2013年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）.doc

2013年四川省绵阳市中考数学试卷（教师版）

一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【微点】实数的性质．
【思路】由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．
【解析】解：的相反数为：．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重点．
2．（3分）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
【微点】轴对称图形．
【思路】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，找到各选项中的对称轴即可．
【解析】解：A、有一条对称轴，故本选项正确；
B、没有对称轴，故本选项错误；
C、有两条对称轴，故本选项错误；
D、有两条对称轴，故本选项错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握轴对称图及对称轴的定义，属于基础题．
3．（3分）2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×10﹣9米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米 D．1.2×10﹣7米
【微点】科学记数法—表示较小的数．
【思路】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：D．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　）

A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■
【微点】等式的性质；不等式的性质．
【思路】设▲、●、■的质量为a、b、c，根据图形，可得a+c＞2a，a+b＝3b，由此可将质量从大到小排列．
【解析】解：设▲、●、■的质量为a、b、c，
由图形可得：，
由①得：c＞a，
由②得：a＝2b，
故可得c＞a＞b．
故选：C．
【点拨】本题考查了不等式的性质及等式的性质，解答本题关键是根据图形列出不等式和等式，难度一般．
5．（3分）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（　　）

A． B．
C． D．
【微点】几何体的展开图．
【思路】根据三棱柱的概念和定义以及展开图解题．
【解析】解：根据两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱．
把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是B．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了几何体的展开图，根据三棱柱三个侧面和上下两个底面组成，两个底面分别在侧面的两侧进而得出是解题关键．
6．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【微点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；等腰梯形的判定．
【思路】对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，对角线相等的梯形是等腰梯形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，根据以上内容判断即可．
【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了对菱形、矩形、平行四边形、等腰梯形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
7．（3分）如图，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（　　）

A．mm B．12mm C．mm D．mm
【微点】正多边形和圆．
【思路】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解析】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC，
∴AM＝63（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MCAC，
∴AC＝2AM＝6（mm）．
故选：C．

【点拨】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解．
8．（3分）朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还少3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（　　）
A．4个 B．5个 C．10个 D．12个
【微点】一元一次方程的应用．
【思路】设有x个小朋友，根据苹果数量一定，可得出方程，解出即可．
【解析】解：设有x个小朋友，
由题意得，3x﹣3＝2x+2，
解得：x＝5．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据苹果的分配情况得出方程．
9．（3分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（　　）

A．20米 B．米 C．米 D．米
【微点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路】根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．
【解析】解：∵点G是BC中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线，
∴AB＝2EG＝30米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
则BC＝ABtan∠BAC＝3010米．
如图，过点D作DF⊥AF于点F．
在Rt△AFD中，AF＝BC＝10米，
则FD＝AF•tanβ＝1010米，
综上可得：CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．
故选：A．

【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
10．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH＝（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm
【微点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形．
【思路】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AO＝4cm，BO＝3cm，
在Rt△AOB中，AB5cm，
∵BD×AC＝AB×DH，
∴DHcm，
在Rt△DHB中，BHcm，
则AH＝AB﹣BHcm，
∵tan∠HAG，
∴GHAHcm．
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．
11．（3分）“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解析】解：根据题意画出树状图如下：

一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，
所以，P（恰好是一男一女）．
故选：D．
【点拨】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM＝（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7＝（2，3），则A2013＝（　　）
A．（45，77） B．（45，39） C．（32，46） D．（32，23）
【微点】规律型：数字的变化类．
【思路】先计算出2013是第几个数，然后判断第1007个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
【解析】解：2013是第1007个数，
设2013在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1007，
即1007，
解得：n≥31.7，
当n＝31时，1+3+5+7+…+61＝961；
当n＝32时，1+3+5+7+…+63＝1024；
故第1007个数在第32组，
第1024个数为：2×1024﹣1＝2047，
第32组的第一个数为：2×962﹣1＝1923，
则2013是（1）＝46个数．
故A2013＝（32，46）．
故选：C．
【点拨】此题考查了数的规律变化，需要熟练掌握其中的方法与技巧，在规律不好发现的时候可以用试一试的办法找其规律．
二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13．（4分）因式分解：x2y4﹣x4y2＝　x2y2（y﹣x）（y+x）　．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】首先提取公因式x2y2，再利用平方差进行二次分解即可．
【解析】解：原式＝x2y2（y2﹣x2）
＝x2y2（y﹣x）（y+x）．
故答案为：x2y2（y﹣x）（y+x）．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．（4分）如图，AC、BD相交于O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°，则∠AOD＝　75°　．

