人教版七年级下册数学期末综合复习题(附答案).doc

人教版七年级下册数学期末综合复习题（附答案）
一、选择题
1．如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（　）

A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同旁内角
C．∠3与∠4是同位角 D．∠2与∠3是内错角
2．把“笑脸”进行平移，能得到的图形是（ ）

A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中是假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．同旁内角互补
D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．如图，直线，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．下列叙述中，①1的立方根为±1；②4的平方根为±2；③－8立方根是－2；④的算术平方根为．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．如图，在中，∠AEC＝50°，平分，则的度数为（ ）

A．25° B．30° C．35° D．40°
8．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A(4，0)同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以6个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）

A．(0，2) B．(﹣4，0) C．(0，﹣2) D．(4，0)
九、填空题
9．36的平方根是______，81的算术平方根是______．
十、填空题
10．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____．
十一、填空题
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为15，DE＝3，AB＝6，则AC的长是 _______

十二、填空题
12．如图，∠B＝∠C，∠A＝∠D，有下列结论：①ABCD；②AEDF；③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND．其中正确的有_____．（只填序号）

十三、填空题
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．若∠A=α，当△DEF为等腰三角形时，∠ACD=__________________．（用α的代数式表示∠ACD）

十四、填空题
14．已知a，b为两个连续的整数，且，则的平方根为___________．
十五、填空题
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，交y轴于B，且，，则点B坐标为__．

十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，点由原点出发，第一次跳动至点，第二次向左跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向左跳动5个单位至点，第五次跳动至点，…，依此规律跳动下去，点的第2020次跳动至点的坐标是_______．

十七、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
十八、解答题
18．已知，，求下列各式的值
；

十九、解答题
19．请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：如图，∠1＝∠2，∠A＝∠D．
求证：∠B＝∠C．

证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（ ）
∴∠2＝____________（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（ ）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝_____________（等量代换）
∴____________∥CD（ ）
∴∠B＝∠C（ ）
二十、解答题
20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点坐标为，且满足．
（1）若没有平方根，且点到轴的距离是点到轴距离的倍，求点的坐标；
（2）点的坐标为，的面积是的倍，求点的坐标．
二十一、解答题
21．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出1.4＜＜1.5．利用“逐步逼近“法，请回答下列问题：
（1）介于连续的两个整数a和b之间，且a＜b，那么a＝　 　，b＝　 　．
（2）x是+2的小数部分，y是﹣1的整数部分，求x＝　 　，y＝　 　．
（3）（﹣x）y的平方根．
二十二、解答题
22．如图，用两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形．

（1）大正方形的边长是________；
（2）请你探究是否能将此大正方形纸片沿着边的方向裁出一个面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，若能，求出这个长方形纸片的长和宽，若不能，请说明理由．
二十三、解答题
23．综合与探究
（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系；

（问题迁移）
（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动，
①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系．
二十四、解答题
24．已知：如图1，，点，分别为，上一点．

（1）在，之间有一点（点不在线段上），连接，，探究，，之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
（2）如图2，在，之两点，，连接，，，请选择一个图形写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
二十五、解答题
25．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．

（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵，（______）
∴，（等式性质）
∵，
∴，
∴．（______）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；
（3）利用探究的结果，解决下列问题：
①如图①，在凹四边形中，，，求______；
②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；
③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______；
④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______；
⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数．

