八年级初二数学下学期平行四边形单元-易错题难题质量专项训练.doc

八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题质量专项训练

一、选择题
1．如图，已知正方形的边长为8，点，分别在边、上，．当时，的面积是（ ）．

A．8 B．16 C．24 D．32
2．在菱形中，，点为边的中点，点与点关于对称，连接、、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
3．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在长方形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和为（ ）

A．5 B．6
C．7 D．8
5．如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（ ）

A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
6．如图，边长为的正方形的对角线交于点，点分别在边上 （），且的延长线交于点的延长线交于点恰为的中点．下列结论：
①；
②；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=．其中正确的结论是（）

A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
8．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PD＝2，下列结论：①EB⊥ED；②∠AEB＝135°；③S正方形ABCD＝5+2；④PB＝2；其中正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
9．如图，的对角线交于点平分交于点连接．下列结论：；平分；；，其中正确的有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则的长为_______________．

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．

13．如图，四边形纸片中，, ．若该纸片的面积为10 cm2，则对角线=______cm．

14．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），则EP十BP的最小值为__________．

15．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．

16．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______

17．如图，正方形面积为，延长至点，使得，以为边在正方形另一侧作菱形，其中，依次延长类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点则四边形的面积为___________．

18．如图，矩形中，，延长交于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点，，则=_________．

19．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为平面内动点，且满足AD＝4，连接BD，取BD的中点E，连接CE，则CE的最大值为_____．

三、解答题
21．综合与探究
（1）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．和之间有怎样的关系．请说明理由．
（2）如图2，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形中，，，，是上一点，且，，求的长．

22．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．
（1）操作发现：
①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个　 　三角形；
②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为　 　．
（2）深入探究：
在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2．
①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；
②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．

23．已知：在中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究的形状，并说明理由．

24．如图，在长方形中，． 动点分别从点同时出发向点运动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒1个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动，设运动的时间为．

（1）请用含的式子表示线段的长，则________，________．
（2）在运动过程中，若存在某时刻使得是等腰三角形，求相应的值．
25．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．

（1）求证：BP＝CQ；
（2）若BP＝PC，求AN的长；
（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．
26．如图，在四边形ABCD中，，，连接AC，点P、E分别在AB、CD上，连接PE，PE与AC交于点F，连接PC，，．
（1）判断四边形PBCE的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）当P为AB的中点时，四边形APCE是什么特殊四边形？请说明理由．

27．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．
（1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．

28．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t秒，问：
（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形
（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？

29．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．

30．已知，矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．
（1）如图1，连接，求证：四边形为菱形；
（2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，
①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则____________．
②若点的运动路程分别为 （单位:），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为____________．

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一、选择题

1．D
解析：D
【分析】
如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.
【详解】

解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠EAH=∠EAF=45°
在△AEF和△AEH中
AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF=8，
∴SAFE=S△AEH=-×8×8=32.
故选：D.
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
如图，设DE交AP于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；
【详解】
解：如图，设DE交AP于O.

∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC=AB
∵A.P关于DE对称，
∴DE⊥AP，OA=OP
∴DA=DP
∴DP=CD，故①正确
∵AE=EB，AO=OP
∴OE//PB，
∴PB⊥PA
∴∠APB=90°
∴，故②正确
若∠DCP=75°，则∠CDP=30°
∵LADC=60°
∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；
∵∠ADC=60°，DA=DP=DC
∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确.
故选：C
【点睛】
本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．
【详解】
解：如图，连结CE
，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，
∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，
∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，
∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∴AE＝EF，
∵AB＝4，∠ABE＝30°，
∴在Rt△ABO中，AO＝2，
∵OA≤AE≤AB，
∴2≤AE≤4，
∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．
故选：C．
【点睛】
考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．
4．C
解析：C
【分析】
连接EG、FH，根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH，同理EG=FH，再证四边形EGHF为平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.
【详解】
连接EG、FH，如图所示，
在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，
∴AE=CH,
在△AEF和△CGH中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,
∴△AEF≌△CGH，
∴EF=GH,
同理可得△BGE≌△DFH，
∴EG=FH,
∴四边形EGHF为平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和=平行四边形EGHF的面积，
求得平行四边形EGHF的面积=46--23-1（6-2）-23-1（6-2）=14，
∴△PEF和△PGH的面积和==7.

