2018年青海省中考数学试卷（含解析版）.pdf

2018 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题小题 15 空，每空空，每空 2 分，共分，共 30 分）分）.1（4 分）的倒数是 ；4 的算术平方根是 2（4 分）分解因式：x3y4xy=；不等式组的解集是 3（2 分）近年来，党和国家高度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有 65000000 人脱贫，65000000 用科学记数法表示为 4（2 分）函数 y=中自变量 x 的取值范围是 5（2 分）如图，直线 ABCD，直线 EF 与 AB、CD 相交于点 E、F，BEF 的平分线 EN 与 CD 相交于点 N若1=65，则2=6（2 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到DEC，连接 AD，若BAC=25，则BAD=7（2 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且=，则=8（2 分）某水果店销售 11 元，18 元，24 元三种价格的水果，根据水果店一个月这三种水果销售量的统计图（如图），可计算出该店当月销售出水果的平均价格是 元 9（2 分）如 图，A、B、C 是 O 上 的 三 个 点，若 AOC=110，则ABC=10（2 分）在 ABC 中，若|sinA|+（cosB）2=0，则 C 的 度 数是 11（2 分）如图，用一个半径为 20cm，面积为 150cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径 r 为 cm 12（4 分）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有 2 个正方形，第（2）个图案中有 5 个正方形，第（3）个图案中有 8 个正方形，则第（5）个图案中有 个正方形，第 n 个图案中有 个正方形 二、单项选择题（本大题共二、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.请将正确的选项序请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）号填入下面相应题号的表格内）.13（3 分）关于一元二次方程 x22x1=0 根的情况，下列说法正确的是（）A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 14（3 分）用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是 108，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）A B C D 15（3 分）若 P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数 y=图象上的两点，当 x1x20 时，下列结论正确的是（）A0y1y2 B0y2y1 Cy1y20 Dy2y10 16（3 分）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵 6 元，且用400 元购买乒乓球拍的数量与用 550 元购买羽毛球拍的数量相同设每副乒乓球拍的价格为 x 元，则下列方程正确的是（）A=B=C=D=17（3 分）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有（）A3 块 B4 块 C6 块 D9 块 18（3 分）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中E=90，C=90，A=45，D=30，则1+2 等于（）A150 B180 C210 D270 19（3 分）如图，把直角三角形 ABO 放置在平面直角坐标系中，已知OAB=30，B 点的坐标为（0，2），将ABO 沿着斜边 AB 翻折后得到ABC，则点 C 的坐标是（）A（2，4）B（2，2）C（）D（，）20（3 分）均匀地向一个容器注水，最后将容器注满在注水过程中，水的高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是（）A B C D 三、三、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 21 题题 5 分，第分，第 22 题题题题 5 分，第分，第 23 题题 8 分，共分，共 18分）分）.21（5 分）计算：tan30+（）1+（1）2018 22（5 分）先化简，再求值：（1），其中 m=2+23（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 边上的中点，连接 DE 并延长，交 CB 的延长线于点 F（1）求证：AD=BF；（2）若平行四边形 ABCD 的面积为 32，试求四边形 EBCD 的面积 四、四、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 24 题题 8 分，第分，第 25 题题 8 分，第分，第 26 题题 9 分，共分，共 25分）分）.24（8 分）如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度小宇同学在 A 处观测对岸点 C，测得CAD=45，小英同学在距点 A 处 60 米远的 B 点测得CBD=30，请根据这些数据算出河宽（精确到 0.01 米，1.414，1.732）25（8 分）如图ABC 内接于O，B=60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD延长线上一点，且 AP=AC（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若 PD=，求O 的直径 26（9 分）某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计图根据两图提供的信息，回答下列问题：（1）最喜欢娱乐类节目的有 人，图中 x=；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，若该校有 1800 名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；（4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选取 2 人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率 五、五、（本大题共（本大题共 2 小题，第小题，第 27 题题 11 分，第分，第 28 题题 12 分，共分，共 23 分）分）.27（11 分）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，BC=a，将边AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BD，连接 CD求证：BCD 的面积为a2（提示：过点 D 作 BC 边上的高 DE，可证ABCBDE）（2）探究 2：如图 2，在一般的 RtABC 中，ACB=90，BC=a，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BD，连接 