资源描述
一、选择题
1.将一张边沿互相平行的纸条如图折叠后,若边,则翻折角与一定满足的关系是( )
A. B. C. D.
2.如图,,点E是边DC上一点,连接AE交BC的延长线于点H,点F是边AB上一点,使得,作的角平分线交BH于点G,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
3.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂直为点O,∠BOD=50°,则∠COE=( )
A.30° B.140° C.50° D.60°
4.如图,下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图,直线,,则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点,连接PC,则线段PC的最小值是( )
A.3 B.2.5 C.2.4 D.2
7.如图,AB∥EF∥CD,EG∥DB,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
8.如图,已知,下列正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
9.如图,△OAB为等腰直角三角形(∠A=∠B=45°,∠AOB=90°),△OCD为等边三角形(∠C=∠D=∠COD=60°),满足OC>OA,△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始,逆时针旋转,旋转的角度为α(0°<α<360°),下列说法正确的是( )
A.当α=15°时,DC∥AB
B.当OC⊥AB时,α=45°
C.当边OB与边OD在同一直线上时,直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D.整个旋转过程,共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
10.如图,已知平分,平分,.下列结论正确的有( )
①;②;③;④若,则.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
11.如图1,为巡视夜间水面情况,在笔直的河岸两侧()各安置一探照灯A,BC(A在B的左侧),灯A发出的射线AC从AM开始以a度/秒的速度顺时针旋转至AN后立即回转,灯B发出的射线BD从BP开始以1度/秒的速度顺时针旋转至BQ后立即回转,两灯同时转动,经过55秒,射线AC第一次经过点B,此时,则________,两灯继续转动,射线AC与射线BD交于点E(如图2),在射线BD到达BQ之前,当,的度数为________.
12.如图,已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上点P在AB,CD之间且在EF的左侧.若将射线EA沿EP折叠,射线FC沿FP折叠,折叠后的两条射线互相垂直,则ÐEPF的度数为 _____.
13.如图,已知,、的交点为,现作如下操作:
第一次操作,分别作和的平分线,交点为,
第二次操作,分别作和的平分线,交点为,
第三次操作,分别作和的平分线,交点为,
…
第次操作,分别作和的平分线,交点为.
若度,那等于__________度.
14.某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯,主道路是平行,即PQ∥MN. 如图所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度. 若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动_________秒,两灯的光束互相平行.
15.如图所示,,则的度数为______.
16.已知,,,点,在上,平分,且,下列结论正确得是:__________.
①;
②;
③;
④若,则.
17.如图,已知,点为内部的一点,以为顶点,作,使得,,则的度数为___________.
18.如图,,,平分交于点.如果,则__.
19.如图,将一副三角板按如图放置,,则①;②;③如果,则有;④如果,则有.上述结论中正确的是________________(填写序号).
20.将一副三角板中的两块直角三角板的顶点按如图方式放在一起,其中,,且、、三点在同一直线上.现将三角板绕点顺时针转动度(),在转动过程中,若三角板和三角板有一组边互相平行,则转动的角度为__________.
三、解答题
21.已知,AB∥DE,点C在AB上方,连接BC、CD.
(1)如图1,求证:∠BCD+∠CDE=∠ABC;
(2)如图2,过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F,探究∠ABC和∠F之间的数量关系;
(3)如图3,在(2)的条件下,∠CFD的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点H,若BH平分∠ABC,求∠BGD﹣∠CGF的值.
22.阅读下面材料:
小亮同学遇到这样一个问题:
已知:如图甲,ABCD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,得到∠BED.
求证:∠BED=∠B+∠D.
(1)小亮写出了该问题的证明,请你帮他把证明过程补充完整.
证明:过点E作EFAB,
则有∠BEF= .
∵ABCD,
∴ ,
∴∠FED= .
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D.
(2)请你参考小亮思考问题的方法,解决问题:如图乙,
已知:直线ab,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,连接AD,BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直线交于点E.
①如图1,当点B在点A的左侧时,若∠ABC=60°,∠ADC=70°,求∠BED的度数;
②如图2,当点B在点A的右侧时,设∠ABC=α,∠ADC=β,请你求出∠BED的度数(用含有α,β的式子表示).
