人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试卷.doc

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试提优卷试卷一、解答题1已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），ABAE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图）时，点F与点B也重合用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系： ；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图）时在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系： 2如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GEDC于点E，GFBC于点F，连结AG（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，AGF=105，求线段BG的长3如图，在矩形中，点是上的一点（不与点，重合），沿折叠，得，点的对称点为点 （1）当时，点会落在上吗？请说明理由（2）设，且点恰好落在上求证：若，用等式表示的关系4如图1所示，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF(1)求证：AEAF；(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN则MD，MN的数量关系是 ，MD、MN的位置关系是 (3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由5在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1，M点坐标为（m，0），C点坐标为（0，n），已知m，n满足（1）求m，n的值；（2）如图1，P，Q分别为OM，MN上一点，若PCQ45，求证：PQOP+NQ；如图2，S，G，R，H分别为OC，OM，MN，NC上一点，SR，HG交于点D若SDG135，则RS_；（3）如图3，在矩形OABC中，OA5，OC3，点F在边BC上且OFOA，连接AF，动点P在线段OF是（动点P与O，F不重合），动点Q在线段OA的延长线上，且AQFP，连接PQ交AF于点N，作PMAF于M试问：当P，Q在移动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由6（解决问题）如图1，在中，于点点是边上任意一点，过点作，垂足分别为点，点（1）若，则的面积是_，_（2）猜想线段，的数量关系，并说明理由（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，垂足分别为点，点，点，求的值（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，垂足分别为点，点若，直接写出的值7如图，锐角，点是边上的一点，以为边作，使，（1）过点作交于点，连接（如图）请直接写出与的数量关系；试判断四边形的形状，并证明；（2）若，过点作交于点，连接（如图），那么（1）中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由8在矩形ABCD中，BE平分ABC交CD边于点E点F在BC边上，且FEAE（1）如图1，BEC=_；在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FHCD交AD于点H，交BE于点MNHBE，NBHE，连接NE若AB=4，AH=2，求NE的长9如图，中，连结，是边上一点，连结交于点（1）如图1，连结，若，求的面积；（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，过作于点若，求证：10如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE（1）求证：（2）过点F作于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，求证：NH=FM【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、解答题1（1）DECF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AFCFDF或|AFCF|DF【分析】（1）易证BCD是等腰直角三角形，得出DB=CB，即可得出结果；（2）情况1：过点C作CGCF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得CDGCBF，得出DG=FB，CG=CF，则GCF是等腰直角三角形，FG=CF，连接BE，设CDG=，则CBF=，DEA=ADE=90-，求出DAE=2，则EAB=90-2，BEA=ABE=（180-EAB）=45+，CBE=45-，推出FBE=45，得出BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出DE=CF；情况2：过点C作CGCF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得CDGCBF，得出DG=FB，CG=CF，则GCF是等腰直角三角形，得FG=CF，设CDG=，则CBF=，证明BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出DE=CF；（3）当F在BC的右侧时，作HDDF交FA延长线于H，由（2）得BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得ABFAEF，得出EFA=BFA=BFE=45，则HDF是等腰直角三角形，得HF=DF，DH=DF，HDF=ADC=90，由SAS证得HDAFDC，得CF=HA，即可得出AF+CF=DF；当F在AB的下方时，作DHDE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