【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全).doc

精品文档

1、现代文化对大学生饰品消费的影响
手工艺制品是我国一种传统文化的象征，它品种多样，方式新颖，制作简单，深受广大学生朋友的喜欢。当今大学生的消费行为表现在追求新颖，追求时尚。追求个性，表现自我的消费趋向：购买行为有较强的感情色彩，比起男生热衷于的网络游戏，极限运动，手工艺制品更得女生的喜欢。
（二）创业优势分析
功能性手工艺品。不同的玉石具有不同的功效，比如石榴石可以促进血液循环，改善风湿和关节炎；白水晶则可以增强记忆力；茶晶能够帮助镇定情绪，缓解失眠、头昏等症状。顾客可以根据自己的需要和喜好自行搭配，每一件都独一无二、与众不同。
调研提纲：
体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。
关于DIY手工艺制品的消费调查
我们从小学、中学到大学，学的知识总是限制在一定范围内，缺乏在商业统计、会计，理财税收等方面的知识；也无法把自己的创意准确而清晰地表达出来，缺少个性化的信息传递。对目标市场和竞争对手情况缺乏了解，分析时采用的数据经不起推敲，没有说服力等。这些都反映出我们大学生创业知识的缺乏；
调研课题：
据了解，百分之八十的饰品店都推出“DIY饰品”来吸引顾客，一方面顺应了年轻一代喜欢与众不同、标新立异的心理；另一方面，自制饰品价格相对较低，可以随时更新换代，也满足了年轻人“喜新厌旧”的需要，因而很受欢迎。
初中数学九年级培优目录

第1讲 二次根式的性质和运算(P2----7)
第2讲 二次根式的化简与求值(P7----12)
第3讲 一元二次方程的解法(P13----16)
第4讲 根的判别式及根与系数的关系(P16----22)
第5讲 一元二次方程的应用(P23----26)
第6讲 一元二次方程的整数根(P27----30)
第7讲 旋转和旋转变换（一）(P30----38)
第8讲 旋转和旋转变换（二）(P38----46)
第9讲 圆的基本性质(P47----51)
第10讲 圆心角和圆周角(P52----61)
第11讲 直线与圆的位置关系（P62----69）
第12讲 圆内等积证明及变换((P70----76)
第13讲 弧长和扇形面积(P76----78)
第14讲 概率初步(P78----85)
第15讲 二次函数的图像和性质(P85----91)
第16讲 二次函数的解析式和综合应用(P92----98)
第17讲 二次函数的应用(P99----108)
第18讲 相似三角形的性质 (P109----117)
第19讲 相似三角形的判定(P118-----124)
第20讲 相似三角形的综合应用(P124-----130)

每天进步一点点！

坚持就是胜利！

第1讲 二次根式的性质和运算
考点·方法·破译
1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；
2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；
3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.
经典·考题·赏析
【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.
【变式题组】
1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
⑵①；②；③；④，最简二次根式是（　　）
A．①,② B．③,④ C．①,③ D．①,④
【例２】(黔东南)方程，当y＞0时，m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.
【变式题组】
2．（宁波）若实数x、y满足，则xy的值是__________.
3．（荆门）若，则x－y的值为（ ）
A．－ 1 B．1 C．2 D．3
4．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
5.（怀化），则a－b－c＝________.
【例３】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A．； B． 不能化简；C.；D．，而.故本题应选D.
【变式题组】
6．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a＝________．
7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8．已知最简二次根式和是同类二次根式，则a＝_______，b＝______.
【例４】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解法指导】正确运用二次根式的性质①；②；③ ；④ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D. .故本题应选C.
【变式题组】
9. （聊城）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．计算：_____________
11．_____________
12．(济宁)已知a为实数，那么＝（ ）
A．a B．－a C．－1 D．0
13．已知a＞b＞0，a＋b＝6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0知x＜0. 故原式.选D.
【变式题组】
14．已知a、b、c为△ABC三边的长，则化简的结果是_______.
15．观察下列分母有理化的计算：，，，算果中找出规律，并利用这一规律计算：
_________.
16．已知，则0＜x＜1，则_________.
【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中，.
⑵已知，，那么代数式值为________.
【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy、x＋y的值，再代入求值.
【解】⑴原式＝，当，时，ab＝1，a＋b＝,原式＝.
⑵由题意得：xy＝1，x＋y＝10, 原式＝.
【变式题组】
17．（威海）先化简，再求值：(a＋b)2＋(a－b)(2a＋b)－3a2，其中,.
18．（黄石）已知a是的小数部分，那么代数式的值为________.
【例７】已知实数x、y满足，则3x2－2y2＋3x－3y－2007的值为（ ）
A．－2008 B．2008 C．－1 D．1
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a、b的关系，再代入求值.
解:∵，
∴，
，由以上两式可得x＝y.
∴, 解得x2＝2008，所以3x2－2y2＋3x－3y－2007＝3x2－2x2＋3x－3x－2007＝x2－2007＝1，故选D.
【变式题组】
19．若a＞0，b＞0，且，求的值.
演练巩固·反馈提高

