带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用.pdf

应用概率统计第 40 卷第 2 期2024 年 4 月Chinese Journal of Applied Probability and StatisticsApr.,2024,Vol.40,No.2,pp.264-276doi:10.3969/j.issn.1001-4268.2024.02.003带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用郝红霞胡红倩韩忠成林金官(南京审计大学统计与数据科学学院,南京,211815)摘要:为了更好地捕捉金融时间序列中杠杆效应的时变非对称性,本文基于线性样条思想,提出一种带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型,并利用贝叶斯 MCMC 方法对所提模型中的参数进行了估计.模拟研究表明贝叶斯 MCMC 方法在所提模型的参数估计方面有着良好的有限样本表现.最后利用本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型对 2000 年 1 月 4 日至 2020 年 8 月18 日的上证综合指数和深证成份指数日收益数据进行了实证分析,结果表明利用本文所提出的模型拟合这两组实例数据是合理的.关键词:半参数随机波动率模型;线性样条;时变杠杆效应;贝叶斯 MCMC 方法中图分类号:O212.1英文引用格式:HAO H X,HU H Q,HAN Z C,et al.Parameter estimation and applicationsfor stochastic volatility model with time-varying leverage effectJ.Chinese J Appl Probab Statist,2024,40(2):264276.(in Chinese)1引言随机波动率模型(stochastic volatility,简称 SV)在期权定价、资产组合等众多金融领域中扮演着非常重要的角色.它可以刻画市场中资产波动率的许多典型特征,如时变的波动率、波动率聚集、均值回归、长记忆性等.已有的为波动率建模的自回归条件异方差(ARCH)类模型是将当前波动率定义为过去收益平方项和过去波动率的确定性函数,虽然ARCH 类模型可以刻画波动率的一些行为特征,但是由于其将波动率看作过去信息的一种确定性函数,使得它不能够灵活地拟合市场中的时间序列.为了克服这一点,SV 模型在方差方程中引入了一个新的误差项,即将波动率过程看作是一个隐藏的随机过程,这一设置使得 SV 模型的灵活度更高,对收益的拟合能力更强,对波动率有更好的样本内拟合表现以及样本外预测表现1.从长期波动性的预测和波动率序列的稳定性以及对资产定价理论的国家自然科学基金项目(批准号:12371267、12201305)、国家社会科学基金项目(批准号:23CTJ028)、江苏省自然科学基金项目(批准号:BK20210678)、全国统计科学研究项目(批准号:2021LY019)、江苏省高等学校基础科学(自然科学)研究项目(批准号:21KJB110021)和江苏高校哲学社会科学基金项目(批准号:2022SJYB0345)资助.通讯作者,E-mail:.本文 2023 年 11 月 21 日收到,2024 年 1 月 29 日收到修改稿.第 2 期郝红霞,等:带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用265应用角度看,模型中随机变量的引入使得 SV 模型优于 ARCH 类模型,因而 SV 模型在金融市场中受到了广泛的应用.经典的随机波动率模型在早期时候能够较好地描述金融资产收益和波动率之间的关系.但是随着社会的发展和技术的不断进步,金融市场也发生了巨大的变化,交易市场中的数据形态变得越来越多元化,收益和波动率之间的关系也变得越来越复杂.已有实证研究发现,金融市场中的资产收益和波动率之间存在负向相关关系2,即收益的增加会引起下期波动率的减少,相反地,收益的减少会引起下期波动率的增加,这种现象被称为“杠杆效应”3.随着研究的深入,实证工作者发现,不同时段或者不同趋势市场下的杠杆效应存在不同的变化特征,下降市场中的杠杆效应强度大于上升市场中杠杆效应的强度4,即市场中的坏消息对波动率的影响不同于同等大小的好消息对波动率的影响,因此,杠杆效应具有时变性和非对称性5.有学者分时段研究了中国股票市场的杠杆效应,发现杠杆效应随时间阶段的变化而变化,即杠杆效应具有时变性6.明显地,已有的恒定杠杆效应已不足以能够很好地描述收益和波动率之间的关系,因此本文将恒定的杠杆效应推广到时变的杠杆效应.