得CNFCBF，得NFC=BFC=BFD=45，则DFH是等腰直角三角形，得FH=DF，DF=DH，由SAS证得ADFCDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=DF；当F在DC的上方时，连接BE，作HDDF，交AF于H，由（2）得BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得ABFAEF，得EFA=BFA=BFE=45，则HDF是等腰直角三角形，得出HF=DF，DH=DF，由SAS证得ADCHDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=DF；当F在AD左侧时，作HDDF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得ABFAEF，得EFA=BFA=BFE=45，则DFH=EFA=45，HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，HF=DF，由SAS证得HDAFDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=DF【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，CD=CB，BCD=90，BCD是等腰直角三角形，DB=CB，当点E、F与点B重合时，则DE=CF，故答案为：DE=CF；（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：四边形ABCD是正方形，CD=CB=AD=AB=AE，BCD=DAB=ABC=90，过点C作CGCF，交DF于G，如图所示：则BCD=GCF=90，DCG=BCF，设BC交DF于P，BFDE，BFD=BCD=90，DPC=FPB，CDP=FBP，在CDG和CBF中，CDGCBF（ASA），DG=FB，CG=CF，GCF是等腰直角三角形，FG=CF，连接BE，设CDG=，则CBF=，ADE=90-，AD=AE，DEA=ADE=90-，DAE=180-2（90-）=2，EAB=90-2，AB=AE，BEA=ABE=（180-EAB）=（180-90+2）=45+，CBE=90-（45+）=45-，FBE=CBE+CBF=45-+=45，BFDE，BEF是等腰直角三角形，EF=BF，EF=DG，EF+EG=DG+EG，即DE=FG，DE=CF；情况2：过点C作CGCF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，如图所示：GCF=BCD=90，DCG=BCF，FPD=BPC，FDP=PBC，在CDG和CBF中，CDGCBF（ASA），DG=FB，CG=CF，GCF是等腰直角三角形，FG=CF，设CDG=，则CBF=，同理可知：DEA=ADE=90-，DAE=2，EAB=90+2，AB=AE，BEA=ABE=45-，FEB=DEA-AEB=90-（45-）=45，BFDE，BEF是等腰直角三角形，EF=BF，EF=DG，DE=FG，DE=CF；（3）当F在BC的右侧时，作HDDF交FA延长线于H，如图所示：由（2）得：BEF是等腰直角三角形，EF=BF，在ABF和AEF中，ABFAEF（SSS），EFA=BFA=BFE=45，HDF是等腰直角三角形，HF=DF，DH=DF，HDF=ADC=90，HDA=FDC，在HDA和FDC中，HDAFDC（SAS），CF=HA，DF=HF=HA+AF=CF+AF，即AF+CF=DF；当F在AB的下方时，作DHDE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，如图所示：设DAE=，则CDN=CND=90-，DCN=2，NCB=90-2，CN=CD=CB，CNB=CBN=（180-NCB）=（180-90+2）=45+，CNE=180-CND=180-（90-）=90+，FNB=90+-（45+）=45，BFN是等腰直角三角形，BF=NF，在CNF和CBF中，CNFCBF（SSS），NFC=BFC=BFD=45，DFH是等腰直角三角形，FH=DF，DF=DH，ADC=HDE=90，ADF=CDH，在ADF和CDH中，ADFCDH（SAS），CH=AF，FH=CH+CF=AF+CF，AF+CF=DF；当F在DC的上方时，连接BE，作HDDF，交AF于H，如图所示：由（2）得：BEF是等腰直角三角形，EF=BF，在ABF和AEF中，ABFAEF（SSS），EFA=BFA=BFE=45，HDF是等腰直角三角形，HF=DF，DH=DF，ADC=HDF=90，ADH=CDF，在ADC和HDF中，ADCHDF（SAS），AH=CF，HF=AF-AH=AF-CF，AF-CF=DF；当F在AD左侧时，作HDDF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，如图所示：AB=AE=AD，AED=ADE，PFD=PAB=90，FPD=BPA，ABP=FDP，FEA=FBA，AB=AE，AEB=ABE，FEB=FBE，BFE是等腰直角三角形，EF=BF，在ABF和AEF中，ABFAEF（SSS），EFA=BFA=BFE=45，DFH=EFA=45，HDF是等腰直角三角形，DH=DF，HF=DF，HDF=CDA=90，HDA=FDC，在HDA和FDC中，HDAFDC（SAS），AF=CF，AH-AF=CF-AF=HF，CF-AF=DF，综上所述，线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF，故答案为：AF+CF=DF或|AF-CF|=DF【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键2（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2）【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在RtGFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BNAG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM设AN=x易证AM=BM=2x，MN=x，在RtABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根据BG=BNcos30即可解决问题.