吉林一中中考数学二次函数和几何综合专题.doc

吉林一中中考数学二次函数和几何综合专题一、二次函数压轴题1探究：已知二次函数yax22x+3经过点A(3，0)(1)求该函数的表达式；(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC求ACP的面积S关于t的函数关系式；求ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(1，3)，N的坐标为(3，1)，若抛物线yax22x+3(a0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围2某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分（3）观察函数图象，写出两条函数的性质（4）直线经过，若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围为3某数学兴趣小组在探究函数yx22|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：（1）列表（完成下列表格）x3210123y632 236（2）描点并在图中画出函数的大致图象；（3）根据函数图象，完成以下问题：观察函数yx22|x|+3的图象，以下说法正确的有 （填写正确的序号）A对称轴是直线x1；B函数yx22|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（1，2）、（1，2）；C当1x1时，y随x的增大而增大；D当函数yx22|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；E函数y（x2）22|x2|+3的图象，可以看作是函数yx22|x|+3的图象向右平移2个单位得到结合图象探究发现，当m满足 时，方程x22|x|+3m有四个解设函数yx22|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线yn和函数yx22|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值4在数学拓展课上，九（1）班同学根据学习函数的经验，对新函数y=x22|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（初步尝试）求二次函数y=x22x的顶点坐标及与x轴的交点坐标；（类比探究）当函数y=x22|x|时，自变量x的取值范围是全体实数，下表为y与x的几组对应值x3210123y3010103根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；根据画出的函数图象，写出该函数的两条性质（深入探究）若点M（m，y1）在图象上，且y10，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y23恒成立，求k的取值范围5基本模型如图1，点A，F，B在同一直线上，若A=B=EFC=90，易得AFEBCF（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若A=B=EFC，求证：AFEBCF；（2）拓展应用：如图3，AB是半圆O的直径，弦长AC=BC=4，E，F分别是AC，AB上的一点，若CFE=45若设AE=y，BF=x，求出y与x的函数关系式及y的最大值；（3）拓展提升：如图4，在平面直角坐标系柳中，抛物线y=（x+4）（x6）与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，抛物线的对称轴交线段BC于点E，探求线段AB上是否存在点F，使得EFO=BAO？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由6综合与探究如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；（3）在直线上有一点，连接，则的最小值为_；（4）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由7综合与探究如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），其中，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E点P是抛物线上的一个动点（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，过点P作直线于点F，求的最大值；（3）如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由8已知函数，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程32112345622212（1）请根据给定条件直接写出的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若，结合图像，直接写出的取值范围9在平面直角坐标系中（如图）已知点，点，点如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点（1）试推断抛物线经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a与b的值：（3）将抛物线先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点设这个新抛物线的顶点是D试探究的形状10定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线（2）如图3，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，顶点为D求m的值和点D的坐标；探究在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由二、中考几何压轴题11（1）尝试探究：如图，在中，点、分别是边、上的点，且EFAB的值为_；直线与直线的位置关系为_；（2）类比延伸：如图，若将图中的绕点顺时针旋转，连接，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长12探究：如图和，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90，点E、F分别在BC、CD上，EAF=45（1）如图，若B、ADC都是直角，把绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；（2）如图，若B、D都不是直角，则当B与D满足数量关系 时，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如图，在中，BAC=90，AB=AC=，点D、E均在边BC上，且DAE=45若BD=1，求DE的长13如图1，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值14如图1，已知，点D在上，连接并延长交于点F，（1）猜想：线段与的数量关系为_；（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G当的大小发生变化，其它条件不变时，若，直接写出的长 