另一方面,经典的 SV 模型说明波动率是具有持续性的,且假设前一时刻波动率对下一时刻波动率的影响是恒定的.但是这一假设在实际交易市场中往往是不成立的,即前一时刻波动率对下一时刻波动率的影响不是恒定的7,而是会受到市场上好坏消息的影响,即波动率具有非对称效应.对中国沪深股市数据的实证研究发现,中国股票市场的杠杆效应也具有非对称性,即低收益率时期的股票市场往往会跟随着高波动率,相反地高收益时期的市场不一定与低波动率同时发生,即中国股票市场对信息的反应存在阶段性的非对称性8,因此本文也将考虑杠杆效应和波动率的非对称性.为了刻画以上杠杆效应的时变性和非对称性,结合线性样条的分区间段内进行直线拟合的特点9,本文基于线性样条思想提出一种新的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型.关于传统随机波动率模型的参数估计已经发展较为成熟,如广义矩估计、有效矩估计、拟似然估计、经验特征函数法、MCMC 方法等10.注意到随机波动率模型的似然函数是一个高维积分,而模型中隐含波动率过程的存在使得极大似然估计变得比较复杂,因此传统的极大似然估计变得不可行,于是有学者提出一些数值型方法来对似然函数进行近似,如 Hao 等11、Langrock 等12、Yu9.从均方误差根的角度看,贝叶斯 MCMC 估计的表现优于广义矩估计和拟极大似然估计,因此本文结合 R2WinBUGS 软件包利用贝叶斯MCMC 方法对所提的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型进行参数估计.本文结构安排如下:第 2 节提出了新的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型;第 3 节给出了模型参数的贝叶斯 MCMC 估计方法;第 4 节通过数值模拟考察贝叶斯MCMC 估计方法在本文所提新模型的参数估计方面的有限样本表现;第 5 节研究了真实的金融市场中上证综合指数和深圳成份指数的数据,讨论了利用时变杠杆效应的半参数随机波动率模型的合理性及其估计结果;第 6 节给出了本文的结论以及未来的研究方向.266应用概率统计第 40 卷2模型经典的带有杠杆效应的随机波动率模型可以写为如下的形式:yt=exp(ht2)t,ti.i.d.N(0,1),(1)ht+1=ht+t,ti.i.d.N(0,1),(2)其中 yt表示 t 时刻的资产收益率,t=1,2,T,0,ht表示 t 时刻的对数波动率,是一个持续性的参数,它能够度量波动率持续程度的大小.为了保证波动过程的平稳性,一般假设|0.根据正态分布的性质,方程(2)可以重新写为ht+1=ht+(t+1 2t),(3)其中,t是独立同分布于标准正态分布的随机变量序列,且 corr(t,t)=0.事实上,大量研究表明到达市场消息的好坏对波动率的影响是不相同的.具体体现为下降市场中杠杆效应的强度明显强于上升市场中的强度,即收益和波动率之间的杠杆效应并不是恒定的,而是随着到达市场消息的大小和正负的不同而有所变化的.另外,前一时刻的波动率对下一时刻的波动率的影响是具有非对称性的,即方差方程(2)中的持续性参数 应该受到到达市场消息的大小和正负的影响.为了刻画杠杆效应和波动率的非对称性,本文利用线性样条的思想提出了带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型.在 t所在区间上引入 m 个结点,记为 1,2,m,且假设 1 2 m,为便于描述,t所在区间的左右端点分别记为 0和 m+1.可以看出,以上的分割将 t所在区间分为了 m+1 个新的小区间.考虑到非对称性杠杆效应的时变性,方差方程(3)中的表达式被重新写为ht+1=m+1i=1iI(i1 t i)ht+m+1i=1(it+1 2it)I(i1 t i),(4)其中,t的定义与式(3)中的相同,I(A)是一个示性函数,即表示事件 A 发生时取 1,否则取 0.方程(4)中的表达可以更直观地写为ht+1=1ht+(1t+1 21t),0 t 1;.m+1ht+(m+1t+1 2m+1t),m t m+1,(5)可以看出,式(5)的构建是在线性样条的基础上构建起来的.结合均值方程(1),基于线性样条的思想,本文提出了如下的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型(TVL-SPSV):yt=exp(ht2)t,ti.i.d.N(0,1),(6)第 2 期郝红霞,等:带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用267ht+1=m+1i=1iI(i1 t i)ht+m+1i=1(it+1 2it)I(i1 t i),ti.i.d.N(0,1),(7)其中 corr(t,t)=0.