01．若，则估计m的值所在的范围是（ ）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
02．（绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
03．（黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.

04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
06．（常德）设a＝20， b＝(－3)2, , , 则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A．c＜a＜d＜b B．b＜d＜a＜c C．a＜c＜d＜b D．b＜c＜a＜d
07．（十堰）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
08．如果把式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
09．（徐州）如果式子化简的结果为2x－3，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x＞0
10．（怀化）函数中自变量的取值范围是________.
11．（湘西）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算a※b＝.那么12※4＝________.
12．（荆州）先化简，再求值：，其中.
13．（广州）先化简，再求值：，其中.
培优升级
01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是________.
02．已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有________对.
03．（全国）设，则________.
04．（全国）设,a是x的小数部分,b是x的小数部,则a3＋b3＋3ab＝________.
05．（重庆）已知，则x2＋y2＝________.
06．（全国）已知，，，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
07．（武汉）已知（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（ ）
A． B．3 C． D．
08．（全国）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
09．（全国）等于（ ）
A． B． C．5 D．1
10．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，求a＋b＋c的值.
12．已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a＋4b＋8的值.

第2讲 二次根式的化简与求值
考点·方法·破译
1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.
2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.
3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.
经典·考题·赏析
【例１】（河北）已知，那么的值等于__________
【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用表示或化简变形.
解：两边平方得，， ，两边同乘以x得， ，∵，，∴原式==
【变式题组】
1． 若（0＜a＜1），则________
2． 设，则的值为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【例２】（全国）满足等式
＝2003的正整数对（x,y）的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.
解：可化为，
∴
∵，∴，则xy＝2003，且2003是质数，
∴正整数对（x,y）的个数有2对，应选B.
【变式题组】
3．若a＞0，b＞0，且，求的值.
【例３】（四川）已知：，求代数式
的值.
【解法指导】视x－2，x2-4x为整体，把平方，移项用含a的代数式表示x－2，x2-4x，注意0＜a＜1的制约.
解：平方得，，∴，，
，
∴化简原式＝
＝
【变式题组】
4．（武汉）已知，求代数式的值.

5．（五羊杯）已知，，且，则a的值等于（ ）
A．－5 B．5 C．－9 D．9
【例４】（全国）如图，点A、C都在函数的图像上，点B、D都在x轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为________.
【解法指导】解：如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F.设
y
x
A
O
B
C
D
E
F
OE=a，BF=b，则AE=a，CF=b，所以，点A、C的坐标为（a,a）、
（2a＋b,b），所以，解得，
因此，点D的坐标为（,0）
【变式题组】
6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
； （一） ； （二）
； （三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简：
； （四）
（1）请你用不同的方法化简；
①参照（三）试得：=_____________________________；（要有简化过程）
②参照（四）试得：=_____________________________；（要有简化过程）
（2）化简：

【例５】（五羊杯）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积.
【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.
解：如图，作长方形ABCD，使AB＝b－a，AD＝c，延长DA至E，使DE＝d，延长DC至F，使DF＝b，连结EF、FB、EB，则BF＝，EF＝，BE=，从而知△BEF就是题设的三角形，而S△BEF＝S长方形ABCD＋S△BCF＋S△ABE－S△DEF＝(b－a)c＋(d－c)(b－a)－bd＝(bc－ad)

【变式题组】
7．(北京)已知a、b均为正数，且a＋b＝2，求U＝

演练巩固·反馈提高
01．已知，，那么代数式值为__________
02．设，则＝（ ）
A． 24 B．25 C． D．
03．（天津）计算__________
04．（北京）若有理数x、y、z满足，则__________
05．（北京）正数m、n满足，则__________
06．（河南）若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
07．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
08．设，，，则a、b、c之间的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
09．已知，化简

培优升级
01．（信利）已知，那么__________
02．已知，则__________
03．（江苏）已知，则__________
04．（全国），则x＝__________
05．已知，，那么__________
06．（武汉）如果，，，那么的值为（ ）
A． B．2001 C．1 D．0
07．（绍兴）当时，代数式的值是（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．
08．（全国）设a、b、c为有理数，且等式成立，则的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定
09．计算：
（1）

（2）

（3）

（4）

10．已知实数a、b满足条件，化简代数式，将结果表示成不含b的形式.

