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吉林一中中考数学二次函数和几何综合专题

一、二次函数压轴题
1．探究：已知二次函数y＝ax2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)．
(1)求该函数的表达式；
(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC．
①求△ACP的面积S关于t的函数关系式；
②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(﹣1，3)，N的坐标为(3，1)，若抛物线y＝ax2﹣2x+3(a＜0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．

2．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：

⋯

⋯

⋯

⋯
其中，　　　　．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）直线经过，若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围为　　　　．
3．某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：
（1）列表（完成下列表格）．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
0

1
2
3
…
y
…
6
3
2

2
3
6
…

（2）描点并在图中画出函数的大致图象；

（3）根据函数图象，完成以下问题：
①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有　 　（填写正确的序号）
A．对称轴是直线x＝1；
B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；
C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；
D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；
E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到．
②结合图象探究发现，当m满足　 　时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解．
③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．
4．在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（初步尝试）求二次函数y=x2﹣2x的顶点坐标及与x轴的交点坐标；
（类比探究）当函数y=x2﹣2|x|时，自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值．
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

0
﹣1
0
﹣1
0

3
…
①根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；
②根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质．
（深入探究）若点M（m，y1）在图象上，且y1≤0，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥3恒成立，求k的取值范围．

5．基本模型
如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．
（1）模型拓展：
如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE∽△BCF；
（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°．若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）拓展提升：如图4，在平面直角坐标系柳中，抛物线y=﹣（x+4）（x﹣6）与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，抛物线的对称轴交线段BC于点E，探求线段AB上是否存在点F，使得∠EFO=∠BAO？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由．

6．综合与探究
如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式：
（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；
（3）在直线上有一点，连接，，则的最小值为______；
（4）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），其中，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E．点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，过点P作直线于点F，求的最大值；
（3）如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知函数，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．

…
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
…

…
－6
－2
2
－2
－1
－2

…
（1）请根据给定条件直接写出的值；
（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；

（3）若，结合图像，直接写出的取值范围．
9．在平面直角坐标系中（如图）．已知点，点，点．如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点．

（1）试推断抛物线经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；
（2）求常数a与b的值：
（3）将抛物线先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点．设这个新抛物线的顶点是D．试探究的形状．
10．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．

（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．
（2）如图3，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点为D．
①求m的值和点D的坐标；
②探究在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．
二、中考几何压轴题
11．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．
①的值为_________；
②直线与直线的位置关系为__________；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．

12．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；
（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；
（3）拓展：如图③，在中，∠BAC=90°，AB=AC=，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

13．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是　 ，位置关系是　 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
14．如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F，
（1）猜想：线段与的数量关系为_____；
（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．

15．问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，，的两边分别交直线，于点，，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系．

（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：________；
（2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系；
（3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，，请直接写出的长和此时的面积．
16．（1）问题发现
如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是　 　．
（2）拓展探究
如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题
如图3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．

17．我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”．

（1）概念理解：
如图1，四边形中，为的中点，，是边上一点，满足，试判断是否为四边形的准中位线，并说明理由．
（2）问题探究：
如图2，中，，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发向点运动，动点以每秒6个单位的速度，从点出发沿射线运动，当点运动至点时，两点同时停止运动．为线段上任意一点，连接并延长，射线与点构成的四边形的两边分别相交于点，设运动时间为．问为何值时，为点构成的四边形的准中位线．
（3）应用拓展：
如图3，为四边形的准中位线，，延长分别与，的延长线交于点，请找出图中与相等的角并证明．
18．将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝x．

（概念与理解）
将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．
（猜想与证明）
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．
（1）填空：当x=1时，=______；当x=2时，=_______；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
（探究与应用）
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为　 ；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
（联想与拓展）
若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D．过点A作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F．对于x轴上任取一点P，均有△PAE与△PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是______．
19．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　；
（2）拓展探究：
如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长．

20．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是　 ，位置关系是　 ；

（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．

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一、二次函数压轴题

1．探究：（1）；（2）①，②的面积的最大值是，此时点的坐标为，拓展：.
【分析】
（1）由待定系数法易求解析式；
（2）过点作于点，交于点.设点的坐标为，由可得关于t的二次函数，进而可求最大值.
（3）根据抛物线与MN的位置关系可知当抛物线经过M点时，a取最大值.
【详解】
探究：（1）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的表达式为.
（2）①过点作于点，交于点.