从方程(7)可以看出,非对称杠杆效应是时变的,且其大小是由到达市场的消息 t的大小来决定的.同时,波动率的持续性也具有非对称性,前一时刻波动对下一时刻波动的影响由到达市场的消息 t来决定.具体地,当系数 i和 i均不等于 0 时,模型具有波动率非对称性和杠杆效应非对称性的时变特征.当 i都等于 0 时,说明波动率非对称性不存在.若 i都等于 0 时,说明杠杆效应的时变性不存在.因此,本文提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型(6)和(7)是在经典杠杆效应随机波动率模型(1)和(2)的基础上进行推广而得到的,它同时刻画了到达市场的消息对时变杠杆效应和波动率的双重非对称性.故方程(6)和(7)中的模型考虑了复杂市场环境下的诸多因素,更能全面地刻画实际市场中资产收益和波动率之间的相互关系.注记 1本文所提出的模型是经典随机波动率模型的一种推广和扩展,和已有文献中的模型存在一定联系.特别地,当 i=时,i=1,2,m+1,本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型退化为了文献 4 中的随机波动率模型.进一步地,当模型中的持续性参数和杠杆系数满足 i=0,i=0 时,i=1,2,m+1,本文所提模型就是传统意义上带有常数杠杆效应的随机波动率模型(1)和(2).而当 i=0,i=0 时,i=1,2,m+1,方程(6)和(7)中的模型即为文献 2 中经典的随机波动率模型.对本文所提出的模型(6)和(7)进行深入探究发现,该模型需要确定 t所在区间被分割的个数 m 和分割的位置.当区间被划分为两个时,即 m=1,根据杠杆效应自身含义,结合实际数据分析,通常会把分割的位置设为 1=0,以符合到达市场消息的好坏对波动率造成不同的影响,此时的模型被记为 TVL-SPSV1(简记为 TVL1).当把区间分割为三个区间时,即 m=2,分割位置一般设为 1=0.4,2=0.4,这样的设置可以使得P(t 0.4)=P(t 0.4)=31%,即我们可以用近似相同数量的数据分割来估计每一个区间的杠杆系数.此时的模型被记为 TVL-SPSV2(简记为 TVL2),这一设定与文献 4 中的思想一致.本文所提出的模型与文献 4 中模型的区别在于,本文同时考虑了杠杆效应的时变特征和波动率的非对称特征.注记 2关于节点个数 m 的确定:理想情况下,节点个数 m 应随着样本量的增加而增大.m 越大,模型中待估参数会越多,计算成本就会增大.同时 m 越大会导致更小的偏差和更大的方差.m 的确定是需要反复试验或者模型选择的.考虑到特别大的 m 会带来成本的增加,受 Yu4的启发,为了控制计算成本,本文的模拟实验和实例分析仅考虑 m=1 和m=2 的情况.268应用概率统计第 40 卷3参数估计本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型含有不可观测的波动率 ht,其极大似然估计需要进行高维积分,此时所提模型中参数的极大似然估计会变得较为复杂.本文利用贝叶斯MCMC的估计方法对带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型(6)和(7)中的参数进行估计.令 Yt=(y1,y2,yT)表示对数收益时间序列数据,=(,1,2,m+1,1,2,m+1)表示模型中的待估参数,p()表示参数 的先验分布.MCMC 思想是对参数 进行扩增,将待估参数由 增加至(,VT),其中 VT=(h1,h2,hT).因此,参数的联合先验密度为p(,VT)=p()p(h0)Tt=1p(ht|ht1,).(8)似然函数为p(YT|,VT)=Tt=1p(yt|ht,).(9)由贝叶斯原理可知,参数(,VT)的联合后验密度为p(,VT|YT)p(,VT)p(YT|,VT)=p()p(h0)Tt=1p(ht|ht1,)Tt=1p(yt|ht,).(10)在联合后验密度(10)的基础上,用 Gibbs 抽样方法得到参数后验分布的马尔科夫链.假设参数的初始值为(0),H(0)T),得到的样本数据为 YT=(y1,y2,yT),可以从每一个参数的条件分布中按照如下方式和顺序产生自身的 Gibbs 样本:(1)1 p(1|(0)2,(0)3,(0)2m+4,V(0)T,YT),.(1)2m+4 p(2m+4|(1)1,(0)2,(1)2m+3,V(0)T,YT),h(1)1 p(h1|(1),h(0)2,h(0)3,h(0)T,YT),.h(1)T p(hT|(1),h(1)1,h(0)2,h(1)T1,YT),其中,(1)1表示参数向量 中第一个参数 的第一次抽样的结果,(1)2m+4表示参数向量 中第 2m+4 个参数 m+1的第一次抽样的结果,以此类推直至第 K 次的样本抽取,多次抽取之后样本对应的马尔科夫链可以收敛到参数的后验分布.