人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元-易错题专项训练检测试题.doc

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题专项训练检测试题

一、选择题
1．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是( )

A．2 B． C． D．
2．如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在中，= 90°， = 30°，若OE =，则正方形的面积为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，正方形中，点分别在边上，且，有下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABDC的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BC A′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为3或7．其中正确的是( )

A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
5．如图所示，E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，AE交CD于点F，那么∠AFC的度数为（ ）

A．112.5° B．125° C．135° D．150°
6．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )

A．3 B． C．2或3 D．3或
7．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心，再从中心走到正方形GFH的中点，又从中心走到正方形IHJ的中心，再从中心走到正方形KJP的中心，一共走了m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）

A．36m B．48m C．96m D．60m
8．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=．其中正确的结论是（）

A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
9．如图，正方形的边长为1，顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形，又顺次连接正方形四边中点得到第二个正方形，……，以此类推，则第六个正方形的面积是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，平分，交于点且，延长与的延长线相交于点，连接、.下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤；其中正确的有( )

A．个 B．个
C．个 D．个
二、填空题
11．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．

12．如图，在矩形中，，，为边的中点，点在线段上运动，是的中点，则的周长的最小值是____________．

13．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BC=DF；②；③；④，则，正确的有__________________．

14．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），则EP十BP的最小值为__________．

15．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________

17．如图，正方形面积为，延长至点，使得，以为边在正方形另一侧作菱形，其中，依次延长类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点则四边形的面积为___________．

18．如图，矩形中，，延长交于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点，，则=_________．

19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正确的是_____（填序号）

三、解答题
21．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点
（1）求证：四边形是菱形
（2）若，求菱形的面积

22．综合与探究
如图1,在中,为锐角,点为射线上一点,连接,以为一边且在的右侧作正方形,解答下列问题:
（1）研究发现:如果,
①如图2,当点在线段上时（与点不重合）,线段、之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点在线段的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．
（2）拓展发现:如果,点在线段上,点在的外部,则当_______时,．

23．如下图1，在平面直角坐标系中中，将一个含的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A的坐标为，．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O顺时针旋转时，则点B的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O顺时针，如图3，在AB边上的上方以AB为边作等边，问：是否存在这样的点D，使得以点A、B、C、D四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O作于点P，如图4，若点F是边OB的中点，点M是射线PF上的一个动点，当为直角三角形时，求OM的长．

24．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）连结、，若，则是等边三角形吗？为什么？
（3）若，，，是的中点，求的长．
25．如图所示，四边形是正方形， 是延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点，且直角顶点在边上滑动(点不与点重合)，另一直角边与的平分线相交于点．
(1)求证: ;
(2)如图(1)，当点在边的中点位置时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想;
(3)如图(2)，当点在边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

26．已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，如果，，，求的面积；
（3）如果，，当是直角三角形时，求的长．

27．已知正方形与正方形（点C、E、F、G按顺时针排列），是的中点，连接，.

（1）如图1，点在上，点在的延长线上，
求证：=ME，⊥.ME
简析： 由是的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE是 三角形,进而得出结论.
（2）如图2， 在的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点在直线CD上，则DM= ;若点E在直线BC上，则DM= .
28．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC．
(1)如图1，求证：CF⊥EF;
(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.

29．如图，四边形ABCD为矩形，C点在轴上，A点在轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直线EF折叠，点B落在AD边上的G处，E、F分别在BC、AB边上且F(1，4)．
(1)求G点坐标
(2)求直线EF解析式
(3)点N在坐标轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由

30．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．

（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．

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一、选择题

1．D
解析：D
【分析】
连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=，CF=，∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，由勾股定理得，，
∵H是AF的中点，∴CH=AF=×=.
故选D．

【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正方形的性质求出OC=OD=a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，

∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为，则OC=OD=
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴DE=CD=，
由勾股定理得，CE= ，
∴四边形OCED的面积=，
解得，
所以，正方形ABCD的面积=．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
3．C
解析：C
【分析】
由已知得，，利用“”可证，利用全等的性质判断①②③正确，在上取一点，连接，使，由正方形，等边三角形的性质可知，从而得，设，则，，分别表示，，的长，判断④⑤的正确性．
【详解】
解：，，
，为等边三角形，
，又，
，
，
，
①②③正确，
在上取一点，连接，使，

则，
，
设，则，，
，，
，而，
④错误，
⑤，

⑤正确．
正确的结论有：①②③⑤．
故选．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；
②根据折叠的性质得到AC=CD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC是菱形；
③连结A′D，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD≌△A′BD，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D∥BC；
④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．
【详解】
①∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积=2×5=10；故①正确；
②∵四边形ABDC是平行四边形，
∵A′与D重合时，
∴AC=CD，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴四边形ABDC是菱形；故②正确；
③连结A′D，如图，

∵△ABC沿BC折叠得到△A′BC，
∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，
在△A′CD和△A′BD中
，
∴△A′CD≌△A′BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A′D∥BC，
∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；
④设矩形的边长分别为a，b，
当∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠BCA=90°，
∴S△A′CB=S△ABC=×2×5=5，
∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，
而BA′=BA=5，
∴a2+b2=25，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，
∴a+b=3，
当∠BCD=90°时，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=3，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴a+b=7，
∴此矩形相邻两边之和为或7．故④正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=22.5°，再根据 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：∵CE=AC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠E+∠CAE=45°，
∴∠E=×45°=22.5°，
在△CEF中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．