CD请用含 a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由（3）探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BC=a，将边 AB 绕点B 顺时针旋转 90得到线段 BD，连接 CD试探究用含 a 的式子表示BCD的面积，要有探究过程 28（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴交点分别为 A（1，0），B（3，0），C（0，2），作直线 BC（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，设点 P 的横坐标为 t（0t3），求ABP 的面积 S 与 t 的函数关系式；（3）条件同（2），若ODP 与COB 相似，求点 P 的坐标 2018 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题小题 15 空，每空空，每空 2 分，共分，共 30 分）分）.1（4 分）的倒数是5；4 的算术平方根是2【考点】22：算术平方根；28：实数的性质【专题】1：常规题型；511：实数【分析】根据倒数和算术平方根的定义计算可得【解答】解：的倒数是5、4 的算术平方根是 2，故答案为：5、2【点评】本题主要考查实数，解题的关键是掌握倒数和算术平方根的定义 2（4 分）分解因式：x3y4xy=xy（x+2）（x2）；不等式组的解集是3x2【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；CB：解一元一次不等式组【专题】11：计算题【分析】根据因式分解和不等式组的解法解答即可【解答】解：x3y4xy=xy（x+2）（x2），解不等式组可得：3x2，故答案为：xy（x+2）（x2）；3x2【点评】此题考查因式分解，关键是根据因式分解和不等式组的解法解答 3（2 分）近年来，党和国家高度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有 65000000 人脱贫，65000000 用科学记数法表示为6.5107【考点】1I：科学记数法表示较大的数【专题】1：常规题型【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 65000000 用科学记数法表示为：6.5107 故答案为：6.5107【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4（2 分）函数 y=中自变量 x 的取值范围是x2 且 x1【考点】E4：函数自变量的取值范围【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：由题意得，x+20 且 x10，解得 x2 且 x1 故答案为：x2 且 x1【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 5（2 分）如图，直线 ABCD，直线 EF 与 AB、CD 相交于点 E、F，BEF 的平分线 EN 与 CD 相交于点 N若1=65，则2=50 【考点】JA：平行线的性质【专题】551：线段、角、相交线与平行线【分析】先根据平行线的性质求出BEN 的度数，再由角平分线的定义得出BEF 的度数，根据平行线的性质即可得出2 的度数【解答】解：ABCD，1=65，BEN=1=65 EN 平分BEF，BEF=2BEN=130，2=180BEF=180130=50 故答案为：50 【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线定义解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 6（2 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90，得到DEC，连接 AD，若BAC=25，则BAD=70 【考点】R2：旋转的性质【专题】1：常规题型；558：平移、旋转与对称【分析】根据旋转的性质可得 AC=CD，再判断出ACD 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CAD=45，由BAD=BAC+CAD可得答案【解答】解：RtABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90后得到RtDEC，AC=CD，ACD 是等腰直角三角形，CAD=45，则BAD=BAC+CAD=25+45=70，故答案为：70【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键 7（2 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且=，则=【考点】SC：位似变换【专题】1：常规题型【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案【解答】解：四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，其位似中心为点 O，且=，=，则=故答案为：【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键 8（2 分）某水果店销售 11 元，18 元，24 元三种价格的水果，根据水果店一个月这三种水果销售量的统计图（如图），可计算出该店当月销售出水果的平均价格是15.3元 【考点】W2：加权平均数【专题】1：常规题型；542：统计的应用【分析】根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解【解 答】解：该 店 当 月 销 售 出 水 果 的 平 均 价 格 是1160%+1815%+2425%=15.3（元），故答案为：15.3【点评】本题考查扇形统计图及加权平均数，解题的关键是掌握扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小及加权平均数的计算公式 9（2 分）如图，A、B、C 是O 上的三个点，若AOC=110，则ABC=125 【考点】M5：圆周角定理【分析】首先在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，由由圆周角定理，可求得ADC 的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得ABC 的度数【解答】解：如图，在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，AOC=100，ADC=AOC=55，ABC=180ADC=125 故答案为：125 【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 10（2 分）在 ABC 中，若|sinA|+（cosB）2=0，则 C 的 度数 是 90【考点】16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；T5：特殊角的三角函数值【分析】先根据非负数的性质求出 sinA=，cosB=，再由特殊角的三角函数值求出A 与B 的值，根据三角形内角和定理即可得出结论【解答】解：在ABC 中，|sinA|+（cosB）2=0，sinA=，cosB=，A=30，B=60，C=1803060=90 