1、作业作业 P236 P236 习题习题8.28.2 9.11.13.25.26.28.9.11.13.25.26.28.35.39.41.47.35.39.41.47.10/10/1第1页第1页 第二十二讲第二十二讲 常微分方程常微分方程（二）（二）一、一阶线性方程一、一阶线性方程三、可利用微分形式求解方程三、可利用微分形式求解方程二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程方程四、积分因子四、积分因子10/10/2第2页第2页一、一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程10/10/3第3页第3页性质性质1：性质性质2：性质性质3：10/10/4第4页第4页性质性质4：性质
2、性质5：10/10/5第5页第5页(1)如何解齐次方程？如何解齐次方程？非齐次非齐次齐次齐次可分离型！可分离型！原则形式：原则形式：什麽类型？什麽类型？一阶线性微分方程一阶线性微分方程10/10/6第6页第6页分离变量分离变量是是p(x)一个原函数不一个原函数不是不定积分！是不定积分！齐次通解齐次通解解得解得注意：注意：齐次通解结构：齐次通解结构：10/10/7第7页第7页(2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假定假定(1)解含有形式解含有形式将这个解代入将这个解代入(1),经计算得到经计算得到10/10/8第8页第8页化简得到化简得到即即10/10/9第9页第9页积分积
3、分从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)通解通解非齐次通解非齐次通解或或10/10/10第10页第10页非齐次通解结构：非齐次通解结构：特解特解非齐次特解非齐次特解10/10/11第11页第11页10/10/12第12页第12页这是线性方程吗？这是线性方程吗？是关于函数是关于函数 x=x(y)x=x(y)一阶线性方程！一阶线性方程！解解 变形为：变形为：第一步第一步:先求解齐次方程先求解齐次方程齐次方程通解是齐次方程通解是10/10/13第13页第13页第二步第二步:用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程解为假设非齐次方程解为代入方程并计算化简代入方程并计算化简积分
4、得积分得通解通解10/10/14第14页第14页证证10/10/15第15页第15页10/10/16第16页第16页Bernoulli Bernoulli 方方 程程二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方方程程10/10/17第17页第17页Bernoulli 方方 程程线性线性方程方程10/10/18第18页第18页 解解 10/10/19第19页第19页解线性方程解线性方程相应齐次方程相应齐次方程(2)通解通解设设(1)解为解为代入代入(1),(1),计算化简得到计算化简得到10/10/20第20页第20页10/10/21第21页第21页 三、三、可利用微分形式求解方程可利用微分形式
5、求解方程 利用熟悉微分公式，通过凑微分办法将利用熟悉微分公式，通过凑微分办法将微分方程变为一些函数微分形式微分方程变为一些函数微分形式.比如比如10/10/22第22页第22页10/10/23第23页第23页解解通解通解凑微分凑微分10/10/24第24页第24页通解为通解为 解解 改写为改写为10/10/25第25页第25页通解为通解为 解解 10/10/26第26页第26页 问问:能否直接通过凑微分求解？能否直接通过凑微分求解？不能不能 问问:能否变为可通过凑微分求解方程？能否变为可通过凑微分求解方程？试试看试试看10/10/27第27页第27页(六六)积分因子积分因子10/10/28第28页第28页通解通解积分积分因子因子 也许会丢解！也许会丢解！解解10/10/29第29页第29页解解通解通解10/10/30第30页第30页 小结小结1.解、通解、特解、定解问题解、通解、特解、定解问题2.一阶微分方程可积类型一阶微分方程可积类型 可分离型、可分离型、一阶线性、一阶线性、利用微分形式、利用微分形式、思想：方程变形思想：方程变形变量代换变量代换可化为可分离、可化为可分离、伯努利方程、伯努利方程、积分因子积分因子10/10/31第31页第31页
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