23.已知:如图,直线AB//CD,直线EF交AB,CD于P,Q两点,点M,点N分别是直线CD,EF上一点(不与P,Q重合),连接PM,MN.
(1)点M,N分别在射线QC,QF上(不与点Q重合),当∠APM+∠QMN=90°时,
①试判断PM与MN的位置关系,并说明理由;
②若PA平分∠EPM,∠MNQ=20°,求∠EPB的度数.(提示:过N点作AB的平行线)
(2)点M,N分别在直线CD,EF上时,请你在备用图中画出满足PM⊥MN条件的图形,并直接写出此时∠APM与∠QMN的关系.(注:此题说理时不能使用没有学过的定理)
24.已知,如图:射线分别与直线、相交于、两点,的角平分线与直线相交于点,射线交于点,设,且.
(1)________,________;直线与的位置关系是______;
(2)如图,若点是射线上任意一点,且,试找出与之间存在一个什么确定的数量关系?并证明你的结论.
(3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转(如图)分别与、相交于点和点时,作的角平分线与射线相交于点,问在旋转的过程中的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
25.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,.
(1)= ;
(2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数;
(3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值.
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一、选择题
1.B
解析:B
【分析】
根据平行可得出∠DAB+∠CBA=180°,再根据折叠和平角定义可求出.
【详解】
解:由翻折可知,∠DAE=2,∠CBF=2,
∵,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∴∠DAE+∠CBF=180°,
即,
∴,
故选:B.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算.
2.B
解析:B
【分析】
AD∥BC,∠D=∠ABC,则AB∥CD,则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β,在△AEF中,100°+2α+180°-2β=180°,故β-α=40°,即可求解.
【详解】
解:设FBE=∠FEB=α,则∠AFE=2α,
∠FEH的角平分线为EG,设∠GEH=∠GEF=β,
AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,
而∠D=∠ABC,∴∠D+∠BAD=180°,∴AB∥CD,
∠DEH=100°,则∠CEH=∠FAE=80°,
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β,
在△AEF中,
在△AEF中,80°+2α+180-2β=180°
故β-α=40°,
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°,
故选:B.
【点睛】
此题考查平行线的性质,解题关键是落脚于△AEF内角和为180°,即100°+2α+180°-2β=180°,题目难度较大.
3.B
解析:B
【详解】
试题解析:EO⊥AB,
故选B.
4.D
解析:D
【详解】
试题分析:延长TS,
∵OP∥QR∥ST,
∴∠2=∠4,
∵∠3与∠ESR互补,
∴∠ESR=180°﹣∠3,
∵∠4是△FSR的外角,
∴∠ESR+∠1=∠4,即180°﹣∠3+∠1=∠2,
∴∠2+∠3﹣∠1=180°.
故选D.
考点:平行线的性质.
5.B
解析:B
【分析】
记∠1顶点为A,∠2顶点为B,∠3顶点为C,过点B作BD∥l1,由平行线的性质可得∠3+∠DBC=180°,∠ABD+(180°-∠1)=180°,由此得到∠3+∠2+(180°-∠1)=360°,再结合已知条件即可求出结果.
【详解】
如图,过点B作BD∥l1,
∵,
∴BD∥l1∥l2,
∴∠3+∠DBC=180°,∠ABD+(180°-∠1)=180°,
∴∠3+∠DBC+∠ABD+(180°-∠1)=360°,即∠3+∠2+(180°-∠1)=360°,
又∵∠2+∠3=216°,
∴216°+(180°-∠1)=360°,
∴∠1=36°.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平行线的性质,正确作出辅助线,熟练掌握平行线性质是解题的关键.
6.C
解析:C
【分析】
当PC⊥AB时,PC的值最小,利用面积法求解即可.
【详解】
解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,
∵当PC⊥AB时,PC的值最小,
此时:△ABC的面积=•AB•PC=•AC•BC,
∴5PC=3×4,
∴PC=2.4,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式,解题的关键是学会利用面积法求高.
7.B
解析:B
【分析】
根据平行线的性质解答.
【详解】
解:∵AB∥EF∥CD,
∴
∵EG∥DB,
∴,
故选:B.
【点睛】
此题考查平行线的性质:两直线平行,内错角相等,熟记性质定理是正确解题的关键.
8.D
解析:D
【分析】
根据平行线的性质和平行线的判定逐个分析即可求解.