故答案为：90【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 11（2 分）如图，用一个半径为 20cm，面积为 150cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径 r 为7.5cm 【考点】MP：圆锥的计算【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为 20cm，面积为 150cm2的扇形铁皮制作一个无底的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径【解答】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l，圆锥形容器底面半径为r，则由题意得 R=20，由Rl=150 得 l=15；由 2r=15 得 r=7.5cm 故答案是：7.5cm【点评】本题考查的知识点是圆锥的表面积，其中根据已知制作一个无底的圆锥形容器的扇形铁皮的相关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键 12（4 分）如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有 2 个正方形，第（2）个图案中有 5 个正方形，第（3）个图案中有 8 个正方形，则第（5）个图案中有14个正方形，第 n 个图案中有3n1个正方形 【考点】38：规律型：图形的变化类【专题】2A：规律型；51：数与式【分析】由题意知，正方形的个数为序数的 3 倍与 1 的差，据此可得【解答】解：第（1）个图形中正方形的个数 2=311，第（2）个图形中正方形的个数 5=321，第（3）个图形中正方形的个数 8=331，第（5）个图形中正方形的个数为 351=14 个，第 n 个图形中正方形的个数（3n1），故答案为：14、3n1【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据题意得出正方形的个数为序数的3 倍与 1 的差是解题的关键 二、单项选择题（本大题共二、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.请将正确的选项序请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）号填入下面相应题号的表格内）.13（3 分）关于一元二次方程 x22x1=0 根的情况，下列说法正确的是（）A有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根【考点】AA：根的判别式【专题】523：一元二次方程及应用【分析】根据根的判别式，可得答案【解答】解：a=1，b=2，c=1，=b24ac=（2）241（1）=80，一元二次方程 x22x1=0 有两个不相等的实数根，故选：C【点评】本题考查了根的判别式，利用根的判别式是解题关键 14（3 分）用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是 108，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）A B C D【考点】VB：扇形统计图；X5：几何概率【专题】1：常规题型；543：概率及其应用【分析】根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个比例即可求出落在陆地的概率【解答】解：“陆地”部分对应的圆心角是 108，“陆地”部分占地球总面积的比例为：108360=，宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是，故选：D【点评】此题主要考查了几何概率，以及扇形统计图用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比 15（3 分）若 P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数 y=图象上的两点，当 x1x20 时，下列结论正确的是（）A0y1y2 B0y2y1 Cy1y20 Dy2y10【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】11：计算题【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得 y1=，y2=，然后利用求差法比较 y1与 y2的大小【解答】解：把点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）代入 y=得 y1=，y2=，则 y1y2=，x1x20，x1x20，x2x10，y1y2=0，即 y1y2 故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y=（k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即 xy=k 16（3 分）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵 6 元，且用400 元购买乒乓球拍的数量与用 550 元购买羽毛球拍的数量相同设每副乒乓球拍的价格为 x 元，则下列方程正确的是（）A=B=C=D=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【专题】522：分式方程及应用【分析】设每副乒乓球拍的价格为 x 元，则每副羽毛球拍的价格（x+6）元，根据用 400 元购买乒乓球拍的数量与用 550 元购买羽毛球拍的数量相同列出方程【解答】解：设每副乒乓球拍的价格为 x 元，则每副羽毛球拍的价格（x+6）元，依题意得：=故选：B【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程 17（3 分）由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有（）A3 块 B4 块 C6 块 D9 块【考点】U3：由三视图判断几何体【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数【解答】解：从俯视图可得最底层有 3 个小正方体，由主视图可得有 2 层上面一层是 1 个小正方体，下面有 2 个小正方体，从左视图上看，后面一层是 2个小正方体，前面有 1 个小正方体，所以此几何体共有四个正方体 故选：B【点评】此题主要考查了由三视图想象立体图形做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意 18（3 分）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中E=90，C=90，A=45，D=30，则1+2 等于（）A150 B180 C210 D270【考点】K7：三角形内角和定理【专题】55：几何图形【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可【解答】解：如图：1=D+DOA，2=E+EPB，DOA=COP，EPB=CPO，1+2=D+E+COP+CPO=D+E+180C=30+90+18090=210，故选：C【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答 