【微点】平行线的性质；等腰三角形的性质．
【思路】根据AB＝BC，可得出∠BAC＝∠ACB＝35°，根据AB∥CD，可得∠D＝∠ABD，继而利用三角形的外角的知识可求出∠AOD的度数．
【解析】解：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD＝40°，
∴∠AOD＝∠ABD+∠BAC＝75°．
故答案为：75°．
【点拨】本题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等，及等腰三角形的性质．
15．（4分）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是　（3，3）　．

【微点】坐标与图形变化﹣平移．
【思路】先确定右眼B的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．
【解析】解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），
∴右眼的坐标为（0，3），
向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）．
故答案为：（3，3）．
【点拨】本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．
16．（4分）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为　14　．

【微点】七巧板．
【思路】分别得到“飞机”中的每个板的面积，再相加即可得到“飞机”的面积．
【解析】解：由“飞机”的图形可知，“飞机”由2个面积为1的三角形，2个面积为4的三角形，1个面积为2的平行四边形，1个面积为2的正方形组成，
故“飞机”的面积为：1×2+4×2+2+2＝14．
故答案为：14．
【点拨】本题考查了七巧板．七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来的．
17．（4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8＝0，则△ABC的周长是　6或12或10　．
【微点】解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；三角形三边关系．
【思路】根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k＝4，方程变形为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，
所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．
【解析】解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，
解得k，
∵整数k＜5，
∴k＝4，
∴方程变形为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8＝0，
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．
∴△ABC的周长为6或12或10．
故答案为：6或12或10．．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．
18．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论是　①③④　（写出你认为正确的所有结论序号）．

【微点】二次函数图象与系数的关系．
【思路】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
对称轴x1，﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故选项①正确；
令ax2+bx+c＝0，抛物线与轴交于（x1，0），（x2，0）则x1•x2，
由图不能准确判断与1大小，则无法确定a，c的大小关系，故选项②不正确
∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x1，2，m+n，故选项③正确；
当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|，故④选项正确．
故答案为：①③④．
【点拨】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．
三．解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
19．（16分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【微点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；解分式方程；特殊角的三角函数值．
【思路】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】解：（1）原式2（1）×（1）
2
＝1；

（2）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，原分式方程无解．
【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（12分）为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
甲、乙射击成绩统计表

平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
　7　
　4　
0
乙
　7　
　7.5　
　5.4　
1
甲、乙射击成绩折线图

（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？
【微点】统计表；折线统计图；算术平均数；中位数；方差．
【思路】（1）根据折线统计图列举出乙的成绩，计算出甲的中位数，方差，以及乙平均数，中位数及方差，补全即可；
（2）计算出甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断；
（3）希望乙胜出，修改规则，使乙获胜的概率大于甲即可．
【解析】解：（1）根据折线统计图得：
乙的射击成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
则平均数为7（环），中位数为7.5（环），
方差为[（2﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]＝5.4；
甲的射击成绩为9，6，7，6，2，7，7，9，8，9，平均数为7（环），
则甲第八环成绩为70﹣（9+6+7+6+2+7+7+8+9）＝9（环），
所以甲的10次成绩为：9，6，7，6，2，7，7，9，8，9．
中位数为7（环），
方差为[（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（2﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝4．
补全表格如下：
甲、乙射击成绩统计表

平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
7
4
0
乙
7
7.5
5.4
1
甲、乙射击成绩折线图

（2）由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出；

（3）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出．因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，有可能乙的射击成绩越来越好．
【点拨】此题考查了折线统计图，中位数，方差，平均数，以及统计表，弄清题意是解本题的关键．
21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．

【微点】切线的判定；扇形面积的计算．
【思路】（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；
（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE＝弧EC，利用等弧对等弦得到AE＝EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．
【解析】解：（1）CD与圆O相切．理由如下：
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
则CD与圆O相切；

（2）连接EB，交OC于F，
∵E为的中点，
∴，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
又∵∠EAC＝∠OAC，
∴∠ECA＝∠OAC，
∴CE∥OA，
又∵OC∥AD，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∴CE＝OA，AE＝OC，
又∵OA＝OC＝1，
∴四边形AOCE是菱形，
∵AB为直径，得到∠AEB＝90°，
∴EB∥CD，
∵CD与⊙O相切，C为切点，
∴OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∵点O为AB的中点，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OFAE，即CF＝DE，
在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF＝FB＝DC，
则S阴影＝S△DEC．

【点拨】此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
22．（12分）如图，已知矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．