【点睛】
此题主要考察矩形的综合利用.
5．D
解析：D
【分析】
连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【详解】
解：连接PC，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴PC的最小值为：

∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
6．C
解析：C
【分析】
①直接利用角边角判定定理判断即可；
②证明即可；
③在中求解即可判断此答案错误．
【详解】
解：①∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵，
∴，即：，
在和中，
∵，
∴，
故①正确；
②∵，
∴，即：，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
③过点作于点，
∵，
∴在等腰中，,
在和中
∵，
∴，
由②中知：，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
故③错误；
综上所述：只有两个正确，
故选：．

【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分每组对角．
7．D
解析：D
【分析】
①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，即可判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，即可判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，即可判断出④正确．
【详解】
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
②∵四边形CFHE是菱形，
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；
④如图，过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，EF=，故④正确；
综上所述，结论正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
先证明△APD≌△AEB得出BE＝PD，∠APD＝∠AEB，由等腰直角三角形的性质得出∠APE＝∠AEP＝45，得出∠APD＝∠AEB＝135，②正确；得出∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝90，EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，证出EF＝BF＝，得出AF＝AE+EF＝1+，由勾股定理得出AB＝＝，得出S正方形ABCD＝AB2＝5+2，③正确；EP＝AE＝，由勾股定理得出BP＝＝，④错误；即可得出结论．
【详解】
解：∵∠EAB+∠BAP＝90，∠PAD+∠BAP＝90，
∴∠EAB＝∠PAD，
在△APD和△AEB中，，
∴△APD≌△AEB（SAS），
∴BE＝PD，∠APD＝∠AEB，
∵AE＝AP，∠EAP＝90，
∴∠APE＝∠AEP＝45，
∴∠APD＝135，
∴∠AEB＝135，②正确；
∴∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝135﹣45＝90，
∴EB⊥ED，①正确；
作BF⊥AE交AE延长线于点F，如图所示：
∵∠AEB＝135，
∴∠EFB＝45，
∴EF＝BF，
∵BE＝PD＝2，
∴EF＝BF＝，
∴AF＝AE+EF＝1+，
AB＝＝＝，
∴S正方形ABCD＝AB2＝（）2＝5+2，③正确；
EP＝AE＝，
BP＝＝＝，④错误；
故选：D．

【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．
【详解】
∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝ AD＝ BC，
∴E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝ ∠CED＝30°，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，
∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠ADB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝AB，故③正确；
∵O是BD的中点，E是BC的中点，
∴OE是△CBD的中位线，
∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，
∵OC是△BCD的中线，
∴S△BOC＝S△COD，
∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.
10．B
解析：B
【分析】
①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；
②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；
③易证得△ODH是等腰三角形，继而证得OD=BF；
④根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论．
【详解】
解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH=HF，∵OD=OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=BC，GH=CF，
∵CE=CF，
∴GH=CF=CE
∵CE＜CG=BC，
∴GH＜BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正确；
∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=BF；故③正确．
故选：B．

【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．
二、填空题

11．4
【分析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E，通过证明△ADF≌△ABC来证明四边形ABCD为菱形，从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.
【详解】
解：连接AC和BD，其交点为O，过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E，

∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ADF=∠ABE，
∵两纸条宽度相同，
∴AF=AE，
∵
∴△ADF≌△ABE，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC与BD相互垂直平分，
∴BD=
故本题答案为：4
【点睛】
本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.
12．3或3或
【分析】
△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当时，如图，过点作于，

是的中点，
，
，，，
，，
，，
，
当时，如图2，
过点作于，过点作于，

图2
在平行四边形中，，，，
，，
，
，，
，，，
，
，，
，
；
当时，如图3，

图3
，
综上所述：的长为或3或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
13．
【分析】
作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=，即可求得BD的长．
【详解】
解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：

