的待定光滑函数，（）是的待定光滑函数将（）式代入方程（），则有 （）方程（）分离变量有（）（）令，（），为非零常数，则方程（）化为如下微分方程组 ，（）（）求解方程组（）可得（），（，）（）（）（）（）式代入（）式，得方程（）的和式变量分离解如下：（，）（）（），（）其中（，）均为积分常数，且（）对称约化方程（）和（）还可用双线性法、变量分离法等不同方法求解，因此可获得更加丰富的不同解结构但方程（）是变系数非线性偏微分方程，它无行波解、行波法与变量分离法以外的其他方法可否求解值得进一步研究 四川师范大学学报（自然科学版）第卷 方程（）的非行波新解 ）将（）（）式分别代入变换（）依次获得：（）（）（），），（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（），），（）（）（）（），（）（）（）（），（）其中（），（），）将（）式代入变换（）有 （）（）（）（）（）（）（）（）将（）式代入变换（）有：（），时，有 （）（）（）（）（）（）（）（），时，有 （）（）（）（）（）（）（）方程（）的动力学行为局域激发模式本节以（）式为代表分析方程的动力学行为局域激发模式）取 ，（）（），（）（）和 ，则在（，）空间的局域激发模式如图所示（）（）（）（，）面的等高线图解（）的局域激发模式 （）第期陈炜，等：方程的点对称群及其非行波动力学行为 图中，冲击波与对数波在方向复合，在时间方向周期演化，随参数的增大，演化出的周期明孤子向轴正向的冲击波波峰方向移动）取 ，（）（），（）和 ，在此时（，）空间的局域激发模式如图所示（）（）（）（，）面的等高线图解（）的局域激发模式 （）在图（）中，在 左侧为明孤子，在，演化为冲击波，随参数的增大波能量沿轴正向增加，在 ，演化出奇异波，发生能量聚集现象 时则在，时才出现能量聚集现象，如图（）所示）取 ，（）（），（）（）和 在当前（，）空间的局域激发模式如图所示（）（）（）（，）面的等高线图解（）的局域激发模式 （）图（）中，冲击波与对数波在轴方向复合演化，在轴方向周期演化 时在周期冲击波的 附近演化出周期孤子，如图（）所示结束语本文获得了含有个关于时间的任意函数的点群对称（），在种情况下求得了方程的对称约化方程（）、（）和（）用椭圆函数展开法求解方程（），获得了非行波周期解、孤子解等个用展开法求解方程（），获得相容方程解个用变量分离法求解了变系数方程（），获得和式变量分离解个应用计算机数字图像技术分析了函数所蕴涵的方程的动力学局域激发模式本工作的全新结果表明 四川师范大学学报（自然科学版）第卷了方程可积性及其动力学行为特性的丰富多样性，实证了多种非线性数学方法有机结合的有效性该方程基于对称（）的更多对称约化方程的可积性及相应动力学行为特征有待进一步研究致谢西南科技大学校级教改项目（）对本文给予了资助，谨致谢意参考文献 ，：，（）：，（），：，（）：，（），：，（）：，（），：，（）：，（）：，：，：，（）：，（）：，（），（）：，（），：，（），（）：（），（）：，（），：，：，（），（）：，（），：（），第期陈炜，等：方程的点对称群及其非行波动力学行为，：，（），（）：，（）：，（），（）：，（）：，（），（）：，：，（），（）：熊伟（）维方程新的周期孤波解南昌大学学报（理科版），（）：（），（）：，（）：，：，（），：，（，；，）：，：；：（编辑周俊）