复变函数第四讲公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

&1.1.指数函数指数函数&2.2.对数函数对数函数&3.3.乘幂与幂函数乘幂与幂函数&4.4.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数&5.5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数223 3 初等函数初等函数第1页第1页 223 3 初等函数初等函数本节将微积分初等函数推广到复变函本节将微积分初等函数推广到复变函数情形，给出基本初等函数定义，研数情形，给出基本初等函数定义，研究这些基本初等函数性质，并阐明它究这些基本初等函数性质，并阐明它解析性。由此能够得到初等函数相关解析性。由此能够得到初等函数相关性质。性质。第2页第2页1.1.指数函数指数函数指数函数性质指数函数性质定义定义 2.3.1指数函数概念指数函数概念第3页第3页(3)当当I m(z)=0，即，即z=x R时，时，注注 此性质表明复指数函数是实指数函数推广，因此性质表明复指数函数是实指数函数推广，因此我们能够简记此我们能够简记注注 由此性质可得到由此性质可得到Euler公式：公式：第4页第4页例例1例例2例例3A 周期性质是实变指数函数所没有。周期性质是实变指数函数所没有。第5页第5页2.2.对数函数对数函数定义定义2.3.2 指数函数反函数称为对数函数。即，指数函数反函数称为对数函数。即，对数概念对数概念注 由定义知Ln z与 互为反函数。另一方面由周期性可知Ln z是多值函数。对数表示式对数表示式第6页第6页证实证实对数主值支对数主值支 对于多值函数，通常研究办法是将其分支化，引对于多值函数，通常研究办法是将其分支化，引入主值概念。入主值概念。第7页第7页 对数函数性质对数函数性质注注 由此性质可知，对数主值由此性质可知，对数主值 是实对数推广。是实对数推广。各个分支与主值各个分支与主值 相差常数相差常数2i整数倍，整数倍，因此只因此只须须将将 性性质质弄清楚，就掌握了弄清楚，就掌握了 各个各个分支性分支性质质。下面。下面仅讨论仅讨论 性性质质。第8页第8页 对于多值函数，复对数函数对于多值函数，复对数函数 保持实对数保持实对数一些运算性质：一些运算性质：值得注意是下列式子并不成立值得注意是下列式子并不成立:例例4负数在复变函数中能够求对数负数在复变函数中能够求对数,但是零不能求对数但是零不能求对数第9页第9页3.3.乘幂与幂函数乘幂与幂函数 乘幂乘幂定义定义2.3.3 多值多值普通为多值普通为多值第10页第10页 q个值例例第11页第11页解解第12页第12页(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a n次根次根意义一致。意义一致。(1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a n次幂意次幂意义一致。义一致。第13页第13页 幂函数幂函数定义定义2.3.4幂函数性质幂函数性质 w=z w=zn 在整个复平面上或去掉原点复平在整个复平面上或去掉原点复平面是单值解析函数面是单值解析函数.单值性和多值性单值性和多值性第14页第14页w=zw=zn反函数反函数解析性解析性第15页第15页4.4.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数定义定义2.3.5 定义三角函数下列定义三角函数下列：定义双曲函数下列：定义双曲函数下列：第16页第16页正弦与余弦函数性质正弦与余弦函数性质第17页第17页 用定义能够验证上述加法定理以及其它三角用定义能够验证上述加法定理以及其它三角恒等式，如倍角公式、诱导公式等等，并由此恒等式，如倍角公式、诱导公式等等，并由此能够得到下列性质。能够得到下列性质。第18页第18页双曲正弦与双曲余弦函数性质双曲正弦与双曲余弦函数性质双曲函数含有完全类似于三角函数性质。双曲函数含有完全类似于三角函数性质。第19页第19页 正弦函数和余弦函数不再含有有界性。正弦函数和余弦函数不再含有有界性。实双曲函数不含有周期性。实双曲函数不含有周期性。第20页第20页5.5.反三角函数和反双曲函数反三角函数和反双曲函数 以反余弦函数为例进行讨论，其余反函数研以反余弦函数为例进行讨论，其余反函数研究方式完全类似。究方式完全类似。反余弦函数概念反余弦函数概念定义定义2.3.6反余弦函数表示式反余弦函数表示式 三角函数和双曲函数含有周期性，因此它们三角函数和双曲函数含有周期性，因此它们反函数一定是多值函数。反函数一定是多值函数。第21页第21页其它反三角函数和反双曲函数其它反三角函数和反双曲函数第22页第22页 以上给出了以上给出了5 5类基本初等函数。由基本初等函数、类基本初等函数。由基本初等函数、常数通过有限次四则运算和有限次复合运算，由一常数通过有限次四则运算和有限次复合运算，由一个数学式子表示函数称为初等函数。个数学式子表示函数称为初等函数。初等函数初等函数 单值初等函数在其定义域内连续；多值初等单值初等函数在其定义域内连续；多值初等函数单值分支在其割支线上有定义但不连续函数单值分支在其割支线上有定义但不连续,在在其它有定义点处连续。其它有定义点处连续。初等函数连续性初等函数连续性第23页第23页练习题练习题证实证实第24页第24页