则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，
∴四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，
∴BE=DE，BE2=10 cm2，
∴BE=(cm)，
∴BD=BE=2(cm)．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．
【分析】
先根据菱形的性质可得OC垂直平分BD，从而可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为DE，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
如图，连接BP、DP、EP、DE、BD，过点D作于点A，
，
，
四边形ABCD是菱形，
垂直平分BD，，
点P是对角线OC上的点，
，
，
由两点之间线段最短可知，的最小值为DE，即的最小值为DE，
，
是等边三角形，
，
，，
，
又，
，
即的最小值为，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出的最小值为DE是解题关键．
15．
【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=2，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=，
∴CG=，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，

Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=CG=，
则点G到BC边的距离为，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH==，
∴S△ADG，
当最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，

∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴，
∴，
∴△ADG的面积的最小值为，
故答案为：，．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
16．
【分析】
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH长，所以MN最小值是2OH．
【详解】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，

∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO＝＝12．
利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是．
所以此时MN最小值为2OH＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
17．
【分析】
如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=，进一步可得，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.
【详解】

如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，
∵ABCD为正方形，
∴∠CDG=∠GDK=90°，
∵正方形ABCD面积为1，
∴AD=CD=AG=DQ=1，
∴DG=CT=2，
∵四边形DEFG为菱形，
∴DE=EF=DG=2，
同理可得：CT=TN=2，
∵∠EFG=45°，
∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，
∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，
∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，
∴DQ=EQ=TK=NK=，FQ=FE+EQ=，
∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，
∴四边形NKQR是矩形，
∴QR=NK=，
∴FR=FQ+QR=，NR=KQ=DK−DQ=，
∴，
再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，
∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，
∵∠NFR+∠FNR=90°，
∴∠MNZ+∠FNR=90°，
即∠FNM=90°，
同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，
∴四边形FHMN为正方形，
∴正方形FHMN的面积=，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
18．
【分析】
通过四边形ABCD是矩形以及，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．
【详解】
解：如图，设NE交AD于点K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC
∵，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，KE=，
∴NE=NK+KE=6+，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+，
∴BE=，
∴BC=BE=，
故答案为：

【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
19．5
【分析】
先判断四边形的形状，再连接，利用正方形的性质得出是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可．
【详解】
∵四边形 是边长为4的正方形， ，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
连接，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴ ，是等腰直角三角形，
∵是的中点，即有 ，
∴，是直角三角形，
又∵是中点，，
∵
∴，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
20．【分析】
作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【详解】
解：作AB的中点M，连接EM、CM．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝AB＝5．
∵E是BD的中点，M是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．

【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．
三、解答题

21．（1）CE=CF且CE⊥CF，理由见解析；（2）见解析；（3）10
【分析】
（1）根据正方形的性质，可证明△CBE≌△CDF（SAS），从而得出CE=CF，∠BCE=∠DCF，再利用余角的性质得到CE⊥CF；
（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，由△BEC≌△DFC，可得∠BCE=∠DCF，即可求∠GCF=∠GCE=45°，且GC=GC，EC=CF可证△ECG≌△GCF（SAS），则结论可求．
（3）过点C作CF⊥AD于F，可证四边形ABCF是正方形，根据（2）的结论可得DE=DF+BE=4+DF，根据勾股定理列方程可求DF的长，即可得出DE．
【详解】
解：（1）CE=CF且CE⊥CF，
证明：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
又∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠DCF=90°，即CE⊥CF；
（2）延长AD至M，使DM=BE，连接CM，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°，
∵△BEC≌△DFC，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°，
∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF，
∴△GCE≌△GCF（SAS），
∴GE=GF，
∴GE=GD+DF=BE+GD；

（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=12，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF=12，
由（2）可得DE=DF+BE，
∴DE=4+DF，
在△ADE中，AE2+DA2=DE2．
∴（12-4）2+（12-DF）2=（4+DF）2．
∴DF=6，
∴DE=4+6=10．

【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
22．（1）①等腰；②；（2）①2；②存在，或
【分析】
（1）①由折叠的性质得EF＝BF，即可得出结论；
②当折痕经过点A时，由折叠的性质得AF垂直平分BE，由线段垂直平分线的性质得AE＝BE，证出ABE是等腰直角三