设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
∴直线的解析式为.
∵点在抛物线上，点在直线上，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴ ，
∴ .
②∵，
∴当时，，
当时，.
∴的面积的最大值是，此时点的坐标为.
[拓展]：抛物线y=ax2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN有交点，
当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M点或下方时，抛物线左边边一定与MN有交点，
即a+5≤3；
∴；
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a点的求值范围．
2．（1）-6；（2）答案见解析；（3）①该函数的图象关于轴对称；②该函数的图象有最高点；（4）．
【分析】
（1）根据对称可得m=-6；
（2）用平滑的曲线连接各点即可画出图形；
（3）认真观察图象，总结出2条性质即可；
（4）画出两函数图象即可得到结论．
【详解】
（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，
∴m=-6，
故答案为：-6；
如图所示

该函数的图象关于轴对称
该函数的图象有最高点；
（4）由图象可知：关于的方程有个不相等的实数根时，
即y=kx+b时，与图象有4个交点，
所以，由图象可以得出，当时，直线与图象有4个不同的交点．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．
3．B
解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．
【分析】
（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，由此即可求解．
【详解】
（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式得：y＝，3，；
故答案为，3，；
（2）描点确定函数图象如下：

（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；
B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；
C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；
D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；
E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；
故答案为：B、D、E；
②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；
③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，

点P和图象上的点构成等腰直角三角形，
即n＝2或6．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键．
4．【初步尝试】（0，0），（2，0）；【类比探究】①如图所示：②函数图象的性质：1．图象关于y轴对称；2．当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；【深入探究】k≤﹣5或k≥5．
【详解】
【分析】【初步尝试】利用配方法将y=x2﹣2x化为顶点式，可得顶点坐标，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴的交点坐标；
【类比探究】①根据表中数据描点连线，即可得到该函数图象的另一部分；
②根据画出的图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；
【深入探究】根据图象可知y1≤0时，﹣2≤m≤2；y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，根据不等式的性质即可求出k的取值范围.
【详解】【初步尝试】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
令y=0，则x2﹣2x=0，
解得x1=0，x2=2，
∴此抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；
【类比探究】①如图所示：
②函数图象的性质：
图象关于y轴对称；
当x取1或﹣1时，函数有最小值﹣1；
【深入探究】根据图象可知，
当y1≤0时，﹣2≤m≤2，
当y2≥3时，m+k≤﹣3或m+k≥3，
则k≤﹣5或k≥5，
故k的取值范围是k≤﹣5或k≥5．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键.
5．F
解析：（1）证明详见解析；（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8），当x=4时，y最大=2；（3）存在一点F，使得∠EFO=∠BAO；或．
【解析】
试题分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，则，进而求出y与x的函数关系式及y的最大值；
（3）首选求出A，C点坐标，再得到△CEH∽△CBO，求出BE的长，再利用△AFO∽△BEF，求出BF的长．
试题解析：（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E=∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==8，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠B=∠CFE=45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴，即，
∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），
当x=4时，y最大=2；
（3）解：如图4，存在一点F，使得∠EFO=∠BAO，
理由：连接EF，FO，
抛物线y=﹣（x+4）（x﹣6），
对称轴为x==1，
把x=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6），得y=8，
∴B（0，8），即OB=8
把y=0代入y=﹣（x+4）（x﹣6）得x1=﹣4，x2=6，
∴A（﹣4，0），C（6，0），
∴OC=6，OA=4，AC=10，
∴BC===10，
∴AB===4，
∵EH∥BO，
∴△CEH∽△CBO，
∴，即，
解得：BE=，
∵BC=AC=10，
∴∠CAB=∠CBA
∴∠CAB=∠CBA=∠EFO，
由（1）可得△AFO∽△BEF，
∴，
设BF=x，则，
化简得：x2﹣4x+=0，
解得：x1=，x2=，
∴当BF=或时，∠EFO=∠BAO．