【详解】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2理由：连接CG四边形ABCD是正方形，A、C关于对角线BD对称，点G在BD上，GA=GC，GEDC于点E，GFBC于点F，GEC=ECF=CFG=90，四边形EGFC是矩形，CF=GE，在RtGFC中，CG2=GF2+CF2，AG2=GF2+GE2（2）作BNAG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM设AN=xAGF=105，FBG=FGB=ABG=45，AGB=60，GBN=30，ABM=MAB=15，AMN=30，AM=BM=2x，MN=x，在RtABN中，AB2=AN2+BN2，1=x2+（2x+x）2，解得x=，BN=，BG=BNcos30=【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质3（1）不会，理由见解析；（2）见解析；【分析】（1）根据得到，根据三角形的三边关系得到，与已知矛盾；（2）根据、和BF=CD，利用AAS证得，根据全等三角形的性质即可证明；设，则可表示出AE和AB，然后根据等角对等边证得CE=CB，然后在中应用勾股定理即可求解【详解】（1） 由折叠知 ，所以 若点在上，则，与矛盾，所以点不会落在上（2）因为，则 ，因为点落在上， 所以 ，所以 因为 ，所以 ，所以 ，所以 若，则设，则因为，所以 因为 ，所以 ，所以 在中， ，所以 ，所以故答案为（1）不会，理由见解析；（2）见解析；【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键4(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明ABEADF即可求解；(2)MN是AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由DMFDAF+ADM，FMNFAE，DAFBAE，ADMDAFBAE，由此得到DMNBAD90；(3)连接AE，同(1)中方法证明ABEADF，进而得到AE=AF，此时MN是AEF中位线，MD是直角ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解【详解】解：(1)证明：如图1中，四边形ABCD是正方形ABADBCCD，BADF90，CEF是等腰直角三角形，C90，CECF，BCCECDCF，即BEDF，ABEADF（SAS），AEAF(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：在RtADF中DM是斜边AF的中线，AF2DM，MN是AEF的中位线，AE2MN，由(1)知：AEAF，DMMN；DMFDAF+ADM，AMMD，FMNFAE，DAFBAE，ADMDAFBAE，DMNBAD90，DMMN，故答案为：相等，垂直；(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：连接AE，交MD于点G，如下图所示，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MNAE，由(1)同理可证，ABADBCCD，BADF，CECF，又BC+CECD+CF，即BEDF，ABEADF（SAS），AEAF，在RtADF中，点M为AF的中点，DMAF，DMMN，ABEADF，12，ABDF，13，同理可证：24，34，DMAM，MAD5，DGE5+4MAD+390，MNAE，DMNDGE90，DMMN故答案为：仍成立【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等几何知识，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键5（1）m5，n=5；（2）证明见解析；（3）MN的长度不会发生变化，它的长度为【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题（2）作辅助线，构建两个三角形全等，证明COECNQ和ECPQCP，由PEPQOE+OP，得出结论；作辅助线，构建平行四边形和全等三角形，可得CSRE和CFGH，则CESR，CFGH，证明CENCEO和ECFECF，得EFEF，设ENx，在RtMEF中，根据勾股定理列方程求出EN的长，再利用勾股定理求CE，则SR与CE相等，所以SR ；（3）在（1）的条件下，当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化，求出MN的长即可；如图4，过P作PDOQ，证明PDF是等腰三角形，由三线合一得：DMFD，证明PNDQNA，得DNAD，则MNAF，求出AF的长即可解决问题【详解】解：（1） ，又0，|5m|0，n50，5m0，m5，n=5（2）如图1中，在PO的延长线上取一点E，使NQOE，CNOMOCMN，COM90，四边形OMNC是正方形，COCN，EOCN90，COECNQ（SAS），CQCE，ECOQCN，PCQ45，QCN+OCP904545，ECPECO+OCP45，ECPPCQ，CPCP，ECPQCP（SAS），EPPQ，EPEO+OPNQ+OP，PQOP+NQ如图2中，过C作CESR，在x轴负半轴上取一点E，使OEEN，得CSRE，且CENCEO，则CESR，过C作CFGH交OM于F，连接FE，得CFGH，则CFGH，SDG135，SDH18013545，FCESDH45，NCE+OCF45，CENCEO，ECOECN，CECE，ECFECO+OCF45，ECFFCE，CFCF，ECFECF（SAS），EFEF在RtCOF中，OC5，FC，由勾股定理得：OF ，FM5，设ENx，则EM5x，FEEFx+，则（x+）2（）2+（5x）2，解得：x，EN，由勾股定理得：CE ，SRCE故答案为（3）当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化理由：如图3中，过P作PDOQ，交AF于DOFOA，OFAOAFPDF，PFPD，PFAQ，PDAQ，PMAF，DMFD，PDOQ，DPNPQA，PNDQNA，PNDQNA（AAS），DNAN，DNAD，MNDM+DNDF+ADAF，OFOA5，OC3，CF，BFBCCF541，AF，MNAF，当P、Q在移动过程中线段MN的长度不会发生变化，它的长度为【点睛】本题是四边形与动点问题的综合题，考查了矩形、正方形、全等三角形等图形的性质与判定，灵活运用所学知识是解答本题的关键6（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4【分析】解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的面积，由的面积的面积的面积的面积，即可得出答案；（4）过点作，垂足为，易证，过点作，垂足为，由解决问题（1）可得，易证，只需求出即可【详解】解：（1），的面积，且，.