【详解】
解:如图,记相交所成的锐角为 ,
因为,
所以,
若,
所以,
所以e//f,
而不能推出图中的直线平行,
故选D.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定,解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质和判定.
9.A
解析:A
【分析】
设OC与AB交点为M,OD与AB交点为N,当α=15°时,可得∠OMN=α+∠A=60°,可证DC∥AB;当OC⊥AB时,α+∠A=90°,可得α=30°;当边OB与边OD在同一直线上时,应分两种情况,则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况;整个旋转过程,因OC、OB、OD、OA都有交点,只有AB和CD存在平行,根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行.
【详解】
解:设OC与AB交点为M,OD与AB交点为N,
当α=15°时,∠OMN=α+∠A=60°,
∴∠OMN=∠C,
∴DC∥AB,
故A正确;
当OC⊥AB时,α+∠A=90°或α﹣180°=90°﹣∠A,
∴α=45°或225°,
故B错误;
当边OB与边OD在同一直线上时,应分两种情况,
则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况,
故C错误;
整个旋转过程,因OC、OB、OD、OA都有交点,只有AB和CD存在平行,
根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行,
故D错误;
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定,垂直的定义,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10.C
解析:C
【分析】
由三个已知条件可得AB∥CD,从而①正确;由①及平行线的性质则可推得②正确;由条件无法推出AC∥BD,可知③错误;由及平分,可得∠ACP=∠E,得AC∥BD,从而由平行线的性质易得,即④正确.
【详解】
∵平分,平分
∴∠ACD=2∠ACP=2∠2,∠CAB=2∠1=2∠CAP
∵
∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜
∴
故①正确
∵
∴∠ABE=∠CDB
∵∠CDB+∠CDF=180゜
∴
故②正确
由已知条件无法推出AC∥BD
故③错误
∵,∠ACD=2∠ACP=2∠2
∴∠ACP=∠E
∴AC∥BD
∴∠CAP=∠F
∵∠CAB=2∠1=2∠CAP
∴
故④正确
故正确的序号为①②④
故选:C.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,掌握这些知识是关键.
二、填空题
11.或.
【分析】
(1)由平行线的性质,得到角之间的关系,然后列出方程,解方程即可;
(2)由题意,根据旋转的性质,平行线的性质,可对运动过程分成两种情况进行分析:①射线AC没到达AN时,;②
解析:或.
【分析】
(1)由平行线的性质,得到角之间的关系,然后列出方程,解方程即可;
(2)由题意,根据旋转的性质,平行线的性质,可对运动过程分成两种情况进行分析:①射线AC没到达AN时,;②射线AC到达AN后,返回旋转的过程中,;分别求出答案即可.
【详解】
解:(1)如图,射线AC第一次经过点B,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得:;
故答案为:2.
(2)①设射线AC的转动时间为t秒,则如图,作EF//MN//PQ,
由旋转的性质,则,,
∵EF//MN//PQ,
∴,,
∵,
∴,
∴(秒),
∴;
②设射线AC的转动时间为t秒,则如图,作EF//MN//PQ, 此时AC为达到AN之后返回途中的图像;
与①同理,
∴,,
∵,
∴,
解得:(秒);
∴;
综合上述,的度数为:或;
故答案为:或.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,平行线的性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的分析题意,作出辅助线,运用分类讨论的思想进行解题.
12.45°或135°
【分析】
根据题意画出图形,然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系,然后可得答案.
【详解】
解:如图1,
过作,
,
,
,,
,
,
同理可得,
由折叠可
解析:45°或135°
【分析】
根据题意画出图形,然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系,然后可得答案.
【详解】
解:如图1,
过作,
,
,
,,
,
,
同理可得,
由折叠可得:,,
,
如图2,
过作,
,
,
,,
,
,
,
由折叠可得:,,
,
综上所述:的度数为或,
故答案为:45°或135°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质,关键是正确画出图形,分两种情况分别计算出∠EPF的度数.
13.【分析】
先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,
解析:
【分析】
先过E作EF∥AB,根据AB∥CD,得出AB∥EF∥CD,再根据平行线的性质,得出∠B=∠1,∠C=∠2,进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE;根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC;同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC;根据∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,得出∠BE3C∠BEC;…据此得到规律∠En∠BEC,最后求得∠BEC的度数.