11．已知，化简：

12．已知自然数x、y、z满足等式，求x＋y＋z的值.

第3讲 一元二次方程的解法
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；
2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；
3．会应用一元二次方程解实际应用题。
经典·考题·赏析
【例１】下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A.(m-2)x2-2x-1=0 B.k2x+5k+3=0
C. D.
【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0，不是；D的分母中含字母，不符合.故选C.
【变式题组】
1．（威海）若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是-2，则另一个根是___________.
【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，那么代数式2m2+4n2-4n+1998=___________.
【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.
解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，∴原式=2010.
【变式题组】
2．（南昌）若3a2-a-2=0，则5+2a-6a2=___________.
3．（烟台）设a、b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【例3】关于x的一元二次方程(m-3)x2+4x+m2-9=0有一个根为0，m的值为___________.
【解法指导】方法1：将x=0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.
解：依题意m2-9=0，∴m=±3，根据方程是一元二次方程得m≠3，综合知m=-3.
【变式题组】
4．（庆阳）若关于x的方程x2+2x+k-1=0的一个根是0，则k=___________.
5．（东营）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【例4】（连云港）解方程：x2+4x-1=0.
【解法指导】解：
解法一：∵a=1，b=4,c=-1，∴x=.即x=-2±.∴原方程的根为.
解法二：配方，得(x+2)2=5，直接开平方，得,∴原方程的根为.
【变式题组】
6．（清远）方程x2=16的解是（ ）
A．x=±4 B．x=4 C．x=-4 D．x=16
7.（南充）方程(x-3)(x+1)=x-3的解是（ ）
A.x=0 B.x=3 C.x=3或x=-1 D.x=3或x=0
8.（咸宁）方程3x(x+1)=3x+3的解为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x1=0，x2=-1 D．x1=1，x2=-1
9.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.
①x2-3x+1=0；②(x-1)2=3；③x2-3x=0；④x2-2x=4.

【例5】（山西）解方程：6x2-x-12=0
【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x2-x=2，配方得x2-x+(-)2=2+(-)2,(x-)2==()2，即x-=±，∴x1=,x2=.
【变式题组】
10．（仙桃）解方程：x2+4x+2=0.

11．（武汉）解方程：x2-3x-1=0.

12．（山西）解方程：x2-2x-3=0.

演练巩固·反馈提高
01．（宁德）方程x2-4x=0的解是___________.
02．（十堰）方程(x+2)(x-1)=0的解为___________.
03．（大兴安岭）方程(x-5)(x-6)=x-5的解是（ ）
A．x=5 B．x=或x=6 C．x=7 D．x=5或x=7
04．（太原）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）
A．(x+1)2=6 B．(x-1)2=6 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9
05．（云南）一元二次方程5x2-2x=0的解是（ ）
A． B．
C． D．
06．（黄石）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+nx-1=0的两实数根，则式子的值是（ ）
A．n2+2 B．-n2+2 C．n2-2 D．-n2-2
07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
08．（台州）用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（ ）
A．(x+2)2=1 B．(x-2)2=1 C．(x+2)2=9 D．(x-2)2=9
09．（义乌）解方程x2-2x-2=0.

10．（兰州）用配方法解一元二次方程：2x2+1=3x.

11．（新疆）解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.

12．（梧州）解方程：(x-3)2+2x(x-3)=0.

13．（长春）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2.