【微点】反比例函数综合题．
【思路】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；
（2）证明∠GED＝∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），即可得CF，BF＝DF＝2，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．
【解析】解：（1）∵点E是AB的中点，OA＝2，AB＝4，
∴点E的坐标为（2，2），
将点E的坐标代入y，可得k＝4，
即反比例函数解析式为：y，
∵点F的横坐标为4，
∴点F的纵坐标1，
故点F的坐标为（4，1）；

（2）由折叠的性质可得：BE＝DE，BF＝DF，∠B＝∠EDF＝90°，
∵∠CDF+∠EDG＝90°，∠GED+∠EDG＝90°，
∴∠CDF＝∠GED，
又∵∠EGD＝∠DCF＝90°，
∴△EGD∽△DCF，
结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），
则CF，BF＝DF＝2，ED＝BE＝AB﹣AE＝4，
在Rt△CDF中，CD，
∵，即，
∴1，
解得：k＝3．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质，难度较大．
23．（12分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
【微点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【思路】（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；
（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．
【解析】解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：
64（1+a）2＝100
解得：a＝0.25＝25%或a＝﹣2.25
四月份的销量为：100•（1+25%）＝125（辆）．
答：四月份的销量为125辆．

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，
根据题意得：2x≤2.8
解得：30≤x≤35
利润W＝（700﹣500）x（1300﹣1000）＝9000+50x．
∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．
当x＝35时，不是整数，故不符合题意，
∴x＝34，此时13（辆）．
答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．
【点拨】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．
24．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x＝m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【微点】二次函数综合题．
【思路】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b＝0，c＝﹣2，再将A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y＝0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB＝∠BOC＝90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD＝PE，DP＝EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2（m﹣1））．都根据BD＝PE，DP＝EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），
∴b＝0，c＝﹣2；
∵y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0＝a+0﹣2，a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣2．
当y＝0时，2x2﹣2＝0，
解得x＝±1，
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）．
∵∠PDB＝∠BOC＝90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则，
即，
解得n．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，），
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（m，）
②若△OCB∽△DPB，则，
即，
解得n＝2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴点P的坐标为（m，2m﹣2）
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m﹣2）．

（3）
方法一：
假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD＝90°，∠QPE+∠BPD＝90°，
∴∠DBP＝∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD＝PE，DP＝EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m﹣1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．

方法二：
若在第一象限内存在点Q，
①∵B（1，0），P（m，），
点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，
将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m，），
将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（，m﹣1），
将点P′平移回P（m，），则点Q′平移后即为点Q，
∴Q（，），
将点Q代入抛物线得：m2﹣m＝0，
∴m1＝1，m2＝0，
∴Q1（1，0），Q2（0，）（均不合题意舍去），
②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），
同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），
将点Q代入抛物线得：3m﹣3＝2（2﹣m）2﹣2，
∴2m2﹣11m+9＝0，
∴m1＝1，m2，
∴Q1（1，0），Q2（，）（均不合题意舍去）
综上所述，不存在满足条件的点Q．

【点拨】此题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解．
25．（14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；
（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．

【微点】三角形的重心；相似形综合题．
【思路】（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；
（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；
（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．
【解析】（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DEAC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴2，
∵AD＝AO+OD，
∴．

（2）答：点O是△ABC的重心．
证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．

由（1）可知，，
而，
∴点Q与点O重合（是同一个点），
∴点O是△ABC的重心．

（3）解：如答图3所示，连接DG．

设S△GOD＝S，由（1）知，即OA＝2OD，
∴S△AOG＝2S，S△AGD＝S△GOD+S△AGO＝3S．
为简便起见，不妨设AG＝1，BG＝x，则S△BGD＝3xS．
∴S△ABD＝S△AGD+S△BGD＝3S+3xS＝（3x+3）S，
∴S△ABC＝2S△ABD＝（6x+6）S．
设OH＝k•OG，由S△AGO＝2S，得S△AOH＝2kS，
∴S△AGH＝S△AGO+S△AOH＝（2k+2）S．
∴S四边形BCHG＝S△ABC﹣S△AGH＝（6x+6）S﹣（2k+2）S＝（6x﹣2k+4）S．
∴①
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴，
∴OFCDBC；
∵GE∥BC，
∴，
∴GE；
∴，
∴．
∵OF∥GE，
∴，
∴，
∴k，代入①式得：
x2+x+1＝﹣（x）2，
∴当x时，有最大值，最大值为．
【点拨】本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点．试题的难点在于第（3）问，如何求出的关系式是解题的关键；另外，第（3）问尚有多种不同的解法，同学们可以深入探究．

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