令收敛之后抽取到的样本为(j),H(j)T),j=1,2,K,则参数 的后验均值 和后验标准误差 Std()分别为=1KKj=1(j),Std()=1K 1Kj=1(j)2.(11)第 2 期郝红霞,等:带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用269为了更清楚地展示本文中贝叶斯 MCMC 详细估计过程,现把估计过程步骤总结如下:(i)设置初始时刻 j=0.(ii)设置参数的初始值(0),H(0)T).(iii)对 j=j+1,从每一个参数的条件分布中产生它的第 j 次 Gibbs 样本.(iv)重复第(iii)步,直至 j=K,至此得到了每一个参数的后验分布样本.(v)计算每一个参数的后验均值和后验标准误差.从以上的参数估计贝叶斯 MCMC 过程可以看出,该过程是在分割区间的个数和分割位置都已知情形下进行的.当分割区间的个数和分割位置均未知时,可以将分割区间个数和分割位置看作未知参数,利用以上同样的过程进行估计,在此不再赘述.本文考虑分割区间的个数和分割位置已知时的估计效果.4模拟实验本节利用 MCMC 模拟实验说明本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型和贝叶斯 MCMC 估计方法的有限样本表现.本节模拟实验的设置如下:样本量n=200、500,分割点的个数、分割的位置和模型中的参数根据实证研究的经验有如下两种设置:(a)m=1,1=0,=1,1=0.9,2=0.95,1=0.5,2=0.5,=0.135;(b)m=2,1=0.4,2=0.4,=1,1=0.9,2=0.95,3=0.97,1=0.5,2=0,3=0.1,=0.135.类似于文献 4 中先验分布的设定,本节中参数的先验分布设定如下:持续性参数 i=2i 1,i=1,2,3,i Beta(201.5),=exp(/2),N(0,25),i U(1,1),i=1,2,3,2 Inverse-Gamma(2.5,0.025).在以上样本量的两种设置下,从本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型中产生模拟数据.为了比较,同样也利用了文献 4 中的两种半参数随机波动率模型:Spline1 和 Spline2 模型来进行拟合,其中 Spline1 指的是 m=1,=0 时的随机波动率模型(1)和(2),Spline2 指的是 m=2,1=0.4,2=0.4 时的随机波动率模型(1)和(2).换句话说,即利用 Spline1 和 TVL1 模型来拟合从 TVL1 中产生的数据,利用 Spline2和 TVL2 模型来拟合从 TVL2 中产生的数据.重复实验 100 次可以得到四种模型 Spline1、Spline2、TVL1、TVL2 在不同样本量情形下参数估计的均值、标准误差和偏差信息准则DIC(deviance information criterion),结果见表 1 和表 2.从表 1 和表 2 的估计结果可以得出以下结论.首先,从参数估计值的角度看,在两种不同样本量的设置下,对于模型中的持续性参数和杠杆效应系数,TVL 系列的估计值更接近270应用概率统计第 40 卷表 1样本量 n=200 时四种随机波动率模型中参数估计的结果Spline1Spline2TVL1TVL20.89210.801510.87070.8213(0.0593)(0.0422)(0.0853)(0.0676)1.24871.266120.88920.8022(0.0361)(0.0570)(0.0764)(0.1173)1-0.3225-0.596230.8606(0.0306)(0.0345)(0.1052)2-0.4197-0.08941.24131.2843(0.0298)(0.0521)(0.0334)(0.0142)30.00031-0.2820-0.4879(0.0574)(0.0336)(0.0163)0.11710.22782-0.4016-0.0281(0.0153)(0.0281)(0.0309)(0.0604)3-0.0048(0.0581)0.12270.2537(0.0161)(0.0279)DIC-2255.7445-1400.7900DIC-2255.8445-1421.6400注:括号中的数值表示标准误差.