八年级初二数学下学期平行四边形单元-易错题难题测试提优卷.doc

八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题测试提优卷

一、选择题
1．□ABCD中，∠A=60°，点E、F分别在边AD、DC上，DE=DF，且∠EBF=60°．若AE=2，FC=3，则EF的长度为（　　）

A． B． C． D．5
2．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论： ①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=28.8． 其中正确结论的个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，正方形的边长为10，，，连接，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离7，则正方形ABCD的面积等于（ ）

A．70 B．74 C．144 D．148
5．如图所示，在周长是10cm的中，，、相交于点，点在边上，且，是的周长是(　　)

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
6．如图，矩形中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，则的长为（ ）

A． B．2 C． D．1
7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为、、，若=3，=8，则的值为（ ）

A．22 B．24 C．44 D．48
8．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　）

A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm
9．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（ ）

A．先增大，后减小 B．先减小，后增大 C．始终等于2.4 D．始终等于3
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BC=DF；②；③；④，则，正确的有__________________．

13．如图，动点分别在正方形的边上，，过点作，垂足为，连接，若，则线段长的最小值为_________．

14．如图，在等边和等边中，在直线上，连接，则的最小值是______．

15．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB．F是AD的中点，作CE⊥AB, 垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：(1)∠DCF+∠D＝90°；(2)∠AEF+∠ECF＝90°；(3)=2； (4)若∠B=80，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．

16．如图，中，, 将绕点逆时针旋转，得到过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①平分；②； ③； ④； ⑤是的中点，其中正确的是___________

17．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)

18．在中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则的周长为______．

19．如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是______

20．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____．

三、解答题
21．如图，在四边形中，∥，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求线段的长．
22．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是　 　，MD、MN的位置关系是　 　
(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

23．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，PF⊥BD于点F，PA＝PF．
（1）试判断四边形AGFP的形状，并说明理由．
（2）若AB＝1，BC＝2，求四边形AGFP的周长．

24．如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠，点的对应点为点．

图1 图2
（1）填空：如图1，当点恰好在边上时，四边形的形状是________；
（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．
①求证：．
②若，试探索线段与的数量关系．
25．如图，在中，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点运动的时间是秒（）.过点作于点，连接.
（1）试问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（2）当为何值时，？请说明理由.

26．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．

（1）求证：AF∥CH；
（2）若AB=2 ，AE=2，试求线段PH的长；
（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求 的值．
27．已知在平行四边形中，，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，如果，，，求的面积；
（3）如果，，当是直角三角形时，求的长．

28．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．
（1）当t＝1时，求BF的长度；
（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；
（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．

29．如图1，在中，，,，以OB为边，在外作等边，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：
①M点的坐标为 ．
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）．
30．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．

（1）求证：BP＝CQ；
（2）若BP＝PC，求AN的长；
（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

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一、选择题

1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由DE=DF，AE=2，FC=3可知AB-BC=1，过点E作EM⊥AB于M，根据30°角所对的直角等于斜边的一半可得AM=1，进而得出BM=BC，将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，可证△BEF≌△BFN，即可得出EF=FN，过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，利用勾股定理即可求出答案.
【详解】

解：过点E作EM⊥AB于M，
在Rt△AEM中，∠A=60°，
∴∠AEM=30°，
∴AM=AE=1，
∴ME=，
又∵DE=DF，AE=2，FC=3，
∴DC-AD=1，即AB-BC=1，
∴BM=BC，
将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，则CN=EM=，BE=BN，
∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，
∴∠NBF=60°，
∴∠EBF=∠NBF
又∵BE=BN，BF=BF，
∴△BEF≌△BFN，
∴EF=FN，
过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，
∵∠GCN=180°-60°-90°=30°，
∴NG=NC=
∴CG=
∴FG=3+=
∴FN=
∴EF=
故答案为.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关键.
2．B
解析：B
【分析】
由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；
设BG=FG=x，则CG=12﹣x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正确；
由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正确；
通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．
【详解】
①正确．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由如下：
由题意得：EF=DE=CD=4，设BG=FG=x，则CG=12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；
③正确．理由如下：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；
④错误．理由如下：
∵S△GCE=GC•CE=×6×8=24．
∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=×24=≠28.8．
故④不正确，∴正确的有①②③．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．
3．B
解析：B
【分析】
延长DH交AG于点E，利用SSS证出△AGB≌△CHD，然后利用ASA证出△ADE≌△DCH，根据全等三角形的性质求出EG、HE和∠HEG，最后利用勾股定理即可求出HG．
【详解】
解：延长DH交AG于点E