19（3 分）如图，把直角三角形 ABO 放置在平面直角坐标系中，已知OAB=30，B 点的坐标为（0，2），将ABO 沿着斜边 AB 翻折后得到ABC，则点 C 的坐标是（）A（2，4）B（2，2）C（）D（，）【考点】D5：坐标与图形性质；PB：翻折变换（折叠问题）【专题】1：常规题型【分析】过点 C 作 CDy 轴，垂直为 D，首先证明BOABCA，从而可求得 BC 的长，然后再求得DCB=30，接下来，依据在 RtBCD 中，求得BD、DC 的长，从而可得到点 C 的坐标【解答】解：OAB=ABC=30，BOA=BCA=90，AB=AB，BOABCA OB=BC=2，CBA=OBA=60，过点 C 作 CDy 轴，垂直为 D，则DCB=30 DB=BC=1，DC=BC=C（，3）故选：C【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含 30直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键 20（3 分）均匀地向一个容器注水，最后将容器注满在注水过程中，水的高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示，这个容器的形状可能是（）A B C D【考点】E6：函数的图象【专题】53：函数及其图象【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断【解答】解：注水量一定，从图中可以看出，OA 上升较快，AB 上升较慢，BC 上升最快，由此可知这个容器下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小，故选：D【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数的图象所表示的意义是解题的关键，注意容器粗细和水面高度变化的关系 三、三、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 21 题题 5 分，第分，第 22 题题题题 5 分，第分，第 23 题题 8 分，共分，共 18分）分）.21（5 分）计算：tan30+（）1+（1）2018【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【专题】1：常规题型【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及立方根的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式=+22+1=1+22+1=2【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 22（5 分）先化简，再求值：（1），其中 m=2+【考点】6D：分式的化简求值【专题】11：计算题；513：分式【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分子、分母因式分解，再约分即可化简原式，继而将 m 的值代入计算可得【解答】解：原式=，当 m=2+时，原式=+1【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则 23（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 边上的中点，连接 DE 并延长，交 CB 的延长线于点 F（1）求证：AD=BF；（2）若平行四边形 ABCD 的面积为 32，试求四边形 EBCD 的面积 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【专题】1：常规题型【分析】（1）依据中点的定义可得到 AE=BE，然后依据平行线的性质可得到ADE=F，接下来，依据 AAS 可证明ADEBFE，最后，依据全等三角形的性质求解即可；（2）过点 D 作 DMAB 于 M，则 DM 同时也是平行四边形 ABCD 的高，先求得AED 的面积，然后依据 S四边形 EBCD=S平行四边形 ABCDSAED求解即可【解答】解：（1）E 是 AB 边上的中点，AE=BE ADBC，ADE=F 在ADE 和BFE 中，ADE=F，DEA=FEB，AE=BE，ADEBFE AD=BF（2）过点 D 作 DMAB 与 M，则 DM 同时也是平行四边形 ABCD 的高 SAED=ABDM=ABDM=32=8，S四边形 EBCD=328=24【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题的关键 四、四、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 24 题题 8 分，第分，第 25 题题 8 分，第分，第 26 题题 9 分，共分，共 25分）分）.24（8 分）如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度小宇同学在 A 处观测对岸点 C，测得CAD=45，小英同学在距点 A 处 60 米远的 B 点测得CBD=30，请根据这些数据算出河宽（精确到 0.01 米，1.414，1.732）【考点】T8：解直角三角形的应用【专题】552：三角形【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出 AE、EB，然后根据 BEAE=60 就能求得河宽【解答】解：过 C 作 CEAB 于 E，设 CE=x 米，在 RtAEC 中：CAE=45，AE=CE=x 在 RtBCE 中：CBE=30，BE=CE=x，x=x+60 解之得：x=30+3081.96 答：河宽约为 81.96 米 【点评】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答 25（8 分）如图ABC 内接于O，B=60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD延长线上一点，且 AP=AC（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若 PD=，求O 的直径 【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质【专题】1：常规题型；55A：与圆有关的位置关系【分析】（1）连接 OA，根据圆周角定理求出AOC，再由 OA=OC 得出ACO=OAC=30，再由 AP=AC 得出P=30，继而由OAP=AOCP，可得出 OAPA，从而得出结论；（2）利用含 30的直角三角形的性质求出 OP=2OA，可得出 OPPD=OD，再由 PD=，可得出O 的直径【解答】解：（1）证明：连接 OA，B=60，AOC=2B=120，又OA=OC，OAC=OCA=30，又AP=AC，P=ACP=30，OAP=AOCP=90，OAPA，PA 是O 的切线 （2）在 RtOAP 中，P=30，PO=2OA=OD+PD，又OA=OD，PD=OA，PD=，2OA=2PD=2 O 的直径为 2【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含 30直角三角形的性质 26（9 分）某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，进行了统计调查随机调查了某班所有同学最喜欢的节目（每名学生必选且只能选择四类节目中的一类）并将调查结果绘成如下不完整的统计图根据两图提供的信息，回答下列问题：（1）最喜欢娱乐类节目的有20人，图中 