表 2样本量 n=500 时四种随机波动率模型中参数估计的结果Spline1Spline2TVL1TVL20.86900.811010.86870.8327(0.0853)(0.1019)(0.0971)(0.1026)1.31420.847620.87260.8607(0.0366)(0.0149)(0.0888)(0.1080)1-0.2405-0.455630.8613(0.0416)(0.0425)(0.0106)2-0.3313-0.00611.33950.8528(0.0395)(0.0577)(0.0358)(0.0164)30.00141-0.2563-0.3753(0.0579)(0.0424)(0.0462)0.10810.09432-0.31980.0035(0.0137)(0.0125)(0.0388)(0.0579)30.0059(0.0581)0.11090.0889(0.0143)(0.0121)DIC-908.5021-552.7108DIC-909.0922-552.8694注:括号中的数值表示标准误差.第 2 期郝红霞,等:带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用271于参数真值.从标准差的角度来看,表 1 和表 2 说明 TVL 系列模型在波动率的持续性参数、杠杆效应参数等方面表现较为稳定.说明利用贝叶斯 MCMC 方法对本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型中的参数进行估计的均值在一定程度上与参数的真值比较接近,参数的估计标准误差较小,说明所提模型和估计方法在随机波动率模型的估计方面有着良好的表现.从模型的选择标准 DIC 的角度看,当样本容量 n=200 时,模型 TVL1 的整体表现略优于模型 Spline1,模型 TVL2 的整体表现显著优于模型 Spline2.当样本容量 n=500 时,TVL 系列模型的表现略优于 Spline 系列模型的表现.整体看,贝叶斯 MCMC 方法在本文所提模型的估计中有着良好的有限样本表现,得到的估计结果在一定程度上具有一定的可借鉴性.5实例分析本节的研究对象是 2000 年 1 月 4 日至 2020 年 8 月 18 日上证综合指数和深圳成份指数的日收益数据,该数据可从新浪财经网站下载获得.记第 t 日的收盘价格为 pt,股票的收益率记为 yt=ln(pt/pt1),本部分考虑了 4999 天的日收益率数据.首先我们对以上数据进行描述性统计分析,分析结果见表 3.从数据的偏度和峰度的结果可以看出,两组数据都是右偏的,且存在厚尾现象.Ljung-Box 检验说明上证综合指数和深圳成份指数的两组数据都存在自相关性.最后一列的 ARCH 检验说明数据存在异方差性.对以上两组数据的描述性统计分析说明,利用随机波动率模型对这两组数据建模是合理的.表 3上证综合指数和深圳成份指数日收益率数据的描述性统计分析最小值均值最大值 标准差偏度峰度Ljung-BoxARCH上证指数-0.0408-7.79871050.04020.0068 0.3725 4.9662 239.54(2.21016)378.24(0.0001)深证指数-0.0414-0.00010.04230.0077 0.3602 0.3580 124.63(2.21016)396.73(0.0001)其次,对上证综合指数和深圳成份指数的日收盘价格和日收益率数据进行直观展示,见图 1图 4.图 1 和图 3 展示了上证综合指数和深圳成份指数的日收盘价格随时间变化的趋势图,图 2 和图 4 是相应的日收益数据变动情况图.可以看出,两组收益数据均具有明显的波动性,且波动都具有聚集性,这与随机波动率模型的基本特征相吻合,印证了利用随机波动率模型拟合以上两组数据的合理性.因此,我们利用本文所提出的带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型(6)和(7)对两组数据进行建模,分割区间和分割位置的设置与模拟中的设置保持一致,即 m=1 和 m=2.利用贝叶斯 MCMC 参数估计方法对模型中参数进行估计.为了评价本文所提模型的有限样本表现,同时也利用文献 4 中的 Spline1模型和 Spline2 模型对以上收益数据进行了拟合.本文提出的两种模型和两种对比基准模型在上证综合指数和深圳成份指数两种数据下的所有参数估计结果见表 4 和表 5.272应用概率统计第 40 卷图 1上证综合指数的日收盘价格图 2上证综合指数的日收益率图 3深圳成份指数的日收盘价格从表 4 和表 5 中可以得出以下结论.首先,对于上证综合指数和深圳成份指数,四组模型中的持续性参数的估计值均是接近于 1,说明两组数据中波动率均具有持续性,这一结论符合实际数据分析中波动率持续性的特征.