∵四边形ABCD为正方形
∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°
在△AGB和△CHD中

∴△AGB≌△CHD
∴∠BAG=∠DCH
∵∠BAG＋∠DAE=90°
∴∠DCH＋∠DAE=90°
∴CH2＋DH2=82＋62=100= DC2
∴△CHD为直角三角形，∠CHD=90°
∴∠DCH＋∠CDH=90°
∴∠DAE=∠CDH，
∵∠CDH＋∠ADE=90°
∴∠ADE=∠DCH
在△ADE和△DCH中

∴△ADE≌△DCH
∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°
∴EG=AG－AE=2，HE= DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°
在Rt△GEH中，GH=
故选B．
【点睛】
此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
先作出与，与的距离AE、CF，证明△ABE≌△BCF，得到BF=AE，再利用勾股定理即可得到答案.
【详解】
过点A作AE⊥,过点C作CF⊥,
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE和△BCF中，
,
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=5，
在Rt△BCF中，CF=7，BF=5，
∴,
∴正方形ABCD的面积=,
故选：B.

【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，由此利用勾股定理解决问题.
5．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出的周长等于AB+AD，代入求出即可．
【详解】
∵
∴
∵在中，OB=OD，
∴EB=ED
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
先利用勾股定理求出AC=5，再令，则，利用勾股定理求出答案.
【详解】

∵四边形为矩形，
∴，
∵，
在中，
由勾股定理得：
，
得：，
令，则，
由折叠性质可知：
，
，
故，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
∴.
故.
故选：A.
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，涉及直角三角形的边长的计算题时可多次进行勾股定理的计算.
7．C
解析：C
【分析】
根据已知条件得到AB＝，CD＝，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝，于是得到结论．
【详解】
∵S1＝3，S3＝8
∴AB＝，CD＝
过A作AE∥CD交BC于E

则∠AEB＝∠DCB
∵AD∥BC
∴四边形AECD是平行四边形
∴CE＝AD，AE＝CD＝
∵∠ABC+∠DCB＝90°
∴∠AEB+∠ABC＝90°
∴∠BAE＝90°
∴BE＝
∵BC＝2AD
∴BC＝2BE＝
∴S2＝
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
连接DE，因为点D是中点，所以CE等于4，根据勾股定理可以求出DE的长，过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG＝BC＝CD，证明△MNG≌△DEC，可以得到DE=MN，即可解决本题．
【详解】
解：如图，连接DE．

由题意，在Rt△DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm，
由勾股定理得：DE＝＝＝cm．
过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG＝BC＝CD．
连接DE，交MG于点I．
由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE＝90°，
∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（对顶角相等），
∴∠NMG＝∠EDC．
在△MNG与△DEC中，

∴△MNG≌△DEC（ASA）．
∴MN＝DE＝cm．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
由，得出∠BAC=90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点作于点，
∴，
故④不正确；
∴正确的个数是3个，
故选：C．

【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
在矩形ABCD中，由矩形边长，可得矩形面积是12，进而得，由矩形对角线相等且互相平分得，，，利用勾股定理可解得,则，，即可求出PE+PF的值．
【详解】
解：连接PO，如下图：

∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴,
，，，
，
∴,
，
，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，利用等积法间接求三角形的高线长及用勾股定理求直角三角形的斜边；利用面积法求解，是本题的解题突破点．
二、填空题

11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．①③④
【分析】
由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC，可判断①；通过证明△DCG≌△BEG，可得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=x，DG=GB=x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，CG⊥AG，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG⊥DG，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，