【详解】
如图1,过E作EF∥AB.
∵AB∥CD,
∴AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2.
∵∠BEC=∠1+∠2,
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE;
如图2.
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1,
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC.
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2,
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC;
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3,
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC;
…
以此类推,∠En∠BEC,
∴当∠En=1度时,∠BEC等于2n度.
故答案为:2n.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质:两直线平行,内错角相等的运用.解决问题的关键是作平行线构造内错角,解题时注意:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.
14.30或110
【分析】
分两种情况讨论:两束光平行;两束光重合之后(在灯B射线到达BQ之前)平行,然后利用平行线的性质求解即可.
【详解】
解:设灯转动t秒,两灯的光束互相平行,即AC∥BD,
①当
解析:30或110
【分析】
分两种情况讨论:两束光平行;两束光重合之后(在灯B射线到达BQ之前)平行,然后利用平行线的性质求解即可.
【详解】
解:设灯转动t秒,两灯的光束互相平行,即AC∥BD,
①当0<t≤90时,如图1所示:
∵PQ∥MN,则∠PBD=∠BDA,
∵AC∥BD,则∠CAM=∠BDA,
∴∠PBD=∠CAM
有题意可知:2t=30+t
解得:t=30,
②当90<t<150时,如图2所示:
∵PQ∥MN,则∠PBD+∠BDA=180°,
∵AC∥BD,则∠CAN=∠BDA,
∴∠PBD+∠CAN=180°,
∴30+t+(2t-180)=180
解得:t=110
综上所述,当t=30秒或t=110秒时,两灯的光束互相平行.
故答案为:30或110
【点睛】
本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用,解题的关键是熟练掌握平行线的性质,注意分两种情况谈论.
15.125°
【分析】
结合题意,根据对顶角相等的性质,通过证明,得,再根据补角的性质计算,即可得到答案.
【详解】
如图:
∵,且
∴
∴
∴
∴
故答案为:125°.
【点睛】
本题考查了
解析:125°
【分析】
结合题意,根据对顶角相等的性质,通过证明,得,再根据补角的性质计算,即可得到答案.
【详解】
如图:
∵,且
∴
∴
∴
∴
故答案为:125°.
【点睛】
本题考查了平行线、对顶角、补角的知识;解题的关键是熟练掌握平行线的性质,从而完成求解.
16.①④
【分析】
①由BC∥OA,∠B=∠A=100°,∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,得到∠A+∠AOB=180°,得出OB∥AC.②OE平分∠BOF,得出∠FOE=∠BOE=∠BO
解析:①④
【分析】
①由BC∥OA,∠B=∠A=100°,∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,得到∠A+∠AOB=180°,得出OB∥AC.②OE平分∠BOF,得出∠FOE=∠BOE=∠BOF,∠FOC=∠AOC=∠AOF,从而计算出∠EOC=∠FOE+∠FOC=40°.③由∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC,得出∠OCB:∠OFB=1:2.④由∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,得到∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE,∠BOE=∠AOC,再得到∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=∠AOB=20°,从而计算出∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.
【详解】
解:∵BC∥OA,∠B=∠A=100°,
∴∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,
∴∠A+∠AOB=180°,
∴OB∥AC.故①正确;
∵OE平分∠BOF,
∴∠FOE=∠BOE=∠BOF,
∴∠FOC=∠AOC=∠AOF,
∴∠EOC=∠FOE+∠FOC=(∠BOF+∠AOF)=×80°=40°.故②错误;
∵∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC,
∴∠OCB:∠OFB=1:2.故③错误;
∵∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,
∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE,
∴∠BOE=∠AOC,
∴∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=∠AOB=20°,
∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.故④正确.
故答案为:①④.
【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定,以及角的计算,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
17.或
【分析】
由题意可分两种情况分别画出图形,然后根据平行线的性质进行求解即可.
【详解】
解:由题意得:
①如图,
∵,,
∴,
∵,
∴;
②如图,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴;
综上所述
解析:或
【分析】
由题意可分两种情况分别画出图形,然后根据平行线的性质进行求解即可.
【详解】
解:由题意得:
①如图,
∵,,
∴,
∵,
∴;
②如图,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴;
综上所述:的度数为或;
故答案为或.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键,注意分类讨论.