14．（上海）解方程：

培优升级
01．（鄂州）已知α、β为方程x2+4x+2=0的两个实根，则α3+14β+50=___________.
02．已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，那么代数式的值为___________.
03．（苏州）若x2-x-2=0，则的值等于（ ）.
A． B． C． D．或
04．（全国）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
05．（全国）已知实数x、y满足：，y4+y2=3，则的值为（ ）.
A．7 B． C． D．5
06．（全国）已知m=1+，n=1-，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8，则a的值等于（ ）.
A．-5 B．5 C．-9 D．9
07．（毕节）三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________.
08．（滨州）观察下列方程及其解的特征：
⑴的解为x1=x2=1；⑵的解为x1=2，x2=；⑶的解为x1=3，x2=；……
解答下列问题：
⑴请猜想：方程的解为________；⑵请猜想：关于x的方程________的解为x1=a，x2=（a≠0）；⑶下面以解方程为例，验证⑴中猜想结论的正确性.
解：原方程可化为5x2-26x=-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）

09．（泸州）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…△PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、…An-1An都在x轴上.

⑴求P1的坐标；
⑵求y1+y2+y3+…+y10的值.

第4讲 根的判别式及根与系数的关系
考点·方法·破译
1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；
2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.

经典·考题·赏析
【例1】（成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B. C.k<1 D.
【解法指导】 由题意得

【变式题组】
1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B. C. D.=0

2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．6 B.7 C.8 D.9

【例２】 （荆州）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）
A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2

【变式题组】
3．(成都)设x1,x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.

4．(南通)设x1,x2是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______

【例３】 （包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则的值是（ ）
A．1 B.12 C.13 D.25
【解法指导】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：
又∵
,
而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.
,故选C.
【变式题组】
5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值是（ ）
A．8 B.-7 C.6 D.5

6．（鄂州）设是关于x的一元二次方程的两实根，当a为何值时，有最小值？最小值是多少？

【例４】 （兰州）已知关于x的一元二次方程.
(1) 如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
(2) 如果此方程的两个实数根为,且满足,求a的值.
【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，.(2)由题意得：

【变式题组】
7．(绵阳)已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

【例５】 （中山）已知关于x的方程.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根.
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式.
（1）证明:因为△==
所以无论取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.
（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得，

【变式题组】
8．(中山)已知一元二次方程.
(1)若方程有两个实数根，求m的值；（2）若方程的两个实数根为，且+,求m的值.

【例６】 设实数s,t分别满足,并且st≠1，
求的值.
【解法指导】 本题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.
解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为： ,又∵st≠1，
　　　　　　　∴t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有　　　　　　　,即st + 1 =－99s，t = 19s．
　　　　　　　∴

演练巩固·反馈提高
01．(东营)若n（n≠0）是关于x的方程的根，则m+n的值为
A.1 B.2 C.-1 D.-2

02．(株洲)定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． B． C． D．

03．（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 ．

04．(贺州)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．

05．（上海）如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么 ．

06．（泰安）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .

07．（淄博）已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

08．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.

09．（孝感）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．

10．（鄂州）关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由

11．（北京）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．

12．（淄博）已知是方程的两个实数根，且．
(1)求及a的值；
(2)求的值．

培优升级
01．（全国）设，，且，则代数式的值为 （ ）
A 5. B7. C 9. D.11.
02．（延边）已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．2016 B.2017 C.2018 D.2019

03．如果a、b都是质数，且,那么的值为（ ）
A． B. C. D或2
04．（全国）已知实数，且满足的值为（ ）
A．23 B.-23 C.-2 D.-13

05.(全国)设是关于x的方程的两个实数根，则的最大值为___________

06．已知是方程的两个实数根，则

07．（全国）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根记作,则__

08．已知关于x的方程：.
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.

09．（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)若,求m的值；
（2）求的最大值.

第5讲 一元二次方程的应用
考点·方法·破译
1．能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程；
2．会建立一元二次方程模型解实际应用题．
经典·考题·赏析
【例l】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【解法指导】 构建一元二次方程模型求解．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x，患流感人数为x+l；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．应选B．
【变式题组】
1．(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x，则关于x的方程为　　　　　　　　 ．
2．(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。提高到12．1 m2。，若每年的年增长率相同，则年增长率为( )
A．9％ B．10％ C．1l％ D．12％
3．(太原)某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是　　　　　　　　 ．
【例2】 (黄石)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2一12x+35=0的根，则该三角形的周长为( )
A．14 B．12 C．12或14 D。以上都不对
【解法指导】 方程x2一12x+35=0可化为(x一7)(x一5)=0，解得x=7或x=5，当x=7时，三边不能构成三角形，所以第三边的长只能取5，该三角形的周长为12．应选B．
【变式题组】
4．(青海)方程x2一9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
5．(襄樊)如图，在平行四边形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x一3=0的根，则