∵，
∴设AD=4x=DF，AB=3x，
∴CF=CE=x，BD=，
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=x，DG=GB=x，
∴S△DGF=×DF×HG=x2，S△BDG=DG×GB=x2，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
13．
【分析】
连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
连接AC，交EF于O，

∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OA＝OC，
∴O是正方形的中心，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝4，OC＝2，
取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，
∵MC＝OC＝，
∴MH＝CH＝1，
∴BH＝4−1＝3，
由勾股定理可得MB＝＝，
在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝OC＝，
∵BG≥BM−MG＝−，
当B，M，G三点共线时，BG最小＝−，
故答案为：−．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．
14．
【分析】
如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．

∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，
∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE∥TC，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT是平行四边形，
∴BE=DT，
∴BD+BE=BD+AD，
∵B，W关于直线AC对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，
∴∠WCK=60°，
∵WK⊥CK，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=CW=，WK=CK=，
∴TK=1+3+=，
∴TW==，
∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，
∴BD+BE≥，
∴BD+BE的最小值为，
故答案为．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．(1) (2) (4)
【分析】
由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；
由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；
证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出(3)错误；
由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．
【详解】
(1)∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD=AB，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，
∴∠DCF+∠D=90°，故(1)正确；
(2)延长EF，交CD延长线于M，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DMF中，
，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴EF=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴CF=EM=EF，
∴∠FEC=∠ECF，
∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；
(3)∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)错误；
(4)∵∠B=80°，
∴∠BCE=90°-80°=10°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=180°-80°=100°，
∴∠BCF=∠BCD=50°，
∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，
∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．
故答案为：(1)(2)(4)．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．
16．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；
利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；
根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；
过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，
∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠AED=∠DEC，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，
即：DE平分∠HDC，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE平分∠HDC，
∴∠HDO=∠HDC=×45°=22.5°，
∵∠BAE=45°，AB=AH，
∴∠OHE=∠AHB= (180°−∠BAE)= ×(180°−45°)=67.5°，
∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH，
在△AED中，AE=AD，
∴∠AED=(180°−∠EAD)=×(180°−45°)=67.5°，
∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH，
∴OD=OE，所以②正确；
在△DHE和△DCE中，
，
∴ΔDHE≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=×45°=22.5°，
∵OD=OH，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，
即有：CD≠HF，所以③不正确；
如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，

∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
17．①②④
【分析】
①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；
②延长EF，交CD延长线于点M，首先根据平行四边形的性质证明，得出，进而得出，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；
③由，得出，从而可判断正误；
④设 ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE和∠AEF，从而判断正误．
【详解】
①∵点F是AD的中点，
∴ ．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，
，
，
，
∴∠BCD＝2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
∵点F是AD的中点，
∴ ．
在和中，

．
，
，
，
，故②正确；
③∵，
∴ ．

，故③错误；
④设 ，则，
，
，
．
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为 ：①②④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．
18．
【分析】
先根据折叠的性质可得，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，同理可得出，然后根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】
由折叠的性质得：
AD是BC边上的高，即
，

同理可得：
又
点E是AB的中点，点F是AC的中点
是的中位线

则的周长为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出是解题关键．
19．
【分析】
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH长，所以MN最小值是2OH．
【详解】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，

∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得
AO＝＝12．
利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是．
所以此时MN最小值为2OH＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
20．
【分析】
根据•BC•AH＝•AB•AC，可得AH＝，根据 AD•BO＝BD•AH，得OB＝，再根据BE＝2OB＝，运用勾股定理可得EC．
【详解】
设BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，
由勾股定理得：BC＝，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，DE＝DB，
∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分线段BE，
∵AD•BO＝BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
∵DE＝DB=CD，
∴∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∴∠DEB+∠DEC=×180°=90°，即：∠BEC=90°，
∴在Rt△BCE中，EC＝ ＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
三、解答题

21．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=AC，在应用勾股定理即可解答．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）

∵四边形是菱形
∴
∵
∴
∴
在中，
故答案为（2）．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练