其次,可以发现在两组数据下 TVL1 和 TVL2第 2 期郝红霞,等:带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用273图 4深圳成份指数的日收益率表 4上证综合指数的估计结果Spline1Spline2TVL1TVL20.95580.960010.97040.9377(0.0272)(0.0232)(0.0278)(0.0250)0.04280.028720.96220.9394(0.0218)(0.0155)(0.0137)(0.0257)1-0.4364-0.325230.9071(0.0287)(0.0301)(0.0218)20.0601-0.48550.03960.0468(0.0376)(0.0344)(0.0155)(0.0286)3-0.07431-0.4342-0.1622(0.0373)(0.0168)(0.0328)0.23000.225420.1787-0.4784(0.0386)(0.0371)(0.0285)(0.0314)3-0.1840(0.5708)0.21130.2056(0.0423)(0.0240)DIC-22820.9-23337.7DIC-23548.7-23507.6注:括号中的数值表示标准误差.模型中 1、2、3的值不完全相同,说明过去收益对下期波动率有一定程度的影响,且过去收益的正负和强度对未来波动率的影响程度不同,这一结论符合波动率非对称性和时变性的常规假设.需要注意的是,在大多数情况相关系数 的估计值是负值,说明收益和波动率之间存在着负向的相关性.注意到,用 Spline1 和 TVL1 模型对上证综合指数和深证成份指数估计中的 2的估计值均是正值,这一结论在有些情形下也是会发生的,这是因为当收益下降时,大多数情形下大家会选择盲目地交易,但有时候有投资者也可能会选择274应用概率统计第 40 卷表 5深圳成份指数的估计结果Spline1Spline2TVL1TVL20.96710.961210.97320.9403(0.0245)(0.0224)(0.0231)(0.0241)0.03970.026120.96020.9376(0.0235)(0.0143)(0.0124)(0.0252)1-0.4827-0.378630.9213(0.0231)(0.0285)(0.0208)20.0573-0.48340.03670.0406(0.0342)(0.0323)(0.0123)(0.0216)3-0.06891-0.4432-0.1833(0.0373)(0.0162)(0.0242)0.21780.221620.1716-0.4641(0.0344)(0.0362)(0.0274)(0.0213)3-0.1922(0.0317)0.21070.2074(0.0412)(0.0405)DIC-23674.3-24105.6DIC-24343.8-24401.5注:括号中的数值表示标准误差.wait-and-see 的策略,此时就不会引起波动率的大幅度变动,因此这一结论在一定程度上也符合股票市场的实际情况.从模型选择指标 DIC 的角度来看,对于上证综合指数,TVL1 模型优于其他三个模型,TVL2 模型优于 Spline1 和 Spline2 模型,这说明本文提出的时变杠杆效应半参数随机波动率模型在该数据中有着较好的有限样本表现,即将市场上到达的消息对波动率和杠杆效应的非对称性影响考虑进模型中是合理有效的,且在这种情况下区间划分 m=1 是优于m=2 的,即对数据的划分并不是划分的越细越好,而是根据数据自身特性来决定.对于深圳成份指数,TVL2 模型优于其他三个模型,TVL1 模型优于 Spline1 和 Spline2 模型,说明 TVL 系列模型的表现均优于 Spline 系列模型,且对划分区间个数来说,m=2 是优于m=1 的,说明对于深圳成份指数,市场消息在三个被划分的区间中对波动率和杠杆效应有着不同的影响,因此考虑用带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型拟合该数据有着良好的有限样本表现.6结论为了刻画市场中金融时间序列的时变非对称杠杆效应和非对称波动率,本文基于线性样条的方法,提出了一种带有时变杠杆效应的半参数随机波动率模型,根据到达市场消息的正负和绝对大小来刻画以上的两种典型事实特征,并利用贝叶斯 MCMC 的方法对模型第 2 期郝红霞,等:带有时变杠杆效应的随机波动率模型参数估计及其应用275中的参数进行了估计.模拟实验说明了所利用的估计方法在所提半参数随机波动率模型中的有限样本表现,对上证综合指数和深圳成份指数的实例分析说明了带有时变杠杆效应半参数随机波动率模型在拟合实际数据中的合理性和有效性.需要注意的是,本文模型中收益方程和方差方程中的误差项均被假设是正态分布,这一点在实际应用中有时很难满足.因此,未来的研究方向之一是研究误差分布未知情况下半参数随机波动率模型的估计问题;其次,随着计算机技术的进步,高频数据和机器学习已成为可能1318,未来的另一个研究方向是如何充分利用高频数据和低频数据,建立基于机器学习模型的波动率预测模型,期望更全面地挖掘资产收益和风险之间的内在关系.参考文献1 吴鑫育,马超群,汪寿阳.