考点：二次函数综合题．
6．A
解析：（1）；（2）；（3）；（4）存在，点的坐标为：或或
【分析】
（1）把A、B两点坐标代入可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案；
（2）过作轴于，交于，根据抛物线解析式可得点C坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式，设，根据BC解析式可表示出点H坐标，即可表示出DH的长，根据△BCD的面积列方程可求出x的值，即可得点D坐标，利用三角形面积公式即可得答案；
（3）根据二次函数的对称性可得点A与点B关于直线l对称，可得BC为AP+CP的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；
（4）根据平行四边形的性质得到MB//ND，MB=ND，分MB为边和MB为对角线两种情况，结合点D坐标即可得点N的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线与轴相交于，两点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）如图，过作轴于，交于，
当时，，
∴，
设的解析式为，则，
解得，
∴的解析式为：，
设，则，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
解得：或3，
∵点在直线右侧的抛物线上，
∴，
∴的面积；

（3）∵抛物线与轴相交于，两点，
∴点A与点B关于直线l对称，
∴BC为AP+CP的最小值，
∵B（4，0），C（0，-6），
∴AP+CP的最小值=BC==．
故答案为：
（4）①当MB为对角线时，MN//BD，MN=BD，
过点N作NE⊥x轴于E，过当D作DF⊥x轴于F，
∵点D（3，），
∴DF=，
在△MNE和△BDF中，，
∴△MNE≌△BDF，
∴DF=NE=，
∵点D在x轴下方，MB为对角线，
∴点N在x轴上方，
∴点N纵坐标为，
把y=代入抛物线解析式得：，
解得：，，
∴（，），（，）

如图，当BM为边时，MB//ND，MB=ND，
∵点D（3，），
∴点N纵坐标为，
∴，
解得：，（与点D重合，舍去），
∴（，），

综上所述：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．
7．F
解析：（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）存在，点P的坐标为：或
【分析】
（1）把点的坐标分别代入解析式，转化为方程组求解即可；
（2）设点P的横坐标为m，用含有m的代数式表示PF，转化为二次函数最值问题求解即可；
（3）利用构造平行线法，三角形全等法，构造出符合题意的角，后利用交点思想求解即可．
【详解】
解：（1）抛物线与x轴交于两点，

解得
抛物线的表达式为．
（2）∵抛物线的表达式为．
对称轴为直线，
点E的坐标为．
令，代入抛物线的表达式，得，
∴点C的坐标为．
在中，，
．
．
设直线的表达式为，由经过，

解得
∴直线的表达式为．
如答图，过点P作轴，交于点G．
设点P的横坐标为m，则
．
轴，
，
．

．
．
．
当时，．
（3）存在，理由如下：①在x轴的正半轴上取一点E，使得OA=OE=1，则点E（1,0），
∵OA=OE，∠AOC=∠EOC=90°，CO=CO，
∴△AOC≌△EOC，
∴∠ACO=∠ECO，
过点B作BP∥CE，交抛物线y=于点P，

∴∠PBC=∠ECB，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∵∠OCB=∠ECB+∠ECO=∠PBC+∠ACO，
∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，
设直线CE的解析式为y=kx+3，把点E（1,0）代入解析式，得k+3=0，
解得k=-3，
∴直线CE的解析式为y=-3x+3，
∵BP∥CE，
∴设直线BP的解析式为y=-3x+b，把点B（3,0）代入解析式，得-9+b=0，
解得b=9，
∴直线BP的解析式为y=-3x+9，
∴-3x+9=，
解得x=2，或x=3（与B重合，舍去）
当x=2时，y=-3x+9=3，
∴点P的坐标为（2，3）；
②在y轴的正半轴上取一点Q，使得OA=OQ=1，则点Q（0,1），
∵OA=OQ，∠AOC=∠QOB=90°，CO=BO，
∴△AOC≌△QOB，
∴∠ACO=∠QBO，