故答案为：15，8.（2），且，.（3）连接、，作于，如图2所示：，是等边三角形，的面积，的面积的面积的面积的面积，.（4）过点作，垂足为，如图3所示：四边形是矩形，由折叠可得：，四边形是矩形，由解决问题（1）可得：，即的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题7（1）； 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析【分析】（1）根据，两角有公共角，可证；连接EB，证明EABDAC，可得,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形（2）根据，可证明AED和ABC为等边三角形，再根据EDFC结合等边三角形的性质，得出AFC=BDA，求证ABDCAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形【详解】解：（1），理由如下：，,，；证明：如下图，连接EB,在EAB和DAC中 EABDAC（SAS）,，,，,四边形为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：，AE=AD，AB=AC，AED和ABC为等边三角形，B=60，ADE=60，AD=ED,EDFC，EDB=FCB，AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDB，AFC=BDA，在ABD和CAF中，ABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大8（1）45；ADEECF，理由见解析；（2）2.【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可；利用定理证明；（2）连接，证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出即可.【详解】（1）四边形ABCD为矩形，ABC=BCD=90，BE平分ABC，EBC=45，BEC=45，故答案为45；ADEECF，理由如下：四边形ABCD是矩形，ABC=C=D=90，AD=BCFEAE，AEF=90AED+FEC=180-AEF=90AED+DAE=90，FEC=EAD，BE平分ABC，BEC=45EBC=BECBC=ECAD=EC在ADE和ECF中，ADEECF；（2）连接HB，如图2， FHCD，HFC=180-C=90四边形HFCD是矩形DH=CF，ADEECF，DE=CFDH=DEDHE=DEH=45BEC=45，HEB=180-DEH-BEC=90NHBE，NBHE，四边形NBEH是平行四边形四边形NBEH是矩形NE=BH四边形ABCD是矩形，BAH=90在RtBAH中，AB=4，AH=2，【点睛】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.9（1）；（2）见详解【分析】（1）根据所给的60，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE，然后求出三角形面积；（2）利用已知条件能够求出，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD转化在同一直线上，然后根据含有30的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果【详解】解：（1）如图：过A点作ANBE，交BE于N，ABE为等边三角形，AB=BE=AE=6即：AN=BE=6BC=10EC=4即：的面积为（2）如图：延长GD至P使DP=BG，连接AP，AH=AF，AFH=AHF即：AFB=AHD，又AF=AH，BF=DH，AB=AD又，ABG=ADPBG=DP，AG=AP，BAG=DAPABC=60BAD=120即：GAP=120AGP=APG=60，又AMGDGP=2GM=AG，BG=GPBG+GD=GD+DP=GP即：BG+GD=AG【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键10（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE，利用SAS可证明，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M作MKBC于K，延长EF交AB于T，根据ASA可证明，得到AE=MH，再利用AAS证明，得到NF=AE，从而证得MH=NF，即可得到结论【详解】证明：（1）四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，AB=AD=BC=CD，CG=CE，ABG=ADE=90，BCGC=CDEC，即BG=DE，AG=AE；（2）过M作MKBC于K，则四边形MKCD为矩形，MKH=ADE=90，MK=CD，AMK=90，MK=AD，AMP+HMK=90，又，EAD+AMP=90，HMK=EAD，MH=AE，延长EF交AB于T，则四边形TBGF为矩形，FT=BG，FTN=ADE=90， DE=BG，FT=DE，FPAE，DAB=90，N+NAP=DAE+NAP=90，N=DAE，FN=AE，FN=MH，FNFH=MHFH，NH=FM【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键