18.33
【分析】
根据求出∠C=90°,再求出∠BAD=66°,根据角平分线性质得∠DAE=33°,由三角形的外角性质得∠ADE=114°,最后由三角形内角和定理可得结论.
【详解】
解:∵,,
∴∠
解析:33
【分析】
根据求出∠C=90°,再求出∠BAD=66°,根据角平分线性质得∠DAE=33°,由三角形的外角性质得∠ADE=114°,最后由三角形内角和定理可得结论.
【详解】
解:∵,,
∴∠,且
∴
∵∠CAD=24°
∴∠BAC=90°-∠CAD=90°-24°=66°,
∵AE是∠BAC的平分线
∴∠EAB=
∵,
∴
故答案为:33
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,准确识图,灵活运用相关知识是解题的关键.
19.①②③④
【分析】
根据余角的概念和同角的余角相等判断①;根据①的结论判断②;根据平行线的判定定理判断③和④,即可得出结论.
【详解】
解:∵∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3,
解析:①②③④
【分析】
根据余角的概念和同角的余角相等判断①;根据①的结论判断②;根据平行线的判定定理判断③和④,即可得出结论.
【详解】
解:∵∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,
∴∠1=∠3,
故①正确;
∵∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°,
故②正确;
∵∠2=30°,
∴∠1=60°=∠E,
∴AC∥DE,
故③正确;
∵∠2=45°,
∴∠3=45°=∠B,
∴BC∥AD,
故④正确;
故答案为:①②③④.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念,掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键.
20.或或
【分析】
分三种情况讨论,由平行线的性质可求解.
【详解】
解:若和只有一组边互相平行,分三种情况:
①若,则;
②若,则;
③当时,,
故答案为:或或.
【点睛】
本题考查了三角板的角度
解析:或或
【分析】
分三种情况讨论,由平行线的性质可求解.
【详解】
解:若和只有一组边互相平行,分三种情况:
①若,则;
②若,则;
③当时,,
故答案为:或或.
【点睛】
本题考查了三角板的角度运算,平行线的性质,掌握旋转的性质是本题的关键.
三、解答题
21.(1)证明见解析;(2);(3).
【分析】
(1)过点作,先根据平行线的性质可得,再根据平行公理推论可得,然后根据平行线的性质可得,由此即可得证;
(2)过点作,同(1)的方法,先根据平行线的性质得出,,从而可得,再根据垂直的定义可得,由此即可得出结论;
(3)过点作,延长至点,先根据平行线的性质可得,,从而可得,再根据角平分线的定义、结合(2)的结论可得,然后根据角的和差、对顶角相等可得,由此即可得出答案.
【详解】
证明:(1)如图,过点作,
,
,
,
,即,
,
;
(2)如图,过点作,
,
,
,
,即,
,
,
,
,
;
(3)如图,过点作,延长至点,
,
,
,
,
平分,平分,
,
由(2)可知,,
,
又,
.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点,熟练掌握平行线的性质是解题关键.
22.(1)∠B,EF,CD,∠D;(2)①65°;②180°﹣
【分析】
(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可;
(2)①如图1,过点E作EF∥AB,当点B在点A的左侧时,根据∠ABC=60°,∠ADC=70°,参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数;
②如图2,过点E作EF∥AB,当点B在点A的右侧时,∠ABC=α,∠ADC=β,参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数.
【详解】
解:(1)过点E作EF∥AB,
则有∠BEF=∠B,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠D,
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D;
故答案为:∠B;EF;CD;∠D;
(2)①如图1,过点E作EF∥AB,有∠BEF=∠EBA.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC.
即∠BED=∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=∠ABC=30°,∠EDC=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°.
答:∠BED的度数为65°;
②如图2,过点E作EF∥AB,有∠BEF+∠EBA=180°.
∴∠BEF=180°﹣∠EBA,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC.
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=∠ABC=,∠EDC=∠ADC=,
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣.
答:∠BED的度数为180°﹣.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.
23.(1)①PM⊥MN,理由见解析;②∠EPB的度数为125°;(2)∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°.
【分析】
(1)①利用平行线的性质得到∠APM=∠PMQ,再根据已知条件可得到PM⊥MN;
②过点N作NH∥CD,利用角平分线的定义以及平行线的性质求得∠MNH=35°,即可求解;
(2)分三种情况讨论,利用平行线的性质即可解决.