延长BQ交抛物线y=于点P，
∵∠ABC =∠PBC+∠QBO，
∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，
设直线BQ的解析式为y=mx+1，把点B（3,0）代入解析式，得3m+1=0，
解得m=-，
∴直线BQ的解析式为y=-x+1，
∴-x+1=，
解得x=，或x=3（与B重合，舍去）
当x=时，y=-x+1=，
∴点P的坐标为；
综上所述，存在这样的点P，且点P的坐标为：或．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，二次函数的最值，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，准确表示PF，利用构造平行线，三角形全等，确定满足条件的P点位置是解题的关键．
8．（1），，；（2）见详解；（3）x的取值范围是：3≤x＜0或1≤x≤2．
【分析】
（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a（x-1）2++1中，列方程组解出可得a和b的值，写出函数解析式，计算当x=4时m的值即可；
（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；
（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．
【详解】
解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a（x-1）2++1中得：
，解得：，
∴y=（a≠0），
当x=4时，m=；
（2）如图所示，

性质：当x＞2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）∵a（x1）2+≥x4，
∴a（x1）2++1≥x3，
如图所示，

由图象得：x的取值范围是：3≤x＜0或1≤x≤2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析．
9．A
解析：（1）点A、B在抛物线上，理由见解析；（2），；（3）等腰直角三角形
【分析】
（1）轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，算出AC的解析式，交y轴于点，抛物线与y轴也交于点，故C不符要求，由此解答即可；
（2）把A、B点的坐标代入解析式，由此解答即可；
（3）由平移可得新的解析式，代入得出D点的坐标，再判断三角形的形状．
【详解】
（1）∵轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，
∵，交y轴于点．
且抛物线与y轴也交于点，故C不符要求．
∴点A、B在抛物线上

（2）代入A、B到．
，
∴
（3）

∴
代入到，（舍），，
∴
∴，，
∴，，
∴．
∴是等腰直角三角形

【点睛】
本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）①，；②存在，或或
【分析】
（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；
（2）①将代入抛物线，得，解得，抛物线解析式，顶点为；
②根据抛物线解析式求出，，，当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为；Ⅱ．当为对角线时，对角线交点坐标．中分线解析式为；Ⅲ．当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为．
【详解】
解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，
直径所在的直线为圆的中分线，

（2）①将代入抛物线，得
，
解得，
抛物线解析式，
顶点为；
②将代入抛物线解析式，得
，
解得或4，
，，
令，则，
，
当、、、为顶点的四边形为平行四边形时，
根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，
所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．
Ⅰ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即，
中分线经过点，
中分线解析式为；
Ⅱ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即．
中分线经过点，
中分线解析式为；
Ⅲ．当为对角线时，对角线交点坐标为，即，
中分线经过点，
中分线解析式为，
综上，中分线的解析式为式为或为或为．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．
二、中考几何压轴题

11．（1）①，②；（2），，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）①由锐角三角函数可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC−CF＝（BC−CE），BE＝BC−CE，即可求；
②由垂直的定义可得AF⊥B
解析：（1）①，②；（2），，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）①由锐角三角函数可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC−CF＝（BC−CE），BE＝BC−CE，即可求；
②由垂直的定义可得AF⊥BE；
（2）由题意可证△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性质可证AF⊥BE；
（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴ ，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），
如图，连接，延长交于，交于点，

∵旋转，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）①如图，过点作交的延长线于点，

∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，且三点在同一直线上，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，且，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，

∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵旋转，∴，且，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
12．（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）
【分析】
（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和A
解析：（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）
【分析】
（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；
（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即；
（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．
【详解】
（1）解：如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
（2）解：∠B+∠D=180°，
理由是：

如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴F、D、G在一条直线上，
和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
故答案为：∠B+∠D=180°；
（3）解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，

如图，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中

∴△FAD≌△EAD，
∴DF=DE，
设DE=x，则DF=x，
∵BD=1，
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：，
，
解得：x=，
即DE=．
【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．
13．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【分析】
（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得
解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．
【分析】
（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，

，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，

最大时，的面积最大，
且在顶点上面，
最大，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
．
【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关