15问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，的两边分别交直线，于点，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：_；（2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系；（3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，请直接写出的长和此时的面积16（1）问题发现如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若ADE60，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是 （2）拓展探究如图2，ABC是等腰三角形，ABAC，B，点D，E分别在边BC，AC上若ADE，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）解决问题如图3，在ABC中，B30，ABAC4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作PMG30，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC设运动时间为t（s），当APG为等腰三角形时，直接写出t的值17我们定义：连结凸四边形一组对边中点的线段叫做四边形的“准中位线”（1）概念理解：如图1，四边形中，为的中点，是边上一点，满足，试判断是否为四边形的准中位线，并说明理由（2）问题探究：如图2，中，动点以每秒1个单位的速度，从点出发向点运动，动点以每秒6个单位的速度，从点出发沿射线运动，当点运动至点时，两点同时停止运动为线段上任意一点，连接并延长，射线与点构成的四边形的两边分别相交于点，设运动时间为问为何值时，为点构成的四边形的准中位线（3）应用拓展：如图3，为四边形的准中位线，延长分别与，的延长线交于点，请找出图中与相等的角并证明18将抛物线yax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2x（概念与理解）将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_；C2：_（猜想与证明）在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示（1）填空：当x=1时，=_；当x=2时，=_；（2）猜想：对任意x（x0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由（探究与应用）利用上面的结论，可得AOB与COD面积比为 ；若AOB和COD中有一个是直角三角形时，求COD与AOB面积之差；（联想与拓展）若抛物线C3：y2mx、C4：y2nx（0mn），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C3于点A、B，交抛物线C4于点C、D过点A作x轴的平行线交抛物线C4于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C3于点F对于x轴上任取一点P，均有PAE与PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是_19如图，已知和均为等腰三角形，ACBC，DEAE，将这两个三角形放置在一起（1）问题发现：如图，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则 ，线段BD、CE之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图，AE2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长20（问题发现）（1）如图1，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（探究证明）（2）如图2，在RtABC和RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在RtBCD中，BCD90，BC2CD4，将ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角CAE为（0360），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1探究：（1）；（2），的面积的最大值是，此时点的坐标为，拓展：.【分析】（1）由待定系数法易求解析式；（2）过点作于点，交于点.设点的坐标为，由可得关于t的二次函数，进而可求最大值.（3）根据抛物线与MN的位置关系可知当抛物线经过M点时，a取最大值.【详解】探究：（1）抛物线经过点，解得.抛物线的表达式为.（2）过点作于点，交于点.设直线的解析式为，将、代入，解得：，直线的解析式为.点在抛物线上，点在直线上，点的坐标为，点的坐标为， ， .，当时，当时，.的面积的最大值是，此时点的坐标为.拓展：抛物线y=ax22x+3(a0),当x=1时，y=a-2+3=a+13，故抛物线右边一定与MN有交点，当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M点或下方时，抛物线左边边一定与MN有交点，即a+53；【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a点的求值范围2（1）-6；（2）答案见解析；（3）该函数的图象关于轴对称；该函数的图象有最高点；（4）【分析】（1）根据对称可得m=-6；（2）用平滑的曲线连接各点即可画出图形；（3）认真观察图象，总结出2条性质即可；（4）画出两函数图象即可得到结论【详解】（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，m=-6，故答案为：-6；如图所示该函数的图象关于轴对称该函数的图象有最高点；（4）由图象可知：关于的方程有个不相等的实数根时，即y=kx+b时，与图象有4个交点，所以，由图象可以得出，当时，直线与图象有4个不同的交点故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键3B解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）B、D、E；2m3；n2或6【分析】（1）把x，0，分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；根据二次函数的图象即可解答；如图，当直线yn处于直线m或m的位置时，由此即可求解【详解】（1）把x，0，分别代入函数表达式得：y，3，；故答案为，3，；（2）描点确定函数图象如下：（3）A对称轴是直线x0，故错误；B函数yx22|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（1，2）、（1，2），故正确；C当1x1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；D当函数yx22|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；E函数y（x2）22|x2|+3的图象，可以看作是函数yx22|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；故答案为：B、D、E；从图象看，2m3时，方程x22|x|+3m有四个解；如图，当直线yn处于直线m或m的位置时，点P和图象上的点构成等腰直角三角形，即n2或6【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象，利用数形结合思想是解决问题的关键4【初步尝试】（0，0），（2，0）；【类比探究】如图所示：函数图象的性质：1图象关于y轴对称；2当x取1或1时，函数有最小值1；【深入探究】k5或k5【详解】【分析】【初步尝试】利用配方法将y=x22x化为顶点式，可得顶点坐标，令y=0，解方程x22x=0，求出x的值，即可得到抛物线与x轴的交点坐标；【类比探究】根据表中数据描点连线，即可得到该函数图象的另一部分；根据画出的图象，结合二次函数的性质即可写出该函数的两条性质；【深入探究】根据图象可知y10时，2m2；y23时，m+k3或m+k3，根据不等式的性质即可求出k的取值范围.