【详解】
解:(1)①PM⊥MN,理由见解析:
∵AB//CD,
∴∠APM=∠PMQ,
∵∠APM+∠QMN=90°,
∴∠PMQ +∠QMN=90°,
∴PM⊥MN;
②过点N作NH∥CD,
∵AB//CD,
∴AB// NH∥CD,
∴∠QMN=∠MNH,∠EPA=∠ENH,
∵PA平分∠EPM,
∴∠EPA=∠ MPA,
∵∠APM+∠QMN=90°,
∴∠EPA +∠MNH=90°,即∠ENH +∠MNH=90°,
∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°,
∵∠MNQ=20°,
∴∠MNH=35°,
∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°,
∴∠EPB=180°-55°=125°,
∴∠EPB的度数为125°;
(2)当点M,N分别在射线QC,QF上时,如图:
∵PM⊥MN,AB//CD,
∴∠PMQ +∠QMN=90°,∠APM=∠PMQ,
∴∠APM +∠QMN=90°;
当点M,N分别在射线QC,线段PQ上时,如图:
∵PM⊥MN,AB//CD,
∴∠PMN=90°,∠APM=∠PMQ,
∴∠PMQ -∠QMN=90°,
∴∠APM -∠QMN=90°;
当点M,N分别在射线QD,QF上时,如图:
∵PM⊥MN,AB//CD,
∴∠PMQ +∠QMN=90°,∠APM+∠PMQ=180°,
∴∠APM+90°-∠QMN=180°,
∴∠APM -∠QMN=90°;
综上,∠APM +∠QMN=90°或∠APM -∠QMN=90°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,同位角相等等知识是解题的关键.
24.(1)35,35,平行;(2)∠FMN+∠GHF=180°,证明见解析;(3)不变,2
【分析】
(1)根据(α-35)2+|β-α|=0,即可计算α和β的值,再根据内错角相等可证AB∥CD;
(2)先根据内错角相等证GH∥PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°;
(3)作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R,先根据同位角相等证ER∥FQ,得∠FQM1=∠R,设∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,得出∠EPM1=2∠R,即可得=2.
【详解】
解:(1)∵(α-35)2+|β-α|=0,
∴α=β=35,
∴∠PFM=∠MFN=35°,∠EMF=35°,
∴∠EMF=∠MFN,
∴AB∥CD;
(2)∠FMN+∠GHF=180°;
理由:由(1)得AB∥CD,
∴∠MNF=∠PME,
∵∠MGH=∠MNF,
∴∠PME=∠MGH,
∴GH∥PN,
∴∠GHM=∠FMN,
∵∠GHF+∠GHM=180°,
∴∠FMN+∠GHF=180°;
(3)的值不变,为2,
理由:如图3中,作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R,
∵AB∥CD,
∴∠PEM1=∠PFN,
∵∠PER=∠PEM1,∠PFQ=∠PFN,
∴∠PER=∠PFQ,
∴ER∥FQ,
∴∠FQM1=∠R,
设∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,
则有:,
可得∠EPM1=2∠R,
∴∠EPM1=2∠FQM1,
∴==2.
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质,熟练掌握内错角相等证平行,平行线同旁内角互补等知识是解题的关键.
25.(1)100;(2)75°;(3)n=3.
【分析】
(1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,即可求出∠AOB;
(2)如图:分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得,再根据平行线的性质得到;进一步求得,,然后根据三角形外角的性质解答即可;
(3)设BF交MN于K,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=,从而,又∠FKN=∠F+∠FAK,得,即可求n.
【详解】
解:(1)如图:过O作OP//MN,
∵MN//GHl
∴MN//OP//GH
∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°
∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°
∵∠NAO=116°,∠OBH=144°
∴∠AOB=360°-116°-144°=100°;
(2)分别延长AC、CD交GH于点E、F,
∵AC平分且,
∴,
又∵MN//GH,
∴;
∵,
∵BD平分,
∴,
又∵
∴;
∴;
(3)设FB交MN于K,
∵,则;
∴
∵,
∴,,
在△FAK中,,
∴,
∴.
经检验:是原方程的根,且符合题意.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及应用,正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键.
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