x=18；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，若该校有 1800 名学生，请你估计该校有多少名学生最喜欢娱乐类节目；（4）在全班同学中，有甲、乙、丙、丁等同学最喜欢体育类节目，班主任打算从甲、乙、丙、丁 4 名同学中选取 2 人参加学校组织的体育知识竞赛，请用列表法或树状图求同时选中甲、乙两同学的概率 【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法【专题】1：常规题型；54：统计与概率【分析】（1）先根据“新闻”类人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他三个类型人数即可求得“娱乐”类人数，用“动画”类人数除以总人数可得 x 的值；（2）根据（1）中所求结果即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中“娱乐”类节目人数所占比例；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）被调查的总人数为 612%=50 人，最喜欢娱乐类节目的有 50（6+15+9）=20，x%=100%=18%，即 x=18，故答案为：20、18；（2）补全条形图如下：（3）估计该校最喜欢娱乐类节目的学生有 1800=720 人；（4）画树状图得：共有 12 种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有 2 种情况，恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为=【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 五、五、（本大题共（本大题共 2 小题，第小题，第 27 题题 11 分，第分，第 28 题题 12 分，共分，共 23 分）分）.27（11 分）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，BC=a，将边AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BD，连接 CD求证：BCD 的面积为a2（提示：过点 D 作 BC 边上的高 DE，可证ABCBDE）（2）探究 2：如图 2，在一般的 RtABC 中，ACB=90，BC=a，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BD，连接 CD请用含 a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由（3）探究 3：如图 3，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，BC=a，将边 AB 绕点B 顺时针旋转 90得到线段 BD，连接 CD试探究用含 a 的式子表示BCD的面积，要有探究过程【考点】RB：几何变换综合题【专题】15：综合题【分析】（1）如图 1，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E，由垂直的性质就可以得出ABCBDE，就有 DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论；（2）如图 2，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E，由垂直的性质就可以得出ABCBDE，就有 DE=BC=a进而由三角形的面积公式得出结论；（3）如图 3，过点 A 作 AFBC 与 F，过点 D 作 DEBC 的延长线于点 E，由等腰三角形的性质可以得出 BF=BC，由条件可以得出AFBBED 就可以得出 BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论【解答】解：（1）如图 1，过点 D 作 DECB 交 CB 的延长线于 E，BED=ACB=90，由旋转知，AB=BD，ABD=90，ABC+DBE=90，A+ABC=90，A=DBE，在ABC 和BDE 中，ABCBDE（AAS）BC=DE=a SBCD=BCDE SBCD=；解：（2）BCD 的面积为 理由：如图 2，过点 D 作 BC 的垂线，与 BC 的延长线交于点 E BED=ACB=90，线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BE，AB=BD，ABD=90 ABC+DBE=90 A+ABC=90 A=DBE 在ABC 和BDE 中，ABCBDE（AAS）BC=DE=a SBCD=BCDE SBCD=；（3）如图 3，过点 A 作 AFBC 与 F，过点 D 作 DEBC 的延长线于点 E，AFB=E=90，BF=BC=a FAB+ABF=90 ABD=90，ABF+DBE=90，FAB=EBD 线段 BD 是由线段 AB 旋转得到的，AB=BD 在AFB 和BED 中，AFBBED（AAS），BF=DE=a SBCD=BCDE=aa=a2 BCD 的面积为 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，判断出ABCBDE 是解本题的关键 28（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴交点分别为 A（1，0），B（3，0），C（0，2），作直线 BC（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上第一象限内一动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，设点 P 的横坐标为 t（0t3），求ABP 的面积 S 与 t 的函数关系式；（3）条件同（2），若ODP 与COB 相似，求点 P 的坐标 【考点】HF：二次函数综合题【专题】153：代数几何综合题【分析】（1）把 A（1，0），B（3，0），C（0，2）代入 y=ax2+bx+c 得到关于a、b、c 的方程组，从而可求得 a、b、c 的值；（2）设点 P 的坐标为（t，t2+t+2），则 DP=t2+t+2，然后由点 A 和点B 的坐标可得到 AB=4，接下来，依据三角形的面积公式求解即可；（3）当ODPCOB 时，=；当ODPBOC，则=，然后依据比例关系列出关于 t 的方程求解即可【解答】解：（1）把 A（1，0），B（3，0），C（0，2）代入 y=ax2+bx+c得：，解得：a=，b=，c=2，抛物线的解析式为 y=x2+x+2 （2）设点 P 的坐标为（t，t2+t+2）A（1，0），B（3，0），AB=4 S=ABPD=4（t2+t+2）=t2+t+4（0t3）；（3）当ODPCOB 时，=即=，整理得：4t2+t12=0，解得：t=或 t=（舍去）OD=t=，DP=OD=，点 P 的坐标为（，）当ODPBOC，则=，即=，整理得 t2t3=0，解得：t=或 t=（舍去）OD=t=，DP=OD=，点 P 的坐标为（，）综上所述点 P 的坐标为（，）或（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的面积公式、相似三角形的性质，依据相似三角形的性质列出关于 t 的方程是解题的关键