【详解】【初步尝试】y=x22x=（x1）21，此抛物线的顶点坐标为（1，1）；令y=0，则x22x=0，解得x1=0，x2=2，此抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0）；【类比探究】如图所示：函数图象的性质：图象关于y轴对称；当x取1或1时，函数有最小值1；【深入探究】根据图象可知，当y10时，2m2，当y23时，m+k3或m+k3，则k5或k5，故k的取值范围是k5或k5【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键.5F解析：（1）证明详见解析；（2）y=x2+x（0x8），当x=4时，y最大=2；（3）存在一点F，使得EFO=BAO；或【解析】试题分析：（1）利用已知得出E=CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出AFEBCF，则，进而求出y与x的函数关系式及y的最大值；（3）首选求出A，C点坐标，再得到CEHCBO，求出BE的长，再利用AFOBEF，求出BF的长试题解析：（1）证明：如图2，A=EFC，E+EFA=EFA+CFB，E=CFB，A=B，AFEBCF；（2）解：如图3，AB是O的直径，ACB=90，AB=8，AC=BC，A=B=45，A=B=CFE=45，由（1）可得AFEBCF，即，y=x2+x（0x8），当x=4时，y最大=2；（3）解：如图4，存在一点F，使得EFO=BAO，理由：连接EF，FO，抛物线y=（x+4）（x6），对称轴为x=1，把x=0代入y=（x+4）（x6），得y=8，B（0，8），即OB=8把y=0代入y=（x+4）（x6）得x1=4，x2=6，A（4，0），C（6，0），OC=6，OA=4，AC=10，BC=10，AB=4，EHBO，CEHCBO，即，解得：BE=，BC=AC=10，CAB=CBACAB=CBA=EFO，由（1）可得AFOBEF，设BF=x，则，化简得：x24x+=0，解得：x1=，x2=，当BF=或时，EFO=BAO考点：二次函数综合题6A解析：（1）；（2）；（3）；（4）存在，点的坐标为：或或【分析】（1）把A、B两点坐标代入可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案；（2）过作轴于，交于，根据抛物线解析式可得点C坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式，设，根据BC解析式可表示出点H坐标，即可表示出DH的长，根据BCD的面积列方程可求出x的值，即可得点D坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A与点B关于直线l对称，可得BC为AP+CP的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB/ND，MB=ND，分MB为边和MB为对角线两种情况，结合点D坐标即可得点N的坐标【详解】（1）抛物线与轴相交于，两点，解得：，抛物线的解析式为：（2）如图，过作轴于，交于，当时，设的解析式为，则，解得，的解析式为：，设，则，的面积是，解得：或3，点在直线右侧的抛物线上，的面积；（3）抛物线与轴相交于，两点，点A与点B关于直线l对称，BC为AP+CP的最小值，B（4，0），C（0，-6），AP+CP的最小值=BC=故答案为：（4）当MB为对角线时，MN/BD，MN=BD，过点N作NEx轴于E，过当D作DFx轴于F，点D（3，），DF=，在MNE和BDF中，MNEBDF，DF=NE=，点D在x轴下方，MB为对角线，点N在x轴上方，点N纵坐标为，把y=代入抛物线解析式得：，解得：，（，），（，）如图，当BM为边时，MB/ND，MB=ND，点D（3，），点N纵坐标为，解得：，（与点D重合，舍去），（，），综上所述：存在点，使得以点，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题7F解析：（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）存在，点P的坐标为：或【分析】（1）把点的坐标分别代入解析式，转化为方程组求解即可；（2）设点P的横坐标为m，用含有m的代数式表示PF，转化为二次函数最值问题求解即可；（3）利用构造平行线法，三角形全等法，构造出符合题意的角，后利用交点思想求解即可【详解】解：（1）抛物线与x轴交于两点，解得抛物线的表达式为（2）抛物线的表达式为对称轴为直线，点E的坐标为令，代入抛物线的表达式，得，点C的坐标为在中，设直线的表达式为，由经过，解得直线的表达式为如答图，过点P作轴，交于点G设点P的横坐标为m，则轴，当时，（3）存在，理由如下：在x轴的正半轴上取一点E，使得OA=OE=1，则点E（1,0），OA=OE，AOC=EOC=90，CO=CO，AOCEOC，ACO=ECO，过点B作BPCE，交抛物线y=于点P，PBC=ECB，C（0，3），B（3，0），OB=OC，OCB=ABC，OCB=ECB+ECO=PBC+ACO，ABC=PBC+ACO，设直线CE的解析式为y=kx+3，把点E（1,0）代入解析式，得k+3=0，解得k=-3，直线CE的解析式为y=-3x+3，BPCE，设直线BP的解析式为y=-3x+b，把点B（3,0）代入解析式，得-9+b=0，解得b=9，直线BP的解析式为y=-3x+9，-3x+9=，解得x=2，或x=3（与B重合，舍去）当x=2时，y=-3x+9=3，点P的坐标为（2，3）；在y轴的正半轴上取一点Q，使得OA=OQ=1，则点Q（0,1），OA=OQ，AOC=QOB=90，CO=BO，AOCQOB，ACO=QBO，延长BQ交抛物线y=于点P，ABC =PBC+QBO，ABC=PBC+ACO，设直线BQ的解析式为y=mx+1，把点B（3,0）代入解析式，得3m+1=0，解得m=-，直线BQ的解析式为y=-x+1，-x+1=，解得x=，或x=3（与B重合，舍去）当x=时，y=-x+1=，点P的坐标为；综上所述，存在这样的点P，且点P的坐标为：或【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，二次函数的最值，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，准确表示PF，利用构造平行线，三角形全等，确定满足条件的P点位置是解题的关键8（1），；（2）见详解；（3）x的取值范围是：3x0或1x2【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a（x-1）2+1中，列方程组解出可得a和b的值，写出函数解析式，计算当x=4时m的值即可；（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论【详解】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