随机波动率模型的参数估计及对中国股市的实证J.系统工程理论与实践,2014,34(1):3544.2 JACQUIER E,POLSON N G,ROSSI P E.Bayesian analysis of stochastic volatility models withfat-tails and correlated errorsJ.J Econometrics,2004,122(1):185212.3 HARVEY A C,SHEPHARD N.Estimation of an asymmetric stochastic volatility model for assetreturnsJ.J Bus Econ Stat,1996,14(4):429434.4 YU J.A semiparametric stochastic volatility modelJ.J Econometrics,2012,167(2):473482.5 WU X Y,ZHOU H L.A triple-threshold leverage stochastic volatility modelJ.Stud Nonlinear DynEconom,2015,19(4):483500.6 陈浪南,黄杰鲲.中国股票市场波动非对称性的实证研究J.金融研究,2002,(5):6773.7 SO M K P,LI W K,LAM K.A threshold stochastic volatility modelJ.J Forecast,2002,21(7):473500.8 吴鑫育,周海林,汪寿阳,等.双杠杆门限随机波动率模型及其实证研究J.管理科学学报,2014,17(7):6381.9 YU J.On leverage in a stochastic volatility modelJ.J Econometrics,2005,127(2):165178.10 MEYER R,YU J.BUGS for a Bayesian analysis of stochastic volatility modelsJ.Econom J,2000,3(2):198215.11 HAO H X,LIN J G,HUANG X F,et al.Estimation and application of semiparametric stochasticvolatility models based on kernel density estimation and hidden Markov modelsJ.Appl Stoch ModelsBus Ind,2018,34(3):355375.12 LANGROCK R,KNEIB T,SOHN A,et al.Nonparametric inference in hidden Markov models usingP-splinesJ.Biometrics,2015,71(2):520528.13 蔡光辉,项琳.中国铜期货市场波动率估计与风险度量 基于广义已实现测度的 Realized HARGARCH 模型J.中国管理科学,2021,29(11):112.14 方彤,苏治.一种基于 LASSO 的多变量混频 GARCH 模型设计与优化算法研究J.数量经济技术经济研究,2021,38(12):146163.15 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methodperforms well in parameter estimation for the proposed model,even with limited sample sizes.Finally,thesuggested semi-parametric stochastic volatility model with time-varying leverage effects is applied to theempirical analysis of daily returns data for the Shanghai Composite Index and the Shenzhen ComponentIndex from January 4,2000,to August 18,2020.The results demonstrate the superiority of the proposedmethod.Keywords:semiparametric stochastic volatility model;linear spline;time-varying leverage effect;Bayesian MCMC method2020 Mathematics Subject Classification:62F10