【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可．
【详解】
解：A、∠1与∠2是邻补角，故原题说法错误；
B、∠1与∠3不是同旁内角，故原题说法错误；
C、∠3与∠4是同位角，故原题说法正确；
D、∠2与∠3不是内错角，故原题说法错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，解题的关键是掌握对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义．
2．D
【分析】
根据平移不改变图形的形状和大小，对应点的连线相等且互相平行即可判断．
【详解】
解：观察图形可知图形进行平移，能得到图形D．
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改
解析：D
【分析】
根据平移不改变图形的形状和大小，对应点的连线相等且互相平行即可判断．
【详解】
解：观察图形可知图形进行平移，能得到图形D．
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
3．D
【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、(0，3)在y轴上，故本选项不符合题意；
B、(−2，1)在第二象限，故本选项不符合题意；
C、(1，−2)在第四象限，故本选项不符合题意；
D、(-1，-1)在第三象限，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．C
【分析】
利用对顶角相等、平行线的判定与性质进行判断选择即可．
【详解】
解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
C、同旁内角互补，是假命题，符合题意；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，真命题，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查判断命题的真假，解答的关键是熟练掌握对顶角相等、平行线的判定与性质等知识，难度不大．
5．D
【分析】
过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，根据平行线的性质得到∠EPF=∠BEP+∠DFP=78°，结合角平分线的定义得到∠AEH+∠CFH，同理可得∠EHF=∠AEH+∠CFH．
【详解】
解：过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，
，
则PQ∥CD，HG∥CD，
∴∠BEP=∠QPE，∠DFP=∠QPF，
∵∠EPF=∠QPE+∠QPF=78°，
∴∠BEP+∠DFP=78°，
∴∠AEP+∠CFP=360°-78°=282°，
∵EH平分∠AEP，HF平分∠CFP，
∴∠AEH+∠CFH=282°÷2=141°，
同理可得：∠EHF=∠AEH+∠CFH=141°，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
6．D
【分析】
分别求出每个数的立方根、平方根和算术平方根，再判断即可．
【详解】
∵1的立方根为1，∴①错误；
∵4的平方根为±2，∴②正确；
∵−8的立方根是−2，∴③正确；
∵的算术平方根是，∴④正确；
正确的是②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根和立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
7．A
【分析】
根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，∠ECD=∠AEC=50°再根据角平分线的定义得到∠BCE=∠BCD =∠ECD=25°，由此即可求解．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，∠ECD=∠AEC=50°
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCE=∠BCD =∠ECD=25°
∠ABC=∠BCD=25°
故选A．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．A
【分析】
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体乙是物体甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】
解：矩形的边长为8和4，因为物体乙是物体甲的速度的3倍
解析：A
【分析】
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体乙是物体甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】
解：矩形的边长为8和4，因为物体乙是物体甲的速度的3倍，
时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×1，
物体甲行的路程为24×＝6，物体乙行的路程为24×＝18，在DE边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×2，
物体甲行的路程为24×2×＝12，物体乙行的路程为24×2×＝36，在DC边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×3，
物体甲行的路程为24×3×＝18，物体乙行的路程为24×3×＝54，在BC边相遇；
④第四次相遇物体甲与物体乙行的路程和为24×4，
物体甲行的路程为24×4×＝24，物体乙行的路程为24×4×＝72，在A点相遇；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇四次，两点回到出发点，
2021÷4＝505…1，
故两个物体运动后的第2020次相遇地点的是点A，即物体甲行的路程为24×1×＝6，物体乙行的路程为24×1×＝18时，达到第2021次相遇，
此时相遇点的坐标为：（0，2），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
九、填空题
9．±6 9．
【解析】
∵(±6)2=36,
∴36的平方根是±6;
∵92=81,
∴81的算术平方根是9.
解析：±6 9．
【解析】
∵(±6)2=36,
∴36的平方根是±6;
∵92=81,
∴81的算术平方根是9.
十、填空题
10．4
【分析】
根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案.
【详解】
点与点关于轴对称，
，，
则a+b的值是：,
故答案为．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的
解析：4
【分析】
根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案.
【详解】
点与点关于轴对称，
，，
则a+b的值是：,
故答案为．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键.
十一、填空题
11．4
【分析】
过点D作DF⊥AC,则由AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC， DE⊥AB，可以得到DE=DF,可由三角形的面积的,,进而解得AC的长.
【详解】
过点D作DF⊥AC
∵AD是△AB
解析：4
【分析】
过点D作DF⊥AC,则由AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC， DE⊥AB，可以得到DE=DF,可由三角形的面积的,,进而解得AC的长.

【详解】
过点D作DF⊥AC
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC， DE⊥AB，
∴DE=DF,
又三角形的面积的,
即,
解得AC=4
【点睛】
主要考查了角平分线的性质，三角形的面积,掌握角平分线的性质及三角形的面积是解题的关键.
十二、填空题
12．①②④
【分析】
根据平行线的判定与性质分析判断各项正确与否即可．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC
解析：①②④
【分析】
根据平行线的判定与性质分析判断各项正确与否即可．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC＝∠FNM，
又∵∠BND＝∠FNM，
∴∠AMC＝∠BND，
故①②④正确，
由条件不能得出∠AMC＝90°，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质及平行线的判定与性质，难度一般．
十三、填空题
13．或或
【分析】
若为等腰三角形，则，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】
解：由翻折的性质可知，，
如图1，
当时，则，
，，
，
，
当时，为等腰三角形，
故答案
解析：或或
【分析】
若为等腰三角形，则，根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】
解：由翻折的性质可知，，
如图1，