a（x-1）2+1中得：，解得：，y=（a0），当x=4时，m=；（2）如图所示，性质：当x2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）a（x1）2+x4，a（x1）2+1x3，如图所示，由图象得：x的取值范围是：3x0或1x2【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析9A解析：（1）点A、B在抛物线上，理由见解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，算出AC的解析式，交y轴于点，抛物线与y轴也交于点，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D点的坐标，再判断三角形的形状【详解】（1）轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，交y轴于点且抛物线与y轴也交于点，故C不符要求点A、B在抛物线上（2）代入A、B到，（3）代入到，（舍），是等腰直角三角形【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键10（1）见解析；（2），；存在，或或【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）将代入抛物线，得，解得，抛物线解析式，顶点为；根据抛物线解析式求出，当、为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为；当为对角线时，对角线交点坐标中分线解析式为；当为对角线时，对角线交点坐标为，中分线解析式为【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）将代入抛物线，得，解得，抛物线解析式，顶点为；将代入抛物线解析式，得，解得或4，令，则，当、为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点当为对角线时，对角线交点坐标为，即，中分线经过点，中分线解析式为；当为对角线时，对角线交点坐标为，即中分线经过点，中分线解析式为；当为对角线时，对角线交点坐标为，即，中分线经过点，中分线解析式为，综上，中分线的解析式为式为或为或为【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键二、中考几何压轴题11（1），；（2），证明见解析；（3）或【分析】（1）由锐角三角函数可得ACBC，CFCE，可得AFACCF（BCCE），BEBCCE，即可求；由垂直的定义可得AFB解析：（1），；（2），证明见解析；（3）或【分析】（1）由锐角三角函数可得ACBC，CFCE，可得AFACCF（BCCE），BEBCCE，即可求；由垂直的定义可得AFBE；（2）由题意可证ACFBCE，可得，FACCBE，由余角的性质可证AFBE；（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长【详解】解：（1）， ， ，故答案为：，；（2），如图，连接，延长交于，交于点，旋转，且，；（3）如图，过点作交的延长线于点，且三点在同一直线上，旋转，且，；如图，过点作于点，旋转，且，【点睛】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键12（1）见解析；（2）B+D=180；（3）【分析】（1）根据已知条件证明EAFGAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作辅助线，把ABE绕A点旋转到ADG，使AB和A解析：（1）见解析；（2）B+D=180；（3）【分析】（1）根据已知条件证明EAFGAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作辅助线，把ABE绕A点旋转到ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明EAFGAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即；（3）先作辅助线，把AEC绕A点旋转到AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明FADEAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3x，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长【详解】（1）解：如图，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，AE=AG，BAE=DAG，BE=DG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，DAG+DAF=45，即EAF=GAF=45，在EAF和GAF中EAFGAF（SAS），EF=GF，BE=DG，EF=GF=BE+DF； （2）解：B+D=180，理由是：如图，把ABE绕A点旋转到ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，B=ADG，BAE=DAG，B+ADC=180，ADC+ADG=180，F、D、G在一条直线上，和（1）类似，EAF=GAF=45，在EAF和GAF中EAFGAF（SAS），EF=GF，BE=DG，EF=GF=BE+DF；故答案为：B+D=180；（3）解：ABC中，AB=AC=2，BAC=90，ABC=C=45，由勾股定理得：BC=4，如图，把AEC绕A点旋转到AFB，使AB和AC重合，连接DF则AF=AE，FBA=C=45，BAF=CAE，DAE=45，FAD=FAB+BAD=CAE+BAD=BACDAE=9045=45，FAD=DAE=45，在FAD和EAD中FADEAD， DF=DE，设DE=x，则DF=x，BD=1，BF=CE=41x=3x，FBA=45，ABC=45，FBD=90，由勾股定理得：， ，解得：x=，即DE=【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形13（1）PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形理由见解析；（3）SPMN最大【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得解析：（1）PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形理由见解析；（3）SPMN最大【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论【详解】解：（1）点，是，的中点，点，是，的中点，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形由旋转知，利用三角形的中位线得，是等腰三角形，同（1）的方法得，同（1）的方法得，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连接，在中，在中，方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，最大时，面积最大，点在的延长线上，【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是判断出，解（3）的关