此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故选D．
【点睛】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
7．C
解析：C
【解析】
设正方形O3KJP的边长为a，根据正方形的性质知：O3O4=a，
正方形O2IHJ的边长为2a，O2O3=a，
正方形O1GFH的边长为4a，O1O2=2a，
正方形OCDF的边长为8a，OO1=4a，
∵AO=2OO1=8am，
∴a+a+2a+4a+8a=31，
解得：a=2m，
∴FD=8a=16m，
∴长方形花坛ABCD的周长是2×（2FD+CD）=6FD=96m，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的中心到顶点的距离等于到边的距离的倍，熟记性质是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，即可判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，即可判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可判断出④正确．
【详解】
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∵四边形CFHE是菱形，
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
④如图，过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，EF=，故④正确；
综上所述，结论正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
9．A
解析：A
【分析】
计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.
【详解】
顺次连接正方形四边的中点得到第一个正方形
则正方形的面积为
正方形的面积为
正方形的面积为
正方形的面积为
根据规律可得，第六个正方形的面积为
【点睛】
本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.
10．B
解析：B
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE=∠BEA，得出AB=BE=AE，得出②正确；由△ABE是等边三角形得出∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，得出①正确；由S△AEC=S△DEC，S△ABE=S△CEF得出⑤正确；③和④不正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF；⑤正确．
若AD与BF相等，则BF=BC，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
若S△BEF=S△ACD；则S△BEF=S△ABC，
则AB=BF，
∴BF=BE，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
正确的有①②⑤．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
二、填空题

11．2
【详解】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中， DE=2．

考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．
12．
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+（CP+PD）=（CD+PC+PD）=C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+（CP+PD）=（CD+PC+PD）=C△CDP
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，

∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴，
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，
∵PT+PC≥CT，
∴PT+PC≥，
∴PT+PC的最小值为4，
∴△PDC的最小值为4+，
∴C△CEF=C△CDP=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
13．①③④
【分析】
由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC，可判断①；通过证明△DCG≌△BEG，可得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=x，DG=GB=x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，CG⊥AG，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG⊥DG，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，

∵，
∴设AD=4x=DF，AB=3x，
∴CF=CE=x，BD=，
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=x，DG=GB=x，
∴S△DGF=×DF×HG=x2，S△BDG=DG×GB=x2，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
14．
【分析】
先根据菱形的性质可得OC垂直平分BD，从而可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为DE，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
如图，连接BP、DP、EP、DE、BD，过点D作于点A，
，
，
四边形ABCD是菱形，
垂直平分BD，，
点P是对角线OC上的点，
，
，
由两点之间线段最短可知，的最小值为DE，即的最小值为DE，
，
是等边三角形，
，
，，
，
又，
，
即的最小值为，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出的最小值为DE是解题关键．
15．①②④
【分析】
①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；
②延长EF，交CD延长线于点M，首先根据平行四边形的性质证明，得出，进而得出，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；
③由，得出，从而可判断正误；
④设 ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE和∠AEF，从而判断正误．
【详解】
①∵点F是AD的中点，
∴ ．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，
，
，
，
∴∠BCD＝2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
∵点F是AD的中点，
∴ ．
在和中，

．
，
，
，
，故②正确；
③∵，
∴ ．

，故③错误；
④设 ，则，
，
，
．
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为 ：①②④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．
16．
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=AG=．
【详解】
解：连接FD

∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，
∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，
此时CF最小，
此时CF=AG=；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
17．
【分析】
如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=，进一步可得，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.
【详解】

如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，
∵ABCD为正方形，
∴∠CDG=∠GDK=90°，
∵正方形ABCD面积为1，
∴AD=CD=AG=DQ=1，
∴DG=CT=2，
∵四边形DEFG为菱形，
∴DE=EF=DG=2，
同理可得：CT=TN=2，
∵∠EFG=45°，
∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，
∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，
∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，
∴DQ=EQ=TK=NK=，FQ=FE+EQ=，
∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，
∴四边形NKQR是矩形，
∴QR=NK=，
∴FR=FQ+QR=，NR=KQ=DK−DQ=，
∴，
再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，
∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，
∵∠NFR+∠FNR=90°，
∴∠MNZ+∠FNR=90°，
即∠FNM=90°，
同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，
∴四边形FHMN为正方形，
∴正方形FHMN的面积=，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
18．
【分析】
通过四边形ABCD是矩形以及，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
∵，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，KE=，
∴NE=NK+KE=6+，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+，
∴BE=，
∴BC=BE=，
故答案为：

【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
19．
【分析】
根据•BC•AH＝•AB•AC，可得AH＝，根据 AD•BO＝BD•AH，得OB＝，再根据BE＝2OB＝，运用勾股定理可得EC．
【详解】
设BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，
由勾股定理得：BC＝，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，DE＝DB，
∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分线段BE，
∵AD•BO＝BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
∵DE＝DB=CD，
∴∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∴∠DEB+∠DEC=×180°=90°，即：∠BEC=90°，
∴在Rt△BCE中，EC＝ ＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
20．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．
【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=AC，
∵AB=AC，EF＝AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴AC=CD，
∵AB=AC，
∴AB＝CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题

21．（1）见解析（2）10
【分析】
（1）先证明，得到，，再证明四边形是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，即可证明四边形是菱形。
（2）连接，证明四边形是平行四边形，得到，利用菱形的求面积公式即可求解。
【详解】
（1）证明： ∵，∴，
∵是的中点，是边上的中线，∴，
在和中，
，
∴，∴．
∵，∴．
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，是的中点，
∴，∴四边形是菱形；
（2）如图，连接，

∵，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵四边形是菱形，∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。
22．（1）①，；②当点在的延长线上时