当时，则，
，，

，
，
当时，为等腰三角形，
故答案为．
当时，；
，
，
，；
，
，
如图2，

当时，；
，，
；
当或或时，为等腰三角形，
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和定理．
十四、填空题
14．±3
【分析】
分别算出a，b计算即可；
【详解】
∵a，b为两个连续的整数，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根为±3；
故答案是：±3．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算和求一个数的平
解析：±3
【分析】
分别算出a，b计算即可；
【详解】
∵a，b为两个连续的整数，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根为±3；
故答案是：±3．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算和求一个数的平方根，准确计算是解题的关键．
十五、填空题
15．【分析】
由立方根及算术平方根、完全平方式求出，的值，得出，两点的坐标，连接，设，根据三角形的面积可求出的值，则答案可求出．
【详解】
解：（1），，
，，，
，，
．
如图，连接，设，
，
，
解析：
【分析】
由立方根及算术平方根、完全平方式求出，的值，得出，两点的坐标，连接，设，根据三角形的面积可求出的值，则答案可求出．
【详解】
解：（1），，
，，，
，，
．
如图，连接，设，

，
，
，
，
，
点的坐标为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了立方根及算术平方根、完全平方公式、三角形的面积、坐标与图形的性质，解题的关键是利用分割的思想解答．
十六、填空题
16．【分析】
根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
【详解】
解：因为P1（1，1），P2（-2，1），
P3（2，2），P4（-3，2），
P5（3，3），P6（-4，3），
P7（4，
解析：
【分析】
根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．
【详解】
解：因为P1（1，1），P2（-2，1），
P3（2，2），P4（-3，2），
P5（3，3），P6（-4，3），
P7（4，4），P8（-5，4）， …
P2n-1（n，n），P2n（-n-1，n）（n为正整数），
所以2n=2020， ∴n=1010， 所以P 2020（-1011，1010），
故答案为（-1011，1010）．
【点睛】
本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．
十七、解答题
17．（1）0.5；（2）4
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根的定义对各项进行化简，最后相加减即可；
（2）根据实数的混合运算法则进行求解．
【详解】
解：（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查实数
解析：（1）0.5；（2）4
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根的定义对各项进行化简，最后相加减即可；
（2）根据实数的混合运算法则进行求解．
【详解】
解：（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键．
十八、解答题
18．（1）25；（2）37
【分析】
（1）利用完全平方差公式求解．
（2）先配方，再求值．
【详解】
解：（1）
（2）
【点睛】
本题考查完全平方公式及其变形式，根据公式特征进行变形是求解
解析：（1）25；（2）37
【分析】
（1）利用完全平方差公式求解．
（2）先配方，再求值．
【详解】
解：（1）

（2）

【点睛】
本题考查完全平方公式及其变形式，根据公式特征进行变形是求解本题的关键．
十九、解答题
19．对顶角相等；∠3；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】
根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可．
【详解】
证明：∵∠1＝∠2，（
解析：对顶角相等；∠3；两直线平行，同位角相等；∠BFD；AB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【分析】
根据对顶角相等，平行线的性质与判定定理填空即可．
【详解】
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
又：∵∠1＝∠3，（对顶角相等）
∴∠2＝∠3（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）
∵∠A＝∠D（已知）
∴∠D＝∠BFD（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
二十、解答题
20．（1）（-2，6）；（2）（，）或（8，-4）
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a＜0，再利用点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍得到方程，解之得到a值，可写出B点坐标；
（2）利用A（a，-
解析：（1）（-2，6）；（2）（，）或（8，-4）
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a＜0，再利用点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍得到方程，解之得到a值，可写出B点坐标；
（2）利用A（a，-a）和B（a，4-a）得到AB=4，AB与y轴平行，由于点D的坐标为（4，-2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，则判断点A、点B在y轴的右侧，即a＞0，根据三角形面积公式得到，解方程得到a值，然后写出B点坐标．
【详解】
解：（1）∵a没有平方根，
∴a＜0，
∴-a＞0，
∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，
∴，
∵a+b=4，
∴，
解得：a=-2或a=1（舍），
∴b=6，此时点B的坐标为（-2，6）；
（2）∵点A的坐标为（a，-a），点B坐标为（a，4-a），
∴AB=4，AB与y轴平行，
∵点D的坐标为（4，-2），△OAB的面积是△DAB面积的2倍，
∴点A、点B在y轴的右侧，即a＞0，
∴，
解得：a=或a=8，
∴B点坐标为（，）或（8，-4）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式和平方根的性质．
二十一、解答题
21．（1）4；5；（2）；3；（3）±8．
【分析】
（1）首先估算出的取值范围，即可得出结论；
（2）根据 (1)的结论，得到，即可求得答案；
（3）根据(2)的结论代入计算即可求得答案.
【详解】
解析：（1）4；5；（2）；3；（3）±8．
【分析】
（1）首先估算出的取值范围，即可得出结论；
（2）根据 (1)的结论，得到，即可求得答案；
（3）根据(2)的结论代入计算即可求得答案.
【详解】
解：（1）∵16＜17＜25，
∴，
∴a＝4，b＝5．
故答案为：4；5
（2）∵，
∴，
由此：的整数部分为6，小数部分为，
∴，．
故答案为：；3
（3）当，时，代入，
．
∴64的平方根为：．
【点睛】
本题考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确计算是解题的关键，注意平方根是一对互为相反数的两个数.
二十二、解答题
22．（1）4；（2）不能，理由见解析．
【分析】
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先设未知数根据面积=14（cm2）列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再
解析：（1）4；（2）不能，理由见解析．
【分析】
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先设未知数根据面积=14（cm2）列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可．
【详解】
解：（1）两个正方形面积之和为：2×8=16（cm2），
∴拼成的大正方形的面积=16（cm2），
∴大正方形的边长是4cm；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm，
则2x•x=14，
解得：，
2x=2>4，
∴不存在长宽之比为且面积为的长方形纸片．
【点睛】
本题考查了算术平方根，能够根据题意列出算式是解此题的关键．
二十三、解答题
23．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或
【分析】
（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论
解析：（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或
【分析】
（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）作PQ∥EF，如图：

∵，
∴，
∴，，
∵
∴；
（2）①；
理由如下：如图，

过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
②当点在延长线时，如备用图1：

∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=，∠EPD=，
∴；
当在之间时，如备用图2：

∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPD=，∠CPE=，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
二十四、解答题
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点M作MP∥AB．根据平行线的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．
证明：过点M作MP∥AB．
∵AB∥CD，
∴MP∥CD．
∴∠4=∠3．
∵MP∥AB，
∴∠1=∠2．
∵∠EMF=∠2+∠3，
∴∠EMF=∠1+∠4．
∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；

证明：过点M作MQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD．
∴∠CFM+∠1=180°；
∵MQ∥AB，
∴∠AEM+∠2=180°．
∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．
∵∠EMF=∠1+∠2，
∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；
（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，
∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC
=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4
=∠2+∠3
=180°；
如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．
过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，
∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，
∴∠2=∠3，
∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，
∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，
∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC
=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4
=180°．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
二十五、解答题
25．（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；
（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外
解析：（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；
（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长交于，然后根据外角的性质确定，，即可判断与，，之间的关系；
（3）①连接BC，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；
②连接BC，然后根据（1）中结论，求得的和，进而得到的和，然后根据角平分线求得的和，进而求得，然后利用三角形内角和定理，即可求解；
③连接BC，首先求得，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到，然后得到的和，最后根据（1）中结论即可求解；
④设与的交点为点，首先利用根据外角的性质将用两种形式表示出来，然后得到，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断；
⑤根据（1）问结论，得到的和，然后根据角平分线的性质得到的和，然后利用三角形内角和性质即可求解．
【详解】
（1）∵，（三角形内角和180°）
∴，（等式性质）
∵，
∴，
∴．（等量代换）
故答案为：三角形内角和180°；等量代换．
（2）如图，延长交于，

由三角形外角性质可知，
，，
∴．
（3）①如图①所示，连接BC，
，
根据（1）中结论，得，
∴，
∴；
②如图②所示，连接BC，
，
根据（1）中结论，得，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③如图③所示，连接BC，
，
根据（1）中结论，得，
∵，，
∴，
∵与的十等分线交于点，
∴，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
④如图④所示，设与的交点为点，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴,
∴,
∴，
即；